Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128)
Текст из файла
Ñïåöêóðñ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè¿ëåêòîð Ô. Þ. Ïîïåëåíñêèé20052006Çàìå÷àíèÿ íàáîðùèêà. ×åðåç NX x è I â òåêñòå îáîçíà÷àþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îêðåñòíîñòü òî÷êè x â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X è îòðåçîê äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé. Çàìûêàíèå ìíîæåñòâà Y â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâåX îáîçíà÷àåòñÿ òàê: [Y ]X , ïðè ýòîì, èíäåêñ X , ÷àùå âñåãî, îïóñêàåòñÿ. Êðîìå òîãî, òàì ãäå ýòî íå äîïóñêàåò ïóòàíèöû, ìû èíîãäà áóäåì îïóñêàòü ñêîáêè: òàê, íàïðèìåð, f x è f (x) ýòî îäíî è òî æå. Ïîä (ïàðà)êîìïàêòàìèïîíèìàþòñÿ (ïàðà)êîìïàêòíûå õàóñäîðîâû ïðîñòðàíñòâà, âïðî÷åì, íåõàóñäîðîâû ïðîñòðàíñòâà çäåñü âîîáùå íåðàññìàòðèâàþòñÿ.17 ñåíòÿáðÿ 2006 ã.1.èìàíîâà ãåîìåòðèÿÍàïîìíèì, ÷òî åñëè M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, è U êàðòà ñ êîîðäèíàòàìè (x), ñîäåðæàùàÿòî÷êó P , òî â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå TP M åñòü ñòàíäàðòíûé áàçèñ ∂x∂ 1 , .
. . , ∂x∂n , îáîçíà÷àåìûéòàêæå ∂1 , . . . , ∂n . ×åðåç Vect(M ) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ãëàäêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà M . Åñëèv ∈ Vect(M ), òî v = v i ∂i äëÿ íåêîòîðûõ vi (x) ∈ C ∞ (U ). Åñëè f ∈ C ∞ (M ) è v ∈ Vect(M ), òî ∂v f =∂ivf := v i ∂xi f = v ∂i f . Êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé v, w ∈ Vect(M ) ýòî [∂v , ∂w ] = ∂v ∂w − ∂w ∂v .1.1. Óòâåðæäåíèå. Êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì ïåðâîãî ïîðÿäêà.Äîêàçàòåëüñòâî.
àñïèøåì îðìóëó äëÿ êîììóòàòîðà.Îòñþäà∂ ∂ ∂ i ∂∂2∂ wf + v i wj j i f.∂v ∂w f = ∂v w i i f = v j j w i i f = v ji∂x∂x∂x∂xj ∂x∂x ∂x ∂∂∂[∂v , ∂w ]f = v j j wi − wj j v if = ∂[v,w] f,∂x∂x∂xièáî â ñêîáêàõ ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñòîèò i-àÿ êîìïîíåíòà âåêòîðíîãî ïîëÿ [v, w]. 1.1. Àèííàÿ ñâÿçíîñòüÁóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà àèííàÿ ñâÿçíîñòü, åñëè äëÿ âñÿêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé v, w ∈ Vect(M ) çàäàíî ∇v w ∈ Vect(M ), óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:1) áèëèíåéíîñòü ïî îáîèì àðãóìåíòàì;2) åñëè f ∈ C ∞ (M ), òî ∇f v w = f ∇v w;3) åñëè f ∈ C ∞ (M ), òî ∇v (f w) = (∂v f )w + f ∇v w.Ïóñòü â êàðòå U èêñèðîâàíû êîîðäèíàòû (x).
