И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 57
Текст из файла (страница 57)
8-25, являются особыми случаями обычной решетки. Прямоугольная решетка (б) имеет элементарную ячейку с неравными сторонами. У так называемой алмазной решетки (в) стороны элементарной ячейки равны. Особый случай алмазной решетки — когда углы между равными сторонами элементарной ячейки составляют 120', и эта решетка (г) называется ромбической, или треугольной, так как короткая диагональ ячейки делит ее на два равносторонних треугольника. Можно считать, что такая решетка имеет гексагональную симметрию. Наконец, существует квадратная решетка (д). Выше были описаны пять особых плоских решеток в соответствии с предположением, что сами узлы решетки имеют наиболее высокую возможную симметрию. В этом случае симметрия пяти особых решеток такова (рис.
8-25): Рис. 8-25. Пять особых плоских решеток (от а до д, см. текст). Пространственные группы симметрии 385 Пространственные группы бескоординатиые символы координатные (или международные) символы (Ь/а): 2 Параллелограмматическая решетка (а) Прямоугольная решетка (б) Алмазная решетка (в) Гексагоиальиая или тригоиальиая решетка (г) Квадратная решетка (д) р2 (Ь:а):2.т (а/а): 2 т (а/а): б.
т ртт2 стт2 рбтт (а:а):4 т р4тт Комбинируя точечные группы симметрии с плоскими решетками, в целом можно получить 17 двумерных пространственных групп. Все они представлены на рис. 8-21. В действительности на возможные точечные группы, которые можно сочетать с решетками для получения пространственных групп, накладываются строгие ограничения. Некоторые элементы симметрии, подобно поворотной оси пятого порядка, несовместимы с трансляционной симметрией. Эти случаи будут подробно рассмотрены в гл.
9. 8.5Л. Некоторые простые сетки Рис. 8-26. Простейшая двумерная пространственная группа в четырех вариантах. Простейшая двумерная пространственная группа в четырех вариантах представлена на рис. 8-26. Эта группа не накладывает каких-либо ограничений на параметры а, Ь и у. Эквивалентные мотивы, повторяе- 386 Глава 8 мыс трансляциями, могут быть совершенно изолированы один от другого, могут состоять из несвязанных частей, могут пересекать друг друга и, наконец, могут заполнять всю плоскость без пробелов.
Конечно, такое разнообразие возможно и для любой из более сложных двумерных пространственных групп. Особенно любопытны такие варианты, в которых вся доступная поверхность покрыта без пробелов. М. Эшер особенно знаменит своими периодическими рисунками, заполняющими всю плоскость. Их симметрийные аспекты детально обсуждены голландским кристаллографом Каролиной Мак-Гиллаври 191.
Рис. 8-27, а заимствован из ее книги. Он характеризуется симметрией р1. Элементарная ячейка содержит комбинацию рыбы и судна (рис. 8-27, б). Мотив другого рисунка (8-28,а) из той же книги 1"9) составлен из сочетания птицы и рыбы (рис. 8-28,6). Можно выбрать ячейку так, чтобы в ней было по две птицы и рыбы, причем каждая соответствующая пара была бы связана поворотной осью второго порядка. Однако основной мотив (примитивная ячейка) содержит только одну птицу и одну рыбу. Это так называемая асимметричная единица. Элементарная ячейка в этой сетке содержит две асимметричные единицы.
Весь узор Рис. 8-27. а — периодический рисунок Эшера на основе рыбы и судна с пространственной группой р1, заимствованный из книги Мак-Гиллаври 1"9]. Воспроизводится с разрешения Международного союза кристаллографов; б — элементарная ячейка: рыба и судно в качестве повторяющегося мотива. 387 Пространственные группы симметрии Рис. 8-28. а — периодический рисунок Эшера на основе рыб и птиц с пространственной группой р2, заимствованный из книги Мак-Гиллаври (91. Воспроизводится с разрешения Международного союза кристаллографов; б — примитивная ячейка и элементарная ячейка с поворотной осью 2. можно получить действием двойных поворотных осей и трансляций. Его двумерная пространственная группа есть р2. Как отмечалось выше, в этом изображении присутствуют в целом четыре типа двойных поворотных осей.
Они всегда находятся на расстояниях (1/2)а, (1/2)Ь и (1/2) (а + Ь) друг от друга независимо от выбора элементарной ячейки. Канадский кристаллограф Франсуа Бриссе создал серию рисунков, представляющих двумерные пространственные группы, относящиеся к Канаде 110). Серия была посвящена Х11 конгрессу Международного союза кристаллографов, состоявшемуся в Оттаве в 1981 г. Рисунки должны были отобразить канадские провинции и канадские просторы.
Один из них приведен на рис. 8-29,а. Полярный медведь является 389 Пространственные группы симметрии Рис. 8-30. а — кленовый лист и его стилизованный вариант. Элементарная ячейка, содержащая поворотную ось 4, была символом Х11 конгресса Международного союза кристаллографов, Оттава, 1981 г.; 6 — периодический рисунок Бриссе «Канада».
Воспроизводится с разрешения из работы «Двумерная симметрия и Канада» 1103. уже был использован Пойя 1123 в его представлении 17 двумерных пространственных групп. Интересно отметить, что подобный рисунок встречается также в качестве примера типичных украшений в исламском искусстве 113], а одномерный вариант используется в виде ленточного орнамента 1143. Повторение мух, бабочек, соколов и летучих мышей на рисунке Эшера (рис. 8-31,а) достигается плоскостями зеркального отражения. На рис. 8-31,б изображена двумерная пространственная группа рит и примитивная ячейка ограничена специально выделенными плоскостями зеркального отражения. Симметрия еще одного периодического рисунка Эшера (рис.
