И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 61
Текст из файла (страница 61)
3 06 (1/3) Ь (2/3) б (3/3) 6 (4/3) 6... 4 06 (1/4) 6 (2/4) 6 (3/4) 6 (4/4) 6 (5/4) б... 6 ОЬ (1/6) 6 (2/б) 6 (3/6) б (4/6) б (5/6) 6 (6/6) 6 (7/6) б ... в Т (исключены Тэ О (1/2) с (1/3) с (2/3) 6 (1/4) 6 (2/4) 6 (3/4) С (1/6) 6 (2/6) 6 (3/6) б (4/6) 6 (5/6) г в Обозначение винтовых осей, допустимых в решетке 2, 3, 4, 6, 3г 4 6, 4 63 6„ б, Тот факт, что кристалл имеет решетчатую структуру, накладывает строгие ограничения на симметрию его внешней формы. Между тем возникает вопрос: можно ли получить любую информацию о кристаллической решетке, зная симметрию внешней формы? 32 кристаллографические точечные группы могут быть классифицированы по симметрийным критериям. Их обычно группируют в соответствии с осью наиболее высокого порядка, которую они содержат. Полученные группы называют кристаллографическими системами.
Таких систем существует всего семь, и они представлены в табл. 9-4. Чтобы получить пространственные группы, кристаллографические точечные группы следует комбинировать со всеми возможными пространственными решетками. Симметрия в кристаллах 423 Зэ ээ бэ 6э бэ Рис. 9-16. 11 винтовых осей. Для полноты сравнения показаны также поворотные оси 2„3, 4 и 6 131.
Ос 1960 Мсйга~ч-Н111, 1пс. Использовано с разрешения. 424 Глава 9 Таблица 9-3. Возможные плоскости скользящего отражения Тип скольжения Символ Трансляционная компонента а/2 Ь/2 с/2 а/2 + Ь/2; Ь/2 + с/2 или с/2 + а/2 а/4 + Ь/4; Ь/4 + с/4 или с/4 + а/4 ' Трансляционная компонента равна половине истинной трансляции вдоль диагональной грани центрированной плоской решетки.
Таблица 9-4. Характеристика кристаллографических систем Система Тип решетки 1 (или 1) Триклинная а~Ь~с а~~~у~90' Моноклинная 2 (или 2) а,-еЬФс Р 2 а=7=90',-е!3 С(или А) 3 222 (или 222) Ромбическая Р 4 С(или В, 5 или А) ! 6 Р 7 а ~ Ь ,-ь с а=р= у=90' Тригональная 3 (3) (ромбоэдрическая) а=Ь=с а=!3=7~90' Гексагональная 6 (6) Тетрагональная 4 (или 4) 10 11 а=Ь~с Р а=!3=7=90' ! Кубическая Четыре 3 (или 3) а=Ь=с Р а=!3=7=90' ! Р Координатное Координатное Координатное Диагональное Алмазное' а Ь с л Ы Минимальная симметрия (диагностические элементы симметрии) Соотношения между ребрами и углами элемен- тарной ячейки а=Ь~с а = !3 = 90' 'у = 120' Нумерация на рис.
9-17 12 13 14 Симметрия в кристаллах 9.4. 230 пространственных групп 425 Йиа Рис. 9-17. 14 решеток Бравэ. В трехмерном пространстве существует всего 14 бесконечных решеток, называемых решетками Бравэ (рис. 9-17). Они являются аналогами пяти бесконечных решеток в двумерном пространстве. Решетки Бравэ представляются в виде точек в вершинах параллелепипедов. Соответствующие параллелепипеды способны заполнить все пространство без промежутков и перекрываний. Представление решеток в виде систем точек особенно полезно, так как это позволяет соединить точки решетки любым желаемым образом в соответствии с требованиями симметрии. Таким образом, не только первоначальные формы параллелепипедов, но и любые другие возможные фигуры могут быть использованы как элементы для построения пространственной решетки.
426 Глава 9 14 решеток Бравэ перечислены в табл. 9-4. Решетки характеризуются следующими типами: примитивная (Р, Я), базоцентрированная (С), гранецентрированная (Е), объемноцентрированная (1). Число решеток Бравэ в табл. 9-4 соответствует их числу на рис. 9-17. Параметры решетки также перечислены в таблице. Кроме того, показано распределение типов решеток по кристаллографическим системам. Фактически существующие бесконечные решетки получают в результате параллельных переносов решеток Бравэ в качестве элементарных ячеек. Некоторые решетки Бравэ (но не все) также являются примитивными ячейками.
Например, объемно-центрированный куб является ячейкой, но не примитивной. В этом случае примитивная ячейка представляет собой косой параллелепипед, построенный с использованием в качестве ребер направлений трех отрезков, соединяющих центр тяжести с тремя несмежными вершинами куба. Трехмерные пространственные группы получают сочетанием 32 кристаллографических точечных групп с решетками Бравэ. Поскольку в пространственной группе элементы симметрии могут иметь трансляционные компоненты, на самом деле следует рассматривать не только 32 группы, но и аналогичные группы, содержащие винтовые оси и плоскости скользящего отражения. Всего существует 230 трехмерных пространственных групп! Полностью они описаны в Международных таблицах для рентгеновской кристаллографии 1193, а здесь мы обсудим лишь несколько примеров.
