И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Обозначение всегда начинается с буквы р, относящейся к трансляционной группе. Ось а направлена вдоль цепи, ось Ь лежит в плоскости чертежа и ось с располагается перпендикулярно этой плоскости. Первая, вторая и третья позиции символа после буквы р указывают на взаимную ориентацию элементов симметрии по отношению к координатным осям. Если ни поворотная ось, ни нормаль к плоскости симметрии не совпадают с координатной осью, то в соответствующей позиции символа ставится 1. Совпадение поворотной оси (2 или 2,) или нормали к плоскости симметрии (гн или а) с одной из координатных осей указывают, помещая символ этого элемента в соответствующей позиции. Кроме приведенных выше обозначений здесь даны два других, относящихся к двусторонним лентам, показанным на рис. 8-11.
Г'лава 8 372 Рис. 8-14. Невероятная винтовая лестница, к которой применима пространственная группа симметрии, поскольку по лестнице можно двигаться бесконечно. Идея этого рисунка навеяна рекламой кинофильма "С1йс1с пп Н1пгегпапк" («Счастье на задворках»). рии а,. Порядок винтовой оси равен и = 360'/а. (Особый случай, когда п-целое число.) Для винтовой оси второго порядка направление поворота несущественно. Для всех других винтовых осей направление может быть либо лево-, либо правосторонним.
Расположение листьев вокруг стеблей многих растений †превосходный пример симметрии винтовой оси в природе. Растение Р1ап1адо гпейа, изображенное на рис. 8-15, разумеется, не простирается бесконечно. Однако можно предположить, что для растений бесконечная последовательность (по крайней мере во времени) типа растение — семя — растение — семя... служит достаточным оправданием для использования пространственных групп при описании их симметрии.
Рассмотрим теперь относительное расположение листьев вокруг стебля Р!ап1адо вейа. Рис. 8-15. Расположение листьев вокруг стебля Р1ап~адо глеЫ Просгранстиенные группы симметрии Начав с листа «0», видим, что лист «8» окажется в затененной ориентапии по отношению к нему. Чтобы добраться до листа «8», начиная с нулевого, нужно трижды обогнуть стебель. Отношеие двух чисел, а именно 318„показывает, что любой новый лист встречается через каждые 3 8 части стебля. Отношение 3!8 характерно для филлотаксиса (расположение листьев на стебле растения), так же как и значения !!2. 1 3. 2.'5 Рис. 8-18. Полимерный анион (А8,1е) с винтовой осью 10, 14].
Воспроизводится с раз- решения. а-вид вдоль винтовой оси; последовательность атомов от внутренней части к наружной: 1-Ай-1; б- вид вдоль направления, перпендикулярного молекулярной оси; е-вид сверху и снизу пяти сочлененных тетраздров А814. Н Н а Н Н -,,М ., Н Н Н l 'Н Н СН1 С1к1 о1уг! Ск 09 о бтра) Оетн 01Ю Рис. 8-19. а-структура и период идентичности в цепочечной молекуле полиэтилена; б-эле- менты симметрии в цепочечной молекуле полиэтилена.
Рис. 8-20. а — линейная стержнеподобная структура а-спирали; б — неупорядоченная цепь полипептидной молекулы, в которой водородные связи, существующие в а-спи- рали, разорваны в растворе 16]. Воспроизводится с разрешения.
© 1957 Бс1еп6йс Ашепсап. Пространственные группы симметрии 377 Биологические макромолекулы часто различимы по их спиральным структурам, для описания которых применимы одномерные пространственные группы. На рис. 8-20, а показана полипептидная цепь а-спирали, а на рис. 8-20,б — полипептидная молекула в растворе. Повторяющаяся единица (плоский скелет ССОХНС) одинакова в обеих системах. Линейная стержнеподобная структура а-спирали стабилизирована водородными связями, а в растворе эти связи разорваны 163. 8.5.
Двумерные пространственные группы Всего существует 17 классов симметрии односторонних плоских сеток (см., например, 123). Они изображены на рис. 8-21 аналогично иллюстрации семи классов симметрии, присущих бордюрам (см. рис. 8-9). Приведены также наиболее важные элементы симметрии и координатные обозначения классов симметрии. Первая буква (р или с) в этом обозначении относится к группе трансляций. Следующие три позиции несут информацию о наличии различных элементов симметрии: гн — плоскость симметрии, д — плоскость скользящего отражения, 2, 3, 4 или 6 — поворотные оси.
Цифра 1 или пустое место указывают на отсутствие элемента симметрии. Представления классов симметрии на рис. 8-21 в некотором смысле были навеяны иллюстрациями, содержащимися в книге «Элементарная кристаллография» Бургера 173. Наряду с чисто геометрическими конфигурациями на рис. 8-21 представлены 17 венгерских вышитых узоров. Краткое описание их происхождения дано в пояснении к рисункам [83. В пространственных группах существует удивительное ограничение, накладываемое на возможный порядок осей симметрии. К причине этого ограничения мы обратимся позднее в главе, посвященной кристаллам (гл. 9), так как с ней связаны и трехмерные пространственные группы.
