И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

2-67. Французский фокус «королевский разрез» по Мислоу и сотр. Г461. Яблоко можно разрезать на две гомохиральные половинки двумя способами так, что получатся энантиоморфные друг другу фрагменты. Яблоко нельзя разрезать на две гете- рохиральные половинки. Две гетерохиральные половинки из двух различных яблок нельзя сложить в одно яблоко. Воспроизводится с разрешения.

© 1983 Ашег1сап СЬепп'- са1 Вос1е1у. Это было сделано с помощью реакции производных дибромида и дитиола метациклофана: НангС СН,Вг Вгнас н,вн Такая реакция давала приблизительно эквимолекулярную смесь цис- и транс-диме ров. Мислоу и сотр. 1463 показали, что две гомохиральные молекулы 4-(бромметил)-6-(меркаптометил)1 2.21метациклофана могут дать только нис-димер (рис. 2-68,а). Этот вывод, конечно, справедлив для любой формы гомохиральных пар. В отличие от этого реакция между двумя гетер охиральными молекулами 4-(бромметил)-6-(меркаптометил)12.21метациклофана может дать только транс-димер (рис. 2-68,б). Наконец, рацемическая смесь этих молекул дает смесь нис- и трансдимеров в отношении 1:1 (рис.

2-68,в), поскольку статистическая вероятность процесса, показанного на рис. 2-68,б, вдвое больше, чем для каждой из двух реакций, представленных на рис. 2-68,а. Реакция двух Простые и комбинированные типы симметрии 81 си,ь рацемнческая смесь ! Рис. 2-68. а — продуктом реакции является лис-ли мер двух гомохиральных 4-(бромметил)-6-(меркаптометил)1 2.21метациклофанов; б — продуктом реакции является транс-димер двух гетерохиральных 4-(6ромметил)-6-(меркаптометил)1"2.21метациклофанов; в — продуктом реакции является смесь (1:1) двух димеров, когда молекулы 4-(бромметил)-6-(меркаптометил)[2.21метациклофана присутствуют в рацемической смеси.

производных гомохирального метациклофана (рис. 2-68,а), в которой получается ахиральный цис-димер, является стереохимическим примером, обратным «королевскому разрезу»! 2.7.4. Поворотная ось с перпендикулярными осями второго порядка Класс симметрии обозначается в виде и:2, если в нем главная поворотная ось порядка и сосуществует с перпендикулярной ей осью второго порядка. Все предметы с симметрией вида п: 2 хиральны. Такую симметрию можно получить из симметрии гл. и: гп, удалив все плоскости отражения.

Так, например, если многогранники, показанные на Глава 2 82 рис. 2-35, скручивать относительно их главных осей, то их симметрия т и:т понизится до л:2. При такой операции плоскости симметрии исчезают, а главная ось и оси, перпендикулярные ей, остаются. Разумеется, скручивание вдоль главной оси можно совершать как налево, так и направо, поэтому в результате могут возникнуть зеркальные двойники. 2.8. Правильные многогранники «Выпуклый многогранник (полиэдр) называется правильным, если его грани являются правильными и равными многоугольниками, а все его вершины имеют одинаковое окружение» 1481. Многогранник считается выпуклым, если каждый его двугранный угол меньше 180'.

Двугранный угол — это угол, образованный двумя соседними гранями, имеющими общее ребро. Существует только пять правильных выпуклых полиэдров, т.е. их число весьма невелико'. Обычно их называют платоновыми телами, поскольку они составляли важную часть натурфилософии Платона. Перечислим их: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их гранями являются правильные многоугольники: треугольник, квадрат и пятиугольник.

Правильный многоугольник имеет одинаковые внутренние углы и равные стороны. На рис. 2-69 показаны правильный треугольник, правильный четырехугольник, т. е. квадрат, правильный пятиугольник и т.д. В пределе, когда число сторон стремится к бесконечности, получается окружность. Все правильные многоугольники имеют ось симметрии и-го порядка, проходящую через центр фигуры перпендикулярно ее плоскости. Для них число п равно 3, 4, 5... и бесконечности в случае круга. Пять правильных многогранников показаны на рис. 2-70, а их геометрические характеристики приведены в табл. 2-3. Вейль 1103 считает, что существование тетраэдра, куба и октаэдра является весьма тривиальным геометрическим фактом.

Однако он же подчеркивает, что открытие правильных додекаэдра и икосаэдра было, несомненно, «одним из наиболее выдающихся и прекрасных открытий, сделанных на протяжении всей истории математики». Но вопрос, кто первым построил правильные полиэдры, согласно Кокстеру 1483, звучит приблизительно так: кто первым разжег огонь? Многие простейшие организмы имеют форму пентагонального до- ~ Это может вызвать удивление, так как число возможных правильных многоугольников весьма велико. Простое доказательство этого важного положения можно найти в упоминавшейся книге Л. В. Тарасова (см. примечание на с. 72).— Прим. перев. 83 Простые и комбинированные типы симметрии лпОО ОООО Рис.

