И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

(нервно отступая назад, сталкивает вторую статуэтку). Но я знаю, Белла, ... это был ответ на мой вопрос. После этого ответа для меня в наших отношениях все совершенно ясно. Я больше Вас не буду спрашивать. Я чувствую, что я Вас понимаю, и я восхищаюсь Вами. Я не хочу от Вас ничего. (Подходит все ближе и ближе к ней.) Б. (пятясь назад, она сталкивает одну из статуэток). О боже! Как я испугалась! Какая я неуклюжая! ...и это все на мои деньги? Вам лучше обратиться в сумасшедший дом, где имеют дело со случаями, подобными Вашему...

Ф. Иногда у меня возникает желание очутиться где-нибудь в другом месте, не там, где я. Я не знаю, где точно, но где-нибудь там, где я никогда не был. Вы так думаете? Какую еще ерунду Вы мне хотите сказать? И не стыдно Вам, взрослому человеку, говорить обо всем этом, вместо того чтобы извиниться за свою тупость? Ф. (вздыхает). Простые и комбинированные типы симметрии Ш/Н Идиот! Неуклюжий идиот! Разве Вы не видите? Разве Вам мало, что Вы ничего не сделали по работе, так Вы еше разбили вещь? Позвольте мне уведомить Вас, что Вы уволены с первого числа следуюшего месяца.

Убирайтесь отсюда! (Бросает вслед Фоксу скоросшиватель.) Посылают же сюда таких глупцов, чтобы выводить меня из терпения! (страстно) Неуклюжая? О нет„Белла, поверьте мне, в этом движении было так много от Вас, от Вашей задумчивости.

Я любовался Вами в это время. (Целует ей руку.) Рис. 2-48. а-пример зеркально-поворотной симметрии четвертого порядка; б — пример зер- кально-поворотной симметрии шестого порядка. Зеркально-поворотная ось второго порядка — простейшая из осей такого рода. Предмет, показанный на рис. 2-48,а, имеет зеркально- поворотную ось четвертого порядка. Его можно сделать из куска материала квадратной формы с вписанным наискосок квадратом.

Образуемые в результате этого уголки отогнуты поочередно вверх и вниз. Получающийся таким образом интересный предмет имеет ось 2, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр. Далее, поворот его на 90' относительно оси вращения с последующим отражением в плоскости квадрата приводит к самосовмещению. Эта сложная операция определяется как четверная зеркально-поворотная ось и обозначается как 4. Обобщая все выше сказанное, можно сделать вывод, что зеркально-поворотная ось 2п-го порядка эквивалентна следующим операциям: повороту на угол (360/2п) и отражению в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Еще один пример — шестерной зеркально-поворотной оси, б,— показана на рис.

2-48, б. Следует отметить, что у предметов, изображенных на рис. 2-48, могут быть зеркально-поворотные оси только четного порядка (2п). Симметрия снежинки включает этот вид зеркально-поворотной оси. Очевидно, что снежинка обладает центром симметрии. Класс симметрии Глава 2 т 6:т содержит центр симметрии, возникающий в месте пересечения оси 6 и перпендикулярной ей плоскости симметрии. В общем случае для класса т. и: т с четным п точка пересечения поворотной оси и-го порядка с перпендикулярной плоскостью симметрии является всегда центром симметрии.

В том же классе симметрии, но с нечетным и, центр симметрии отсутствует. 2.5. Особая точка и трансляционная симметрия Центр квадрата — это единственная в своем роде точка, не имеющая себе эквивалента. Такая точка называется особой (сингулярной) точкой. Угловая точка (вершина) того же самого квадрата уже не является особой, так как операция симметрии воспроизводит ее, и в целом имеются четыре эквивалентных угла в квадрате. На рис. 2-49 показан цилиндр.

Его центр — особая точка, а все остальные точки, лежащие на оси вращения бесконечного порядка, не отличаются единственностью. Плоскость симметрии, перпендикулярная оси вращения, удваивает все точки, лежащие на оси, за исключением ее центра. Если в квадрате произвольно выбрать одну точку, то у нее будет 7 эквивалентных партнеров вследствие операций симметрии, проделанных с квадратом и показанных на рис. 2-50. В целом окажется 8 эквивалентных точек.

Если же выбранная точка совпадает с одной из вершин квадрата, то число эквивалентных позиций равно четырем. Ход рассуждений не меняется, если выбранная точка попадает на одну из осей симметрии квадрата. Кратность угловой точки в квадрате, а также любой точки, лежащей на оси симметрии, равна двум. Произведение числа эквивалентных точек и их кратности постоянно (например, для квадрата оно равно 8). Наконец, если выбранная точка совпадает с центром квадрата, то число эквивалентных позиций равно единице, а кратность — восьми. В асимметричной фигуре каждая точка является особой с кратностью, равной единице. Классы симметрии, характеризующие геометрические фигуры или предметы, которые имеют хотя бы одну особую точку, называются Рис.