Òîãäà îïðåäåëåíû ∇∂i ∂j ∈ Vect(U ). Ýòî âåêòîðíîå ïîëå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî áàçèñó: ∇∂i ∂j = Γkij ∂k . Ôóíêöèè Γkij íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîåëÿ èëè êîýèöèåíòàìè ñâÿçíîñòè.1.2. Çàìå÷àíèå. ×òîáû çàäàòü àèííóþ ñâÿçíîñòü â îáëàñòè U ñ êîîðäèíàòàìè (x), äîñòàòî÷íîçàäàòü ãëàäêèå óíêöèè Γkij . Òîãäà ñâÿçíîñòü çàäà¼òñÿ îðìóëîé∇v w = v i ∂wk + wj Γkij ∂k .i∂xÏàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ â M ýòî ãëàäêîå îòîáðàæåíèå γ : (a, b) → M .Âåêòîðíîå ïîëå âäîëü êðèâîé γ ýòî óíêöèÿ, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðàt ∈ (a, b) âåêòîð vt ∈ Tγ(t) M .Dv , ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:Ïóñòü v âåêòîðíîå ïîëå âäîëü γ . Îïðåäåëèì âåêòîðíîå ïîëå dtDDD1) ëèíåéíîñòü: dt (v1 + v2 ) = dt (v1 ) + dt (v2 );DD(f v) = df2) åñëè f ∈ C ∞ (M ), òî dtdt v + f dt v ;Dv = ∇ dγ ṽ .3) åñëè âåêòîðíîå ïîëå v íà γ åñòü îãðàíè÷åíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ ṽ íà M , òî dtdt1.3.
Òåîðåìà. Ïóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà àèííàÿ ñâÿçíîñòü, è γ(t) ïàðàìåòðèçîâàííàÿêðèâàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé îïåðàòîð1Ddt v ,óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì 1) 3).1nÄîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (x , . . . , x ), è ïóñòü êðèâàÿ γ(t) â1nñîîòâåòñòâóþùåé êàðòå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå x (t), . . . , x (t) . Åñëè v âåêòîðíîå ïîëå âäîëü γ , òîDv(t) = v i (t)∂i |x(t) . Ïðèìåíÿÿ óñëîâèÿ 1) 3) íàïèøåì âûðàæåíèå, ñ êîòîðûì äîëæíî ñîâïàäàòü dtv: dv i (t)Ddv i (t)D idv i (t)Ddxj iv=∂i |x(t) + v i (∂i |x(t) ) =∂i |x(t) + v i ∇ dγ ∂i =∂i + v kΓ ∂i ,v (t)∂i |x(t) =dtdtdtdtdtdtdtdt jkD îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî åñëè îïåðàòîð dtñóùåñòâóåò, òî îí åäèíñòâåí. Íàîáîðîò, åñëè çàäàòüDdt ïîëó÷åííîé îðìóëîé, òî ëåãêî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé 1) 3), ÷òî è òðåáóåòñÿ.
1.2. Ïàðàëëåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿÏóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà àèííàÿ ñâÿçíîñòü, è γ(t) ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ íà M . Âåêòîðíîå ïîëå v , çàäàííîå âäîëü γ íàçûâàåòñÿDv ≡ 0 (¾ïîñòîÿííîñòü âäîëü γ ¿).ïàðàëëåëüíûì, åñëè dt1.4. Òåîðåìà. Ïóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà àèííàÿ ñâÿçíîñòü ∇, à γ : (a, b) → M ïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ íà M , è t0 ∈ (a, b). Òîãäà äëÿ êàæäîãî v0 ∈ Tγ(t0 ) M ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåïàðàëëåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå v âäîëü γ , äëÿ êîòîðîãî vt0 = v0 .Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàòü, ÷òî γ(a, b) ⊂ U è (x1 , . . . , xn ) ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â U . Ïóñòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå v0 = v0k ∂k . Äëÿ ïàðàëëåëüíîñòèïîëÿ v íóæíî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà Dvdt ≡ 0, ò. å. ÷òîáû ïðîâåðèòü óñëîâèÿ òåîðåìû íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû( idv (t)k dxj idt + v dt Γjk = 0, i = 1, . . . , k;iv (t0 ) = v0i ,i = 1, . .