Решетка плоской сетки с двумерной пространственной группой описывается двумя неколлинеарными трансляциями. Такая решетка показана на рис. 8-22. Вопрос заключается в том, какую пару трансляций надо выделить, чтобы описать данную решетку. Существует бесконечное число способов выбора каждой трансляции, так как линия, соединяющая два любых узла решетки, является трансляцией решетки. На рис. 8-23 показаны плоская решетка и несколько возможных способов выбора трансляционных пар для ее описания. Для описания примитивной решетки выбирают такие трансляционные пары, как г, и г, или ~з и г4. Каждая примитивная решетка содержит только один узел. Ясно, что каждый узел на рис. 8-23 принадлежит четырем соседним ячейкам или только одна четверть узла принадлежит какой-то одной ячейке.
Так как у каждой ячейки четыре вершины, то все они дают целый узел. Наоборот, в результате переноса какой-нибудь одной примитивной ячейки все примитивные ячейки будут. содержать только один узел. С другой стороны, кратная ячейка содержит еще один или более узлов, 378 Глава 8 )з! ° ° ° Рис. 8-21. 17 классов симметрии односторонних плоских сеток, в которых отмечены наиболее важные элементы симметрии и даны обозначения классов. Для соответствующих типов симметрии вместе с геометрическими конфигурациями представлены примеры венгерских национальных вышивок. Ниже дается их краткое описание [81.
р! и р4. Материал для одежды, окрашенный индиго. Шейе, округ Баранья, 1899 гс р2. Украшение занавески (индиго). Использован узор, который очень популярен в настоящее время; рЗ, рб, рбввя, рзт! и рЗ!вь Рисунки крестьянского наряда с характерным мотивом из птиц. Северная Венгрия; рнь Рисунок с тюльпанами для скатерти. Вышивка крестом (начало нашего столетия); ртт2. Узор каймы покрывала с гранатовым мотивом.
Северо-Западная Венгрия, Х1Х в.; р4ат. Звездообразный узор каймы подушки. Вышивка крестом. Трансильвания, Х1Х вл ст. Узор каймы подушки с мотивом из павлиньих хвостов. Вышивка крестом. Весьма распространен по всей Венгрии примерно на рубеже двух столетий; сввя2. Узор каймы покрывала с мотивом из петушиных гребней.
Вышивка крестом. Округ Шомодь, Х!Х вс рд. Из коллекции узоров для украшений (индиго). Папа, округ Веспрем, !856 гх рдд2. Узор детской сумки. Трансильвания, на рубеже двух столетий; ртд2. Узор каймы подушки, украшенный мотивом стеблей с завитками.
Весьма распространен по всей Венгрии примерно на рубеже двух столетий; р4дкь Вышивка рукава блузы. Округ Бач-Кишкун, Х1Х в. 383 Пространственные группы симметрии А1 А11 Аз Ас Рис. 8-22. Плоская сетка, определяемая двумя неколлинеарными трансляциями. а ы у \ у Ъ у Ъ с \ \ \ Рис. 8-23. Иллюстрация примитивной и элементарной ячеек плоской решетки по Азарову 1223. © 1960 Мсйгач-Н111, 1пс.
Воспроизводится с разрешения. кроме узла, распределенного по вершинам. Например, трансляционная пара 1з и 1в определяет удвоенную ячейку. Ячейку называют элементарной, если под действием трансляций из нее можно получить целиком всю решетку. Таким образом, элементарная ячейка может быть либо примитивной, либо кратной. Обычно элементарную ячейку выбирают, так, чтобы лучше продемонстрировать симметрию решетки. Трансляции, выбранные за ребра плоской элементарной ячейки, обозначают а и в, а для пространственной решетки — а, Ь и с и называют их кристаллографическими осями. Углы между ребрами трехмерной элементарной ячейки обозначают а, р, у (в плоской решетке присутствует только у). На рис. 8-24 показаны три плоские сетки, основанные на одной и той же плоской решетке.
В каждой точке этих трех сеток пересекаются две и только две линии. Соответственно параллелограммы всех трех сеток имеют одинаковую площадь. Любой из них является элементарной 384 Глава 8 Рис. 8-24. Различные сетки на основе одной и той же плоской решетки. ячейкой, а на самом деле — примитивной. Каждый из этих параллелограммов определяется двумя сторонами а и Ь и углом у между ними. Их называют параметрами ячейки. Обычная плоская сетка, показанная на рис. 8-25,а, называется параллелограмматической решеткой. Четыре другие сетки, изображенные на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
