И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В то время как в принципе не существует ограничений числа классов симметрии молекул, не так обстоит дело для кристаллов. Что касается формы, то все кристаллы принадлежат к одному из 32 классов симметрии, возможных для кристаллов. Их также называют кристаллографическими точечными группами. На рис. 9-9, а и б приведены примеры точечных групп реальных минералов и соответствующие стереографические проекции элементов симметрии. 412 Глава 9 Ромбические Тетрагональные Триклинные и моноклинные Сс тетрагидрат тартрата аг аульфенит с/т Ссь Сг шеелит аксинит С22 ' с С2 сулырид никеля сахароза эпсомит стт Сгнг Сте днаболит гемиморфит хильгардит Отс Стл с/ттт 2/и ~ся ттт топаз аагнт касситерит ос капит Рис.
9-9. Представление 32 кристаллографических точечных групп: а — реальные минералы ~81; б — стереографические проекции. калькопирит Симметрия в кристаллах 23 йо10з. ЗНз О Нос)Оз нефелин тп бlт пирит апатит диоптаа 432 32 622 кварц кварц куприт бтт Зт сзи сфалерит цинкит турмалин тЗт 66 6/лтпп берилл кальцит флюорит Сзь бт2 ~зл бенитоит Рис.
9-9 (продолжение) Гексагональные Кубические (изометрические) Глава 9 4!4 Кубические [изометрнчегк Ромбические Триклинные и моноклин- ные Тетрагональ. ные Гексагональные 3 ° т \ с, з С 6 с Се е т 23 Сг ! 5а ТЬ тЗ 2 2 е 2 Й, е22 Оь 622 Сьу 6 льл Зу ту ДФ Сть 2/т Оь тзт 02л тт Оел еlттт 022 Зт Оьь 6/ттт 5 е Рис. 9-9 (продолжение) Отч Е2лг т2 Для получения стереографической проекции кристалл представляют в виде ряда линий, перпендикулярных его граням. Такой способ представления был введен вскоре после изобретения отражательного гониометра. Поместим кристалл в центр сферы и продолжим нормали, проведенные к его граням, до пересечения с поверхностью сферы, как показано на рис.
9-10, а. На поверхности сферы появится ряд точек, соответствующих ,О ,+ ,О ,О ,О .З Рис. 9-10. Получение стереографической проекции. Рис. 9-11. Стереографические проекции некоторых высокосимметричных простых форм: а — куба; б — тетраэдра; в — октаэдра; г — ромбододекаэдра. 41б Глава 9 граням кристалла. Теперь соединим все точки северного полушария с южным полюсом и отметим точки, в которых соединительные линии пересекают экваториальную плоскость.
Это создаст представление о гранях верхней полусферы кристалла внутри одного круга, как показано на рис. 9-10, б. Выполнив аналогичную операцию для точек на экваторе (9-10, в) и в южном полушарии (9-10, г), мы получим представление обо всем кристалле внутри круга проекций (9-10,д). Точки северного полушария отмечены темными кружками, а южного — светлыми. На рис. 9-11 приведены примеры стереографических проекций некоторых простых полиэдров.
9.3. Ограничения Наличие только 32 классов симметрии внешней формы кристаллов, очевидно, является следствием их внутреннего строения. Трансляционная периодичность ограничивает элементы симметрии, которые могут присутствовать в кристалле. Наиболее строгое ограничение — это отсутствие в кристаллах поворотных осей пятого порядка. Рассмотрим, например, плоские сетки многоугольников, обладающих поворотными осями второго, третьего, четвертого, пятого и т.д.
порядков (рис. 9-12). Многоугольники с двойными, тройными, четверными и шестерными осями покрывают всю поверхность без каких-либо промежутков, в то время как многоугольники с осями симметрии пятого, седьмого и восьмого порядков оставляют на поверхности промежутки. Типичные примеры полного покрытия доступной поверхности правильными шестиугольниками показаны на рис. 9-13. Заметно имеющееся сходство с плотноупакованными кругами. На самом деле, когда из воска строятся пчелиные соты, сначала образуется сетка из кружков.
Пчелы почти одинаковы по величине, и они постоянно совершают кругообразные движения. Сетка из кругов не будет полностью покрывать всю доступную поверхность. Шестиугольники будут образовываться по мере того, как жидкий воск будет затекать в полости между цилиндрами. На рис. 9-14 представлены две плоские сетки восьмиугольников.