Существуют только две комбинации, возможные для триклинной системы, а именно Р1 и Р1. Для моноклинной системы нужно рассмотреть три точечные группы и два типа решеток. Комбинация решеток Р и 1, с одной стороны, и точечных групп 2 и 2, — с другой, приводит к четырем возможным сочетаниям Р2, Р2„12 и 12,. Две последние ячейки эквивалентны; они различаются только своим происхождением.
Изображение элементов симметрии пространственных групп подобно их изображению в точечных группах 1203. Главное различие состоит в том, что порядок, в котором записывают элементы симметрии пространственных групп, может быть очень важным, за исключением триклинной системы. Порядок элементов симметрии выражает их ориентацию в пространстве относительно трех координатных осей. В моноклинной системе особой осью является ось с или Ь. Для пространственной группы Р2 полный символ может быть Р112 или Р121 в зависимости от этого выбора и использования последовательности аЬс.
Эти два варианта называют первой установкой и второй установкой соответственно. Упорядочение символов для ромбической системы особенно важно. Элементы симметрии обычно записываются в порядке аЬс. Пространственную группу, принадлежащую к классу 2тт, соответственно представляют как Ртт2, причем особая ось совпадает с с. В тетрагональной системе за ось с принимают ось четвертого порядка. Запись элементов симметрии производят в порядке с, а 11103, Симметрия в кристаллах 427 так как две кристаллографические оси, перпендикулярные с, эквивалентны. Например, обозначение трехмерной пространственной группы Р4т2 имеет следующий смысл: особая ось в примитивной тетрагональной решетке — это ось 4, две оси а параллельны и и направление [1103 имеет симметрию двойной поворотной оси. Подобная последовательность используется для записи элементов симметрии в гексагональной системе, где ось с также является особой осью, а две другие оси эквивалентны.
Символ Р означает примитивную гексагональную решетку, тогда как А-центрированную гексагональную решетку, в которой в качестве элементарной ячейки выбирается примитивная ромбоэдрическая. В кубической системе эквивалентны все три кристаллографические оси. Порядок записи элементов симметрии таков: а, [11 Ц, [1101. Когда цифра 3 появляется во второй позиции, она служит только для отличия кубической системы от гексагональной. Определенный интерес представляет добавление новых элементов симметрии к группе или понижение ее симметрии с вытекающими отсюда следствиями. Если добавление приводит к новой группе, то ее называют надгруппой исходной группы. Если исключение симметрии приводит к новой группе, то она обычно является подгруппой исходной группы. Например, точечная группа 1, очевидно, является подгруппой всех остальных 31 групп, так как это наиболее низкая симметрия из всех возможных.
В то же время наиболее высокосимметричная группа не может иметь надгрупп. В представлении периодичности трехмерных групп особое значение имеют два рисунка Эшера (см. [211). Их сравнение выявляет важное различие между решеткой и структурой. Изображение на рис. 9-18 называется «Разбиение пространства на кубы» [223 и ясно подчеркивает однородность окружения каждого узла решетки, расположенного в центрах кубов. Изображение на рис.
9-19 было создано примерно через три года после предыдущего. Оно называется «Пучина» [221. Его трехмерный узор может иметь те же трансляционные свойства, что и предыдущий рисунок, но в целом его симметрия определенно более низкая. Этот рисунок представляет собой также пример псевдосимметрии, которая подразумевает более высокую симметрию в решетке, чем в действительной структуре. Брок и Лингафельтер [231 указали на обычно существующее недопонимание различия между кристаллом и решеткой.
Кристалл — это совокупность определенных единиц (атомов, ионов или молекул), структурный мотив которых повторяется в трех измерениях. Решетка — это совокупность точек, и каждая точка имеет одинаковое окружение из точек, расположенных вдоль определенного направления. Каждый кристалл связан с решеткой, начало координат и базисные векторы которой могут быть выбраны различными способами.
Из сказанного выше, например, ясно, что было бы неправильно говорить о «взаимном проникновении решеток»; но в то же время корректно говорить о взаимном проникновении совокупностей атомов [231. Симметрия в кристаллах 429 Из того как мы в нашем рассмотрении подошли к системе из 230 трехмерных пространственных групп, может показаться, что это совершенная система; но так оно и есть на самом деле. Эта система была установлена очень давно, задолго до того, как рентгеновские лучи стали применяться для изучения строения кристаллов. Тот факт, что 230 трехмерных пространственных групп были полностью выведены независимо друг от друга Федоровым, Шенфлисом и Барлоу, следует всегда рассматривать как великий научный подвиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
