И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Кроме того, шесть плоскостей симметрии включают ребра на противоположных концах фигуры, диагонально рассекая ее грани. Четверные оси соединяют середины противоположных граней. Шестерные зеркально-поворотные оси совпадают с осями 3. Они соединяют противоположные вершины и направлены вдоль диагоналей куба. Символ о/4 непосредственно не означает наличия плоскостей симметрии, Простые и комбинированные типы симметрии 87 Рис. 2-74. Характерные элементы симметрии платоновых тел.
соединяющих середины противоположных ребер, оси второго порядка и центра симметрии. Все упомянутые элементы порождены другими. Так, наличие центра симметрии у куба вытекает из того, что каждая грань и каждое ребро имеют своего собственного партнера, ориентированного параллельно. В отличие от этого тетраэдр не имеет центра симметрии.
Октаэдр находится в том же классе симметрии, что и куб. Наиболее заметна антипараллельная ориентация его граней. На рис. 2-74 показано, что его оси 4 проходят через противоположные вершины, оси 3-через центры граней, а оси 2-через середины ребер. Пентагональный додекаэдр и икосаэдр принадлежат к одному классу симметрии. Оси 5, 3 и 2 пересекают центры граней, вершины и ребра додекаэдра соответственно (рис. 2-74).
Для икосаэдра соответствующие оси пересекают вершины, центры граней и середины ребер (рис. 2-74). Глава 2 Следовательно, в пяти правильных полиэдрах прослеживается дуалистическая связь, если рассматривать их грани и вершины. Тетраэдр дуалистичен сам по себе* (табл. 2-3). Если определение правильных многогранников не ограничивать выпуклыми фигурами, то их число возрастет с пяти до девяти. Дополнительные четыре фигуры показаны на рис. 2-75, а подробные сведения об этом можно найти, например, в книгах ~48, 533.
Их общее название — звездчатые многогранники. Шар заслуживает того, чтобы о нем упомянуть. Это одна из наиболее простых возможных фигур и в то же время это фигура с высокой и сложной симметрией. Шар имеет бесконечное число поворотных осей бесконечного порядка. Все они совпадают с диагоналями этой фигуры, проходящими через ее центр.
Этот геометрический центр, являющийся особой точкой, есть также центр симметрии. Для описания фигуры в качестве основных элементов симметрии можно выбрать следующие: две неперпендикулярные друг другу оси бесконечного порядка и одну плоскость симметрии. Следовательно, класс симметрии шара обозначается как оо/со т. Касаясь симметрии шара, Кепес ~543 цитирует Коперника: «... из всех существующих форм сферическая наиболее совершенна и не нуждается в пояснении; шар имеет максимально возможный объем и наиболее подходит в качестве фигуры, вписывающей в себя все остальное; все изолированные части Вселенной — я имею в виду Солнце, Луну и звезды — шарообразны согласно наблю- Рнс. 2-75.
Четыре правильных звездчатых полнэдра. * Возможно, отмеченный дуализм станет яснее, если ввести понятие взанмности полиэдров, которое поясним на примере куба н октаэдра. Если в одном нз этнх многогранников соединить прямыми линиями центры соседних граней, то в результате получается второй многогранник. Взаимность додекаэдра н нкосаэдра менее очевидна, но она существует. Если же указанную операцию проделать с тетраэдром, то получится тоже тетраэдр.-Прим. иерее. Простые и комбинированные типы симметрии дениям; все тела, которые могут оформить себя сами, стремятся быть шарообразными, как это видно по каплям воды или других жидкостей. Таким образом, не нужно сомневаться, что сферическая форма — это лучшее, что есть в мире, и что эта форма божественна».
Кроме правильных многогранников имеются еще различные семейства полиэдров с убывающей степенью регулярности ~48, 53, 55~. Так называемые полуправильные, или архимедовы, многогранники подобны платоновым телам в том отношении, что все их грани — правильные многоугольники, а все их вершины совместимы. Однако не все многоугольники, образующие их грани, одинаковы.
Тринадцать подобных многогранников перечислены в табл. 2-5, а некоторые из них показаны на рис. 2-76. В табл. 2-5 также приводятся их поворотные оси. Простейшие полуправильные полиэдры получаются из правильных путем симметричного усечения их вершин. Таковы усеченные правильные многогранники, помеченные в табл. 2-5 верхним индексом «а». Два из полуправильных многогранников занимают особое место и называются квазирегулярными; они помечены в табл. 2-5 верхним индексом «б». Оба многогранника имеют два вида граней, и каждая грань одного вида целиком окружена гранями другого вида. Остающиеся шесть многогранников могут быть выведены из предыдущих случаев. Важными полиэдрическими семействами считаются призмы и антипризмы.