. , k.Ïî òåîðåìå ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè â îêðåñòíîñòè òî÷êè t0 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà ëèíåéíà, òî ðåøåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñþ îáëàñòüèçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà.  óñëîâèÿõ ïîñëåäíåé òåîðåìû åñëè t ∈ (a, b), òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð v(t) ïîëó÷åí ïàðàëëåëüíûìïåðåíîñîì âåêòîðà v0 âäîëü γ . Ñâÿçíîñòü íàçûâàåòñÿ ñîãëàñîâàííîé ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé íà ìíîãîîáðàçèè, åñëè ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ âäîëü êàæäîé êðèâîé ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.M ñîãëàñîâàíàñ ìåòðèêîé, à v è w âåêòîðíûå1.5. Òåîðåìà. Åñëè ñâÿçíîñòü íà ìíîãîîáðàçèèD Ddïîëÿ âäîëü êðèâîé γ , òî dthv, wi = dtv, w + v, dtw .Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó γ(t0 ) êðèâîé γ , è â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tγ(t0 ) M âûáåðåì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Pi0 , i ∈ n. Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå îïðåäåëåíîïàðàëëåëüíîå âäîëü γ âåêòîðíîå ïîëå Pi , äëÿ êîòîðîãî Pi |t=t0 = Pi0 .
Ïîñêîëüêó ñâÿçíîñòü ñîãëàñîâàíà ñ ìåòðèêîé, òî Pi â êàæäîé òî÷êå êðèâîé îáðàçóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.Ïóñòü v = v i Pi è w = wi Pi . ÒîãäàDvDdv iDPi idv i= (v i Pi ) =Pi +v =Pi .dtdtdtdtdtÏîýòîìó èìååì:X dv ii∈n÷òî è òðåáîâàëîñü. dtwi +ddwi i d X i iv w = hv, wi,v =dtdt i∈ndt1.3. èìàíîâà ñâÿçíîñòüÒîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïàðàêîìïàêòíûì, åñëè â êàæäîå åãî îòêðûòîå ïîêðûòèå ìîæíî âïèñàòü ëîêàëüíî êîíå÷íîå îòêðûòîå ïîêðûòèå, èëè, ÷òî â õàóñäîðîâîì ñëó÷àåýêâèâàëåíòíî, åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ ñóùåñòâóåò ïîä÷èí¼ííîå åìó ëîêàëüíî êîíå÷íîå ðàçáèåíèå åäèíèöû.
Ïðè ýòîì, â ñëó÷àå õàóñäîðîâà ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ýòî ðàçáèåíèååäèíèöû ìîæíî ñ÷èòàòü ãëàäêèì.1.6. Òåîðåìà. Íà êàæäîì õàóñäîðîâîì ïàðàêîìïàêòíîì ãëàäêîì ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóåò ðèìàíîâà ìåòðèêà.2Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {Ui } îòêðûòîå ïîêðûòèå äàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ó êîòîðîãî âñå ýëåìåíòû ãîìåîìîðíû Rn è h·, ·ii êàêîå-íèáóäü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Ui ïðè âñåõ i. ÅñëèUi ∩ Uj 6= ∅, òî äëÿ âñåõ α, β > 0 îðìóëà αh·, ·ii + βh·, ·ij çàäà¼ò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Ui ∩ Uj .ëîêàëüíî êîíå÷íîå ðàçáèåíèå åäèíèöû, ïîä÷èí¼ííîå ïîêðûòèþ Ui . Òîãäà îðÏóñòü ϕi ãëàäêîåPìóëà h·, ·i = ϕi h·, ·ii çàäà¼ò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà âñ¼ì ìíîãîîáðàçèè. Ñâÿçíîñòü íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Γkij = Γkji .1.7.