2-69. Правильные многоугольники. Рис. 2-70. Пять платоновых тел. Таблица 2-3. Характеристики правильных полиэдров Число сто- Число гра- Число ребер, Число вер- Число ребер рои в много- ней сходящихся в шин угольнике вершине Название 4 6 8 12 20 Тетраэдр 3 Куб 4 Октаэдр 3 Додекаэдр 5 Икосаэдр 3 4 8 6 20 12 6 12 12 30 30 * См. соответствующую цитату на с. 47.— Прим. перев.

декаэдра. Позже будет показано, что кристаллы не могут обладать такой симметрией. Белов 1493 предложил считать пентагональную симметрию простейших организмов формой их защиты от кристаллизации*. Некоторые примеры, взятые из книги Геккеля 1153, показаны на рис. 2-71. Впечатление художника от пентагонального додекаэдра под выразительным названием «Кристаллический невольник» воспроизводится на рис. 2-72. На рис. 2-73 показана модель Солнечной системы по Кеплеру, построенная на правильных полиэдрах. Согласно этой модели, наибольшее расстояние какой-либо планеты от Солнца находится в постоянном Глава 2 84 Рис. 2-71. Радиолярин из книги Геккеля 115"1.

Рис. 2-72. Художественное восприятие пентагонального додекаэдра. Хорст Янссен: «Кристаллический невольник». Воспроизводится с разрешения. Простые и комбинированные типы симметрии отношении к наименьшему расстоянию от Солнца следующей, более удаленной, планеты. Во времена Кеплера в Солнечной системе было известно шесть планет, и, чтобы описать их расстояния, необходимо было использовать пять отношений. Кеплер поместил правильные многогранники между соседними планетами таким образом, что наибольшее расстояние от Солнца внутренней планеты соответствовало сфере, вписанной в полиэдр, а наименьшее расстояние внешней планеты соответствовало сфере, описанной вокруг него.

Артур Кестлер в книге «Лунатики» ~5Ц назвал планетарную модель Кеплера его «самой заметной ошибкой». Однако зта планетарная модель, являющаяся в то же время моделью плотнейшей упаковки, символична в том смысле, что, вероятно, представляет наиболее удачную попытку Кеплера в достижении единого взгляда на астрономию и на то, что сегодня мы называем кристаллографией. Отношения расстояний планет от Солнца, измеренных Коперником, и отношения радиусов сфер, вписанных и описанных, применительно к данному полиэдру приведены в табл. 2-4, следуя Шпееру ~521, цитирующего Кеплера ~50~. Имеется несколько превосходных монографий, посвященных правильным фигурам; две из них ~48, 533 заслуживают особого внимания. Рис.

2-73. Планетарная модель Кеплера, основанная на правильных полиэдрах ~503. 86 Глава 2 Таблица 2-4. Соотношения Кеплера (согласно Шпееру 1"52]) Отношение расстояния от внутрен- ней планеты к расстояшпо от внешней планеты ( х 1000) по данным Коперника Отношение радиуса вписанного шара к радиусу описанного шара ( х 1000) 1000 Сатурн 572 Юпитер/Сатурн 290 Марс/Юпитер 658 Земля/Марс 719 Венера/Земля 500 Меркурий/Венера Куб Тетраэдр Додекаэдр Икосаэдр Октаэдр 577 333 795 795 577 Все платоновы тела высоко симметричны и поэтому имеют одну общую характеристику.

Она состоит в том, что любая из осей симметрии не является единственной, а встречается несколько раз. Пять правильных полиэдров распадаются на три класса по признаку симметрии: Тетраэдр 3/2 т = 3/4 Куб и октаэдр 3/4 т = б/4 Додекаэдр и 3/5 и = икосаэдр = 3/10 Для класса симметрии тетраэдра существуют два эквивалентных способа описания: 3/2 и или же 3/4. Наклонная линия, связывающая две оси, показывает, что они не ортогональны.

Символ 3/2 гп обозначает две не ортогональные поворотные оси 3 и 2, а также включающую их плоскость симметрии. Эти три элемента симметрии показаны на рис. 2-74. Класс симметрии 3/2 т эквивалентен паре осей третьего порядка и четверной зеркально-поворотной оси. В обоих случаях тройные оси проходят через вершину тетраэдра и центр его противоположной грани. Четверные зеркально-поворотные оси совпадают с осями второго порядка.

Наличие четверной зеркально-поворотной оси хорошо видно, если тетраэдр повернуть на 90 относительно оси второго порядка, а затем отразить в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, операции симметрии, выбранные в качестве основных, порождают остальные элементы симметрии. Это доказывает эквивалентность обоих описаний. Характерные элементы симметрии куба показаны на рис. 2-74. Через центр куба, параллельно его граням, проходят три различные плоскости симметрии.

Характеристики

Список файлов книги