Призма построена из двух одинаковых и параллельных граней, соединенных друг с другом параллелограммами. Антипризма также имеет две одинаковые и параллельные грани, но они соединены с помощью треугольников. Существует бесконечное число призм и антипризм; некоторые из них показаны на рис. 2-77. Призма или антипризма является полуправильным полиэдром, если все ее грани— правильные многоугольники. Куб можно считать квадратной призмой, а октаэдр — треугольной антипризмой. Рис.
2-76. Некоторые полуправильные полиэдры. 90 Глава 2 Таблица 2-5. Тринадцать полуправильных полиэдров Номер Название Число Число поворотных осей граней вершин ребер 2-го 3-го 4-го 5-го поряд- поряд- поряд- порядка ка ка ка Усеченный 8 тетраэдр' Усеченный 14 куб' Усеченный 14 октаэдр' Кубооктаэдр' 14 Усеченный 26 кубооктаэдр Ромбокубо- 26 октаэдр Курносый куб 38 Усеченный 32 додекаэдр' Икосодо- 32 декаэдрб Усеченный 32 икосаэдр' Усеченный 62 икосододекаэдр Ром би кос одо- 62 декаэдр Курносый 92 додекаэдр 12 18 3 4 0 24 36 6 4 24 36 6 4 12 24 6 4 48 72 6 4 24 48 6 4 3 24 60 6 4 60 90 15 !О 30 60 15 10 0 60 90 15 10 0 120 180 15 10 0 60 120 15 10 0 60 150 15 10 0 10 12 13.
' Усеченные правильные полиэдры. ~ Квазирегулярные полиэдры. Рис. 2-77. Призмы и антипризмы. Имеется еще несколько дополнительных многогранников, играющих важную роль при обсуждении геометрического строения молекул и кристаллов. Простые и комбинированные типы симметрии 9! Литература 1. Манн Т. Собрание сочинений. В 10 томах.— М.: ГИХА, 1959, а) Том 3, с. 483 (перевод В. Станевич); б) Том 4, с. 193 (перевод В. Курелла). 2. Кер!ег Г., Бггепа веп с?е шче вехап8п?а, 1611. Еп81!вЬ ггапв!абоп: ТЬе Б(х-согпегед Бпоийа?се, С!агепдоп Ргевв, ОхГогд, 1966.
(Кеплер РЬ О шестиугольных снежинках. Пер. с англ.— М.: Наука, 1982.) 3. Бйа?гапоиюкй !. !., КерГег'в Сгув!аНодгарМс Гс?еав апд ЛГв Тгасг «ТЬе Б(х-согпегед Бповд?а?се», 1п: Кер1ег, Ропг Нппдгед Чеагв, Веег А., Веег Р., Едв., Ргосеейп8в оГ СопГегепсев Ье1д $п Ьопог оГ?оЬаппев Кер1ег, Ч1вгав Авггоп, 18, Рег8ашоп Ргевв, ОхГогд, его., 1975. 4. БасйеГт Н. А.„биг А. С., авансу М. С., Бс?енсе, 202, 434 (1978) 5.
Бргтдег Я. Р., ?геиисй б., 1.ей Вга?п, К$8Ь$ Вгаш, Ргеешап апд Со., Бап Ргапс1всо, 1981. 6. Шубников А.В., Конник В.А. Симметрия в науке и искусстве.— Мг Наука, 1972. 7. Ападьи М., частное сообщение, 1983 8. Отде! Г.. Е., ТЬе Оп8$пв о? Ь!Ге: Мо1есп1ев апд Ха!ига! Бе1есбоп, ?оЬп %йеу апд Бопв, Хси Чог?г, Ьопдоп, Будпеу, Тогопго, 1973. 9. Гав!гон Я., Кед СПапгв апд %ЬПе ?3иаг?в, %.%. Хоггоп, Хенч Чог?г апд Ьопдоп, 1979. 10. Вейль Г. Симметрия. Пер. с англ.— М.: Наука, 1968 11.