Ëåììà. Ñâÿçíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñÿêèõ âåêòîðíûõïîëåé v, w ∈ Vect(M ) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ∇v w − ∇w v = [v, w].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ ëþáûõ v, w ∈ Vect(M ) âûïîëíåíî ∇v w − ∇w v = [v, w]. Ïîäñòàâèìâ ýòî âûðàæåíèå ïîëÿ v = ∂i è w = ∂j . Òîãäà0 = [∂i , ∂j ] = ∇∂i ∂j − ∇∂j ∂i = Γkij ∂k − Γkji ∂k ,à çíà÷èò äëÿ âñåõ k âûïîëíåíî Γkij − Γkji = 0, ÷òî è îçíà÷àåò ñèììåòðè÷íîñòü ñâÿçíîñòè.Íàîáîðîò, ïóñòü ñâÿçíîñòü ñèììåòðè÷íà, è â íåêîòîðûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ïîëÿ çàïèñûâàþòñÿ òàê: v = v i ∂i è w = wi ∂i .
Òîãäà∇v w = ∇vi ∂i (wj ∂j ) = v i ∇∂i (wj ∂j ) = v i (∂i wj )∂j + wj Γkij ∂k ,è∇v w − ∇w v = v i (∂i wj ) − wi (∂i v j ) ∂j + (v i wj − wi v j )Γkij ∂k , â ýòîì ðàâåíñòâå ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ ââèäó ñèììåòðè÷íîñòè ñâÿçíîñòè, à ïåðâîå êàê ðàç êîììóòàòîð. 1.8. Òåîðåìà. Åñëè M ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ àèííàÿ ñâÿçíîñòü, ñîãëàñîâàííàÿ ñ ìåòðèêîé. Îíà íàçûâàåòñÿ ñâÿçíîñòüþ Ëåâè×èâèòà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü gij = h∂i , ∂j i ðèìàíîâà ìåòðèêà ìíîãîîáðàçèÿ M .
Ïîñìîòðèì, êàêèåîãðàíè÷åíèÿ íà Γkij ìîæíî ïîëó÷èòü èç óñëîâèé ñèììåòðè÷íîñòè è ñîãëàñîâàííîñòè.∂k gij = ∂k h∂i , ∂j i = h∇∂k ∂i , ∂j i + h∂i , ∇∂k ∂j i = h∇∂k ∂i , ∂j i + h∇∂j ∂k , ∂i i.Äëÿ ÷¼òíûõ ïåðåñòàíîâîê èíäåêñîâ i, j, k ñëîæèì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ñî ñëåäóþùèìè çíàêàìè:∂k gij = h∇∂k ∂i , ∂j i + h∇∂j ∂k , ∂i i ñî çíàêîì ¾−¿,∂i gjk = h∇∂i ∂j , ∂k i + h∇∂k ∂i , ∂j i ñî çíàêîì ¾+¿,∂j gki = h∇∂j ∂k , ∂i i + h∇∂i ∂j , ∂k i ñî çíàêîì ¾+¿.Ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå1(∂i gjk + ∂j gki − ∂k gij ) = h∇∂i ∂j , ∂k i = hΓlij ∂l , ∂k i = Γlij glk .2Èòàê, åñëè ñâÿçíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì òåîðåìû ñóùåñòâóåò, òî çàäà¼òñÿ îðìóëîéΓkij =1 klg (∂i gjl + ∂j gli − ∂l gij ).2Ñèììåòðè÷íîñòü òàêîé ñâÿçíîñòè ñðàçó ñëåäóåò èç ïîñëåäíåé îðìóëû.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîãëàñîâàííîñòè äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî ∂k h∂i , ∂j i = h∇∂k ∂i , ∂j i + h∇∂k ∂j , ∂i i ýòî ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñäåëàòü ÷èòàòåëþ. 1.9. Óïðàæíåíèå. Ïóñòü M ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå, è s : R2 → M ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçî∂s∂sè ∂y. Ïðîâåðèòü, ÷òîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáðàçóåì âåêòîðû ñêîðîñòè êîîðäèíàòíûõ ëèíèé: ∂xD ∂sD ∂s∂y ∂x = ∂x ∂y .Óêàçàíèå.  ðàâåíñòâåñòè.D ∂s∂x ∂y=∂ 2 si∂x∂y ∂i+∂sk ∂sj i∂y ∂x Γjk ∂i3âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðè÷íîñòüþ ñâÿçíî-1.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
