И. Харгиттаи, М. Харгиттаи - Симметрия глазами химика (1124212), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Направление распространения синусоидальной волны, очевидно, является осью скользящего отражения, как показано на рис. 8-3. Простая трансляция — самый очевидный и самый важный элемент симметрии пространственных групп. Трансляция многократно переносит систему конгруэнтно самой себе. Кратчайшее расстояние, на которое трансляция переносит систему конгруэнтно самой себе, называется элементарной трансляцией, или элементарным периодом. Иногда его также называют периодом идентичности.
Наличие трансляции хорошо видно в системе на рис. 8-1. Симметрийный анализ всей системы называют, согласно Буддену 111, аналитическим приближением. Обратная процедура, в которой бесконечная и очень усложненная система строится из основного мотива, является синтетическим приближением. Таким образом, система на рис.
8-1,а может быть построена из отдельных крючков. Существует несколько путей продолжения. Так, например, крючок может быть подвергнут действию простой трансляции, затем отражения в продольной и далее в поперечной плоскости, как это показано на рис. 8-4, а. Полученный таким путем горизонтальный порядок представляет собой одномерную систему. Его можно распространить на двумерную систему с помощью простой трансляции (рис. 8-4, а) или действием операции скользящего отражения (рис. 8-4,б). В конечном счете может быть получена полная двумерная система, изображенная на рис. 8-1, содержащая, конечно, все свои элементы симметрии.
В этом синтетическом приближении вместо отдельного крючка для начала может быть выбран любой другой мотив, составленный из него. Если выбран крестообразный мотив, содержащий восемь таких крючков, то для построения конечной системы необходимы трансляции только в двух направлениях. Чтобы как можно больше узнать о структуре системы, нужно отобрать для начала наименьший возможный мотив. в1г1( ~+ф) юг Т Рис. 8-3. Функция, описывающая простое гармоническое движение. Пространственные группы симметрии 363 Г Г Г Г Г Т Т Т Т Т Рис.
8-4. Проектирование узора. а-начинается с простого крючка, затем следует перенос в горизонтальном направлении, отражение в продольной и поперечной плоскостях и перенос в вертикальном направлении; б †применен скользящего отражения. Одномерные пространственные группы являются простейшими. Они имеют периодичность только в одном направлении и могут относиться к одно-, двух- или трехмерным фигурам (см. соответственно 6„', 6', и 6з, в табл. 2-2). В «бесконечных» углеродных цепях присутствуют одномерные системы (рис. 8-5). Элементарной трансляцией, или периодом идентичности, является длина двойной связи углерод — углерод (г) в цепи, состоящей только из двойных связей, в то время как в цепи, состоящей из чередующихся связей, это есть сумма длин двух различных связей (г, + г,). Поскольку молекулярная цепь вытянута вдоль оси связей углерод-углерод, эта ось может быть названа трансляционной.
Однако г "'=СкС=С=СкС=-. Рис. 8-5. «Бесконечные» цепи атомов углерода. а-система с одним типом химической связи; элементарная трансляция — длина связи (г); б — чередующиеся связи; элементарная трансляция — сумма длин двух различных связей (г, + гз). Глава 8 гораздо важнее пространственное направление оси, а не месторасположение молекулы. Поэтому трансляционной осью может быть любая линия, параллельная углеродной цепи. Ось углерод — углерод является особой осью, и она неполярна, так как оба направления вдоль цепи совершенно эквивалентны. Ранее мы встречались с бинарным порядком... АВАВ...
в кристалле. Неравные интервалы между атомом А и двумя соседними атомами В порождают полярную ось (см. разд. 2.6 о полярности). 8.2. Бордюры Дети дошкольного возраста и первоклассники часто рисуют линейные узоры, подобно тем, которые изображены на рис. 8-6. Эти узоры— двумерные с периодичностью в одном направлении (6',). Они имеют особую ось, и для узоров, изображенных на этом рисунке, она не- полярна. Однако оси могут быть и полярными. На рис. 8-7 представлены две греческие декоративные ленты; одна из них имеет полярную ось, а ось другой ленты неполярна. Важная черта узоров, изображенных на рис. 8-6 и 8-7,-наличие у них особой полярной плоскости, которой является плоскость чертежа. Эта плоскость остается неизменной при переносе. Такие двумерные узоры с периодичностью в одном направлении называют бордюрами 1"21.
На рис. 8-8 представлены три других бордюра с заметно полярными осями. Вообще существует семь классов симметрии бордюров (см. 121). Они проиллюстрированы рис. 8-9 для простого мотива — черного треугольника. Их краткая характеристика дана ниже. в ° ° ° ° ааааа авве еав ° вааавававав в в в ° ° а е е 5 — 5 5 5 5-5 5 5 5 П ОН ОП ОП ОП ОП ОПОПОП ОП ОПО ПОП об 00 00 Оеа 00 оса 00 ОФ 00 00 00 00 оо ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ° ° Рнс. 8-6. Линейные узоры, нарисованные Эстер Харгиттаи, 1980.