Очевидно, что правильные восьмиугольники не могут покрывать поверхность без промежутков. Среди восьмиугольников встречаются мень- Рис. 9-!2. Плоские сетки правильных многоугольников, обладающих симметрией вплоть до поворотной оси восьмого порядка. Симметрия в кристаллах 4!9 Рис. 9-14. Восьмиугольные плоские сетки: а — узор по Вашарею 1161; б-венгерская вышивка [17"1. Глава 9 420 шие по величине квадраты. Один из узоров нарисован по Вашарею, а другой представляет собой рисунок венгерской вышивки. Было высказано предположение 1163, что рисунок Вашарея из восьмиугольников создан под некоторым влиянием народного искусства.
Теперь рассмотрим возможные типы осей симметрии в пространственных группах (см., например, 133). На рис. 9-15 приведен узловой ряд с периодом г. Через каждый его узел проходит поворотная ось и-го порядка, С„. Поскольку п поворотов всякий раз на угол <р должны приводить к самосовмещению, неважно в каком направлении они выполняются.
Два поворота на угол гр вокруг двух осей в противоположных направлениях показаны на рис. 9-15. Полученные таким образом два новых узла обозначим р и д. Эти два новых узла находятся на равных расстояниях от исходного ряда, и, следовательно, соединяющая их линия параллельна исходному узловому ряду. Длина параллельного отрезка, соединяющего р и и, должна быть равна произведению целого числа т и периода к Если зто не так, то линия, соединяющая новые узлы р и д, не будет трансляцией решетки и полученное множество не будет периодическим.
Используя рис. 9-15, можно определить углы поворота <р, которые могут существовать в решетке: тг = г+ 21 соз<р, т = О, + 1, + 2, + 3, ... где + т или — т зависит от направления поворота, а соз<р = (т — 1)/2 Следует рассматривать только решения, соответствующие области — 1 < сов <р < 1 Эти решения приведены в табл. 9-1. Возможны только пять решений, и соответственно лишь пять типов поворотных осей совместимы с решеткой. Таким образом, в кристаллических структурах недопустима не только симметрия пятерной оси, но невозможны также все оси порядка выше шести.
Естественно, это с таким же успехом применимо и к плоским сеткам. Допустимый порядок зеркально-поворотных осей имеет те же Т Рис. 9-15. Иллюстрация определения возможных порядков поворотных осей, которые могут присутствовать в пространственных группах 133. © 1960 МсОгаю-Н111, 1пс. Использовано с разрешения. 421 Симметрия в кристаллах Тнблииа 9-1. Допустимые поворотные оси и в решетке соя ср ~р !') н Возможные значения т — 1 -1 180 2 — 1/2 120 3 0 90 4 +1/2 60 6 +1 360 1 или 0 — 2 — 1 0 +1 +2 ограничения, что и порядок простых поворотных осей. Рассмотрим теперь ограничения, налагаемые на винтовые оси.
В решетке винтовые оси должны быть параллельны трансляционному направлению. После и поворотов на угол ~р и п переносов на расстояние Т, т.е. после п переносов вдоль винтовой оси, общее число трансляционных расстояний в направлении этой оси должно быть равно некоторому кратному числу трансляций решетки тп пТ= т1 где п и т — целые числа. Из этого уравнения получаем Т= т1/п где т, конечно, может быть О, 1, 2, 3 и т. д., но п может быть только 1, 2, 3, 4 или 6.
Теперь можно определить допустимые значения шага винтовых осей в решетках. Их сводка дана в табл. 9-2, при этом принимается также во внимание, что (3/2 1) = 1+ (1/2) 1, (5/4) ! = Г + (1/4) ! и т.д. Существует только 11 винтовых осей, п„, которые допустимы в решетке в соответствии с табл.
9-2. Нижний индекс в обозначении (т) взят из выражения Т= (т1)/и. Простые поворотные оси можно рассматривать как частный случай винтовых осей с т = О и т = п. На рис. 9-16 изображены 11 винтовых осей. Ясно, что некоторые пары отличаются только направлением поворота. Такие винтовые оси являются энантиоморфными. Следующие пары винтовых осей энантиоморфны: 3, и Зз, 4, и 4„6, и б„бз и бя.
Наконец, единственный элемент симметрии, который осталось рассмотреть, — плоскость симметрии скользящего отражения. Она вызывает скользящее отражение в результате отражения и переноса. Трансляционная компонента Т плоскости скользящего отражения представляет собой половину обьгчной трансляции решетки в направлении скольжения.
Скольжение вдоль оси а равно Т= (1/2)а и называется плоскостью скользящего отражения а. Подобным образом диагональное скольжение может иметь Т= (1/2) а + (1/2) с. Различные возможные плоскости скользящего отражения приведены в табл. 9-3. Глава 9 422 Таблица 9-2. Возможные значения шага Тдля винтовой оси и-го порядка в т 1 06 16 26... 2 Об (1/2) с (2/2) 6 (3/2) 6...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