2-49. Центр цилиндра является особой точкой. Простые и комбинированные типы симметрии 6! Рис. 2-50. Особая точка и кратность точек в квадрате. точечными группами. Точечная группа рисунка Эшера, воспроизводимого на рис. 2-51, а, соответствует классу симметрии 3 т. На рисунке изображены ангелы и летучие мыши, размеры которых постепенно меняются. В центре находится особая точка.

Другая работа Эшера показана на рис. 2-51,б. На нем тоже изображены ангелы и летучие мыши, но размеры их одинаковы. Если допустить, что этот фрагмент является только частью бесконечно продолжающегося рисунка, то на нем нет особой точки. Допущение о бесконечной длине рисунка выглядит достаточно естественным ввиду его периодичности. В отличие от этого предыдущий рисунок ограничен окружностью. Отсутствие особой точки приводит к закономерности, выражающейся в бесконечной повторяемости, которая характерна для трансляционной симметрии. Данный вид симметрии не совместим с существованием особой точки, но уживается с наличием особой линии или плоскости. Классы симметрии, характеризующие системы с трансляционной симметрией, называются пространственными группами.

Одномерные пространственные группы описывают симметрию, включающую бесконечное повторение или периодичность в одном направлении; для описания периодичности в двух и трех направлениях существуют дву- и трехмерные пространственные группы. Рис. 2-52 и табл. 2-2 суммируют случаи, возникающие при рассмотрении размерности пространства и периодичности.

Используемая здесь номенклатура несколько несогласованна и напоминает классическое произведение Эбботта «Флатландия» 129~. 63 а Рис. 2-52. Размерность и периодичность в точечньгх и пространственных группах. Этот рисунок соответствует табл. 2-2. а — Пойптландия; б — Лайилапдия; в-Флатлаидия; г — Спейелаидия.

Таблица 2-2. Размерность (т) и периодичность (и) группы симметрии б„по Энгельгардту 1301 л=2 я=3 (периодич- (периодич- ность в двух ность в трех направлениях) направлениях) л=1 (периодичность в одном направ- лении) в=О (иет периодич- ности) Периодичиоеть -+ Размерность бз 2.6. Полярность Прямая линия считается полярной, если есть возможность различить ее два направления; плоскость также полярна, если две ее поверхности неэквивалентны.

Разумеется, такое определение полярности не имеет т=О Безразмерный т= 1 Одномерный т= 2 Двумерный т= 3 Трехмерный Простые и комбинированные типы симметрии 64 Глава 2 ничего общего с разделением противоположных электрических зарядов. Полярная линия имеет «голову» н «хвост», а полярная плоскость— «лицевую» и «оборотную» стороны. Так, вертикальная линия по отношению к поверхности Земли полярна, если учитывать направление силы тяготения, а лист бумаги, окрашенный с одной стороны, полярен по отношению к цвету. Ось полярна, если два ее конца не совпадают в результате преобразований симметрии, свойственных группе симметрии данной фигуры.

Аналогичное определение применимо к двум сторонам полярной плоскости. Если группа симметрии включает центр симметрии, то полярность исключается. Как было уже показано (см., например, рис. 2-47), в центросимметричной фигуре направленная линия или направленная часть грани меняет свое направление при инверсии. Если же центр симметрии отсутствует, то по крайней мере одна направленная линия или грань не смогут иметь своих партнеров с противоположным направлением. Важное значение полярных осей можно продемонстрировать, например, с помощью морфологии кристаллов. Недавно Кертин и Пол 1311 суммировали те химические следствия, которые возникают из-за существования полярных осей в органической кристаллохимии.

Мы позаимствуем у этих авторов несколько примеров. На рис. 2-53, а показаны два центросимметричных кристалла ацетанилида. В обоих образцах грани существуют в виде параллельных пар. В отличие от этого кристалл н-хлорацетанилнда, показанный на рис. 2-53,б, нецентросимметричен, и некоторые из его граней не имеют параллельных аналогов на противоположной стороне кристалла. Этот кристалл имеет полярную ось в направлении максимальной вытянутости кристалла.

Различия в морфологической симметрии кристаллов ацетанилида и и-хлорацетанилида проистекают из их внутренней структуры, которая характеризуется разным расположением молекул, показанным на рис. 2-54,а,б [31]. Молекулы ацетанилида встречаются парами, и обе Рис. 2-53. а- центросимметричные ромбические бипирамидальные кристаллы ацетанилида (взято из Химической кристаллографии Грота ~323); б — нецентросим- 6 метричный ромбический пирамидальный кристалл п-хлорацетанилида (взято из Химической кристаллографии Грота ~323). Рис. 2-54.

Характеристики

Список файлов книги