8-32) иногда описывается неправильно. С первого взгляда кажется, что точки, в которых «сходятся» четыре раковины моллюсков и четыре морские звезды, имеют симметрию 4. Однако раковины улиток, расположенные между этими точками, обладают симметрией 2. Настоящие оси 4 можно обнаружить в точках, в которых соприкасаются четыре раковины улиток и четыре морские звезды. Все остальные точки обладают только симметрией 2 без других элементов симметрии 193.
Глава 8 390 Рис. 8-31. а — периодический рисунок Эшера на основе мух, бабочек, соколов и летучих мышей из книги Мак-Гиллаври 191. Воспроизводится с разрешения Международного союза кристаллографов; б — квадратная примитивная ячейка, стороны которой являются фрагментами зеркальных плоскостей, существующих в периодическом рисунке. Следующие три периодических изображения были созданы Х. Мамедовым, азербайджанским кристаллографом, и представлены в превосходной книге о симметрии, названной «Украшения напоминают» 1153.
Рис. 8-33 представляет декор цилиндрического мавзолея в Бадре (Азербайджан). Основной мотив, слово «Аллах», повторяется 200 раз в оригинальном мозаичном изображении, покрывающим всю поверхность сооружения. Рис. 8-33 при бесконечном продолжении имеет двумерную пространственную группу р4дт, такую же, как и рис. 8-30. Мамедову принадлежит рисунок, названный им «Единство» (рис. 8-34).
Его пространственная группа — р1, а основной мотив состоит из пожилого и молодого мужчин. Повторяемость одинаковых форм точно удовлетво- Рис 8-35. Периодический рисунок Мамедова «Чайки» 1153. Рис. 8-36. Головоломка «Механический конструктор» Маккея [163, воспроизводимая с разрешения.
Образцы каждой серии автоматически соединяются вместе, давая узоры заданной симметрии. В случае зеркальных плоскостей для построения требуются мелкие соединительные части. Нумерация соответствует 17 двумерным пространственным группам: 1. р1 7. стт2 13. р4дт 2. р2 8. ртт2 14. р4тт 3. рз 9. ст 15. рбтт 4. рб 10. рт 16. рЗт1 5. р4 11. ртд2 17.
р31т 6. рдд2 12. рд 393 Пространственные группы симметрии ряет требованию двумерной пространственной группы. Однако при более тщательном рассмотрении обнаруживается поразительная индивидуальность выражения лиц, особенно у пожилых мужчин. Третий рисунок Мамедова (рис.
8-35) назван «Чайки» [151. Симметрия здесь та же, что и на рис. 8-29. Наконец, 17 двумерных пространственных групп интересно представлены на рис. 8-36. Здесь изображены головоломные фигурки, специально выпиленные английским кристаллографом Аланом Маккеем [163. Каждый из образцов может автоматически соединяться с образцами этой серии, давая узоры указанной симметрии. 8.5.2. Зрительное воздействие узоров Шубников и Копцик [23 проанализировали влияние различных пространственных групп лент и сеток на восприятие людьми движения. Односторонний узор без полярной оси не вызывает ощущения движения. Вертикальные оси симметрии на рис.
8-37,а как бы предваряют движение. С другой стороны, ленты с полярными осями на рис. 8-37, б как бы заставляют почувствовать левостороннее (верхняя часть) или право- стороннее (нижняя часть) движение. Простые геометрические узоры Рнс. 8-37. а — вертикальные осн симметрии создают ощущение неподвижности (мексиканский декор); б — наличие полярных осей передает ощущение левостороннего нлн правостороннего движения в зависимости от направления осн. Узор заимствован нз книги [23; в — одномерная пространственная группа с имеющейся трансляцией прн повороте на 180' создает аналогию с двусторонним уличным движением. Глава 8 могут также достигать подобных эффектов, как показано, например, на рис.
8-7,а, вызывающем ощущение движения. и на рис. 8-7,6. символизирующем неподвижность. При взгляде на рис. 8-37.» возникае~ аналогия с двусторошгим уличным движением. Двумерные неоргогональные пространствснныс группы без плоскостей симметрии подчеркивают наклонное движение, как, например, узоры Пространственные группы симметрии 395 0~~0~~ ~~~~~ ©~Р~~ ~~~~~Й 0~ © ~ 3~~Й~Й г Рис. 8-38 (продолжение) имеющими горизонтальные оси трансляции и не содержащими вертикальной плоскости симметрии. Примером этого является рис.
8-38,б. Плоскость симметрии всегда передает впечатление невозможности дви- Рис. 8-39. Двумерные узоры, содержащие помимо трансляции только поворотные оси, динамичны; они могут вызывать ощущение вращения и танца. Рис. 8-40. Узоры с плоскостями скользящего отражения ~21. 1 лава 8 жсния в перпендикулярном направлении. ! ак, симметрия вьнпивки, изображенной на рис. 8-ЗХ,в, кажется прспятству~ощей горизонтальному движеншо, тснда как движение вверх и вниз представляется возможным.
~!~обой из двух узоров рис. Х-ЗК,, передаег ощущение движения .пкю вверх, лидо вниз. В них присутсгвунп вертикальные плоскосги зеркального отражения. Различие между узорами па рис. Х-ЗК.в и с состоит в Пространственные группы симметрии звп зтом узоре впечатление движения в двух направлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