Рис. 8-7. Греческие узоры с одномерной пространственной группой симметрии: а — с полярной осью; б-без полярной оси. 365 Пространственные группы симметрии Рис. 8-8. Бордюры с полярными осями. Г ° > 4 4 4 7 Рис. 8-9. Семь классов симметрии бордюров. 366 Глава 8 Рис. 8-10. Иллюстрация семи классов симметрии бордюров с помощью венгерских вышивок 133. Нумерация соответствует рис. 8-9.
Приведем краткие сведения об этих вышивках. 1. Бордюр Столешницы. Калоча, Южная Венгрия. 2. Бордюр края наволочки. Округ Тольна, Юго-Западная Венгрия. 3. Украшение, пришнваемое на длинный войлочный плащ венгерских пастухов. Округ Бихар, Восточная Венгрия. 4.
Вышитая кайма покрывала ХУ111 в. Отметим отклонение от описываемой симметрии в нижней части узора. 5. Украшение рубашки. Карад, Юго-Западная Венгрия. 6. Декоративный узор наволочки. Тороко (Риметеа), Трансильвания, Румыния. 7. Узор из виноградных листьев. Восточный берег реки Тисы. Глава 8 1. Обозначение (а).
Единственный элемент симметрии — ось трансляции. Период трансляции — расстояние между двумя идентичными точками последовательных черных треугольников. 2. Обозначение (а) а. Этот узор характеризуется плоскостью скользящего отражения (а). Черный треугольник совмещается сам с собой после переноса на половину периода трансляции (а/2) и отражения в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа. 3. Обозначение (а): 2.
Этот узор содержит трансляцию и поворот на 180 . Поворотная ось второго порядка перпендикулярна плоскости бордюра. 4. Обозначение (а):т. На этом узоре перенос достигается отражением в поперечных плоскостях симметрии. 5. Обозначение (а).т. Здесь ось трансляции сочетается с продольной плоскостью симметрии. 6. Обозначение (а) а: т. Симметрия этого узора может быть охарактеризована комбинацией плоскости скользящего отражения с поперечными зеркальными плоскостями симметрии. Здесь присутствуют также ось трансляции и поворотные двойные оси, перпендикулярные плоскости чертежа.
Последние элементы порождены элементами, упомянутыми ранее. Можно было бы дать и такое описание этого класса симметрии: комбинация плоскости скользящего отражения с двойными осями,— и соответствующее этому обозначение было бы (а):2.а. 7. Обозначение (а).т т. Этот узор имеет самую высокую симметрию, достигаемую за счет комбинации оси трансляции с поперечными и продольными плоскостями симметрии. В этом описании двойные оси перпендикулярны плоскости чертежа и порождены другими элементами симметрии. Альтернативное обозначение — (а): 2.т.
Семь одномерных классов симметрии бордюров иллюстрируются на рис. 8-10 узорами венгерских вышивальщиц. Этот вид вышивания действительно является «бордюром» и идеально пригоден для этой цели. 8.3. Двусторонние ленты Если особая плоскость ленты неполярна, то лента двусторонняя. В целом ленты имеют 31 класс симметрии 123, из которых 7 характеризуют только бордюры. Рис. 8-11,а показывает бордюр, порожденный переносом мотива из листьев. Рис. 8-11,б является двумерной лентой, характеризуемой плоскостью скользящего отражения. Она содержит перенос на половину периода трансляции и отражение в плоскости чертежа. Листовые узоры на рис.
8-11 параллельны узорам из черных треугольников. Новый элемент симметрии иллюстрирует рис. 8-11,в; это винтовая ось второго порядка, 2,. Соответствующее преобразование представляет собой перенос на половину периода трансляции и поворот на 180 . Все классы симметрии лент (их число равно 31), составляющие Пространственные группы симметрии 369 ап В Рис. 8-! 1. а — бордюры, образуемые простым переносом листа и мотива черных треугольников. Плоскость рисунка является особой полярной плоскостью; б-двусторонние ленты, получаемые из бордюров введением плоскости скользящего отражения. Особая плоскость, лежащая в плоскости рисунка, более не является полярной.
Плоскость скользящего отражения, совпадающая с плоскостью рисунка, обозначена а„(23. Отметим, что две стороны листьев имеют разные цвета (черный и белый); в — двусторонние ленты, образуемые из бордюров введением винтовой оси второго порядка. одномерные группы, приведены на рис. 8-12 (согласно Шубникову и Копцику [23). Помимо двух классов, уже проиллюстрированных рис.
8-11,б и в, дадим обозначения только для 7 особых классов, которые соответствуют бордюрам: Нумерация (см. рис. 8-12) Бескоординатное обозначение Координатное (международное) обозначение (а) (а) т (а). а (а): 2 (а): т (а) а:т (а). т: т 1 4 5 12 16 18 29 р1 р!т1 п1а1 р112 рт11 рта2 ртт2 370 Глава 8 Рис. 8-12. 31 класс симметрии лент. Две стороны треугольников имеют разные цвета (черный и белый). Две стороны треугольников с точкой имеют одинаковый цвет 12]. Жирный шрифт в нумерации указывает на особые случаи бордюров. Так называемые координатные или согласованные международные обозначения относятся к взаимной ориентации координатных осей и элементов симметрии [23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