Негг~еЫе И'., ?оЬп Неаггбе1д. ЬеЬеп ппд %ег1с даг8евгейг чоп вешеш Вгпдег, ТЫгд геч1вед апд ехрапдед ейбоп, ЧЕВ Чег)а8 дег Кппвг, ?3гевдеп, 1976. 12. АррГегоп Ь.Я.Н., Ап1епсап 1пйап ?Зев(8п апд ?Зесогаг?оп, ?3очег РпЫ?сайопв, Хев Уог)с, 1971. 13.
Геки М., ТЬе Бгапдагд Воо?г оГ 9ш11 Ма?г1п8 апд Сойесбп8, ГЭочег РцЫ?сагюпв, Хею Чог?г, 1959. 14. ИавйЬигп О. К., А Бупнпеггу Апа1ув?в оГ ??ррег СП1а Агеа Сегагйс?3ея8п, Рарегв оГ гЬе РеаЬоду Мпвешп оГ АгсЬео!о8у апд ЕгЬпо!о8у, Чо1. 68, Нагчагд ??п(чегвйу СашЬпд8е, МА, 1977. 15. Нас/се! Е., Кппвг?оппеп дег Хагпг, Чо!в. 1 — 10, Чег1а8 дев В?ЫюйгарЬ?всЬеп 1пвбгпгв, Ье?рх?8, 1899 — 1904.
16. Найауа ?!., Бпочг Сгувга1в, Нагчагд ?)п?четв?гу Ргевв, СашЬг?д8е, МА, 1954 17. Таибев б., Глвсочег, р. 75, Гаппагу, 1984. 18. МсЬасйГап ?г., Ргос. Хаг!. Асад. Бс!., 43, 143 (1957). 19. ВепгГеу И'.А., Нитрйгеув И'.,Г.„Бпою Сгувга1в, МсОга~ч-Н1П, Хев Чог?г апд Ьопдоп, 1931. 20. Это высказывание приписывается М. Поляни согласно частному сообщению проф. У.
Дж. Недхардта (Технологический институт шт. Нью-Джерси), 1984. 21. Масйау А.Ь, Яп8ов1. Сепн Кг(вгайо8г., 10, 5 (1975); Маккей А.Л., частное сообщение, 1982. 22. $Чеес?йат .Г., !.и бвеГ-О!еп, %Ье?Ьег, 16, 319 (1961). 23. Нап У?пд, 135 г. до н. э., цитируется по [221. 24.
НеПтапп б., БсЬпее1ггувгайе, Вегйп, 1893 25. Бгатр Т., Ягатр С., %!П?аш БсогевЬу, Агсбс Бс(епг(вд Саейпоп оГ%ЬПЬу, 1976. 26. Вевгоп .Г., 1пгегпабопа1 Нега1д ТпЬппе, ТЪпгвдау, Мау 7, р. 4, 1981. 27. КагГпгйу Р., Огаче апд Огау, Бе1есбопв Ггош Ыв %от?с, Согчша Ргевв, Вцдарея 1973. 28. Масбд!аогу С.Н., Бупппеггу Авресгв оГ М.С. ЕвсЬег'в Репойс ?уга~ч?п8в, ВоЬп, БсЬе1$еша апд НоПсеша, ?$$гесЬ$, 1976. 29. Эбботт Э. Э. Флатландия.
Пер. с англ.— Мг Мир, 1976; Бюргер Д. Сферлан- Глава 2 92 дня. Пер. с англ.— М.: Мир, 1976. 30. Епде!Ьагс?г И'., Майеша6всЬег ?)пгегг!сЬЬ 9 (2), 49 (1963) 31. Сигдп О. К, Раи! 1. С., СЬеш. Веч., 81, 525 (1981). 32. 6«огЬ Р., СЬепнвсЬе Кпвга11о8гарЬ(е, 5 Чо1в, Чег!а8 чоп %ВЬе1ш Еп8е)шапп, Ье!рк!8, 1906 — 1919. 33. Раи! 1. С., Си«Ни О.
У., Бс!епсе, 187, 19 (1975) 34. Оиез!ег Е.Н., Кгевв Я.В., ?т С.-Т., Япаи И«-1., Раи! 1. С., Сигг!и О. Х, 1. Ат СЬет. Бос., 103, 875 (1981). 35. ВигГоог 1. С., Тау!ог б. И'., Ро1аг ?3!е1ес1псв, Ып!чегв!!у оГ СаЬТогша Ргевв, Вег)се1еу апд Ьов Апйе1ев, 1979, цитировано по ?3!3. 36. Ьогс? Ке!о!и, Ва!йпоге ?.ессигез, С.У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
