Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òåíçîð êðèâèçíû èìàíàÏóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà àèííàÿ ñâÿçíîñòü ∇, è X, Y, Z ∈ Vect(M ). Òåíçîð êðèâèçíûR îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z = R(X, Y )Z .1.10. Òåîðåìà. Îòîáðàæåíèå (X, Y, Z) 7→ R(X, Y )Z ëèíåéíî ïî êàæäîìó àðãóìåíòó íàä C ∞ (M ).Çíà÷åíèå R(X, Y )Z â òî÷êå P ∈ M çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé X, Y, Z â òî÷êå P .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè äëÿ R(X, Y )Z òðèâèàëüíî. Ïîêàæåì, äëÿ ïðèìåðà,êàê ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî R(f X, Y )Z = f R(X, Y )Z , äëÿ âòîðîãî è òðåòüåãî àðãóìåíòîâ àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà äîêàçûâàþòñÿ ïî òîìó æå ïðèíöèïó.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè f ∈ C ∞ (M ), òî∇f X ∇Y Z = f ∇X ∇Y Z,∇Y ∇f X Z = ∇Y (f ∇X Z) = (∂Y f )∇X Z + f ∇Y ∇X Z,[f X, Y ] = f [X, Y ] − (∂Y f )X,∇[f X,Y ] Z = ∇f [X,Y ]−X∂Y f Z = f ∇[X,Y ] Z − (∂Y f )∇X Z,îòêóäà, ñ ó÷¼òîì îïðåäåëåíèÿ R(X, Y )Z , è ñëåäóåò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.Ïóñòü â îêðåñòíîñòè òî÷êè P ïîëÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå X = xi ∂i , Y = y j ∂j è Z = z k ∂k .
ÒîãäàR(X, Y )Z = R(xi ∂i , y i ∂i )z k ∂k = xi y j z k R(∂i , ∂j )∂k , òåì ñàìûì äîêàçàíî âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. 1.11. Òåîðåìà. Ïóñòü íà ìíîãîîáðàçèè M çàäàíà ðèìàíîâà ñâÿçíîñòü ∇. Òîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ1) R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z ;2) R(X,Y )Z + R(Y,+ R(Z, X)Y Z)X = 0;3) R(X, Y )Z, W + R(X, Y )W, Z = 0;4) R(X, Y )Z, W = R(Z, W )X, Y .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå ñâîéñòâî ñëåäóåò ñðàçó èç îïðåäåëåíèÿ.  ñèëó ëèíåéíîñòè îñòàëüíûåñâîéñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü äëÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 2) ñëîæèì ðàâåíñòâàR(∂i , ∂j )∂k = ∇∂i ∇∂j ∂k − ∇∂j ∇∂i ∂k − ∇[∂i ,∂j ] ∂k = ∇∂i ∇∂j ∂k − ∇∂j ∇∂i ∂kïî âñåì ÷¼òíûì ïåðåñòàíîâêàìíàáîðàèíäåêñîâ i, j, k.ïîñëåäíèì àðãóìåíòàì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 3) äîÂâèäó áèëèíåéíîñòè R(X, Y )Z, W ïî äâóìñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî R(X, Y )Z, Z = 0, ïðè÷¼ì òîëüêî íà áàçèñå: X = ∂i , Y = ∂j .
Èìååì1∂j ∂i hZ, Zi21h∇∂i ∇∂j Z, Zi + h∇∂j Z, ∇∂i Zi = ∂i h∇∂j Z, Zi = ∂i ∂j hZ, Zi.2h∇∂j ∇∂i Z, Zi + h∇∂i Z, ∇∂j Zi = ∂j h∇∂i Z, Zi =Îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ R(∂i , ∂j )Z, Z = (∇∂i ∇∂j − ∇∂j ∇∂i )Z, Z = 0.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 4) ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êàðòèíêó. R(Y, X)W, Z = R(X, Y )Z, W R(W, Y )X, Z = R(Y, W )Z, X R(W, X)Z, Y = R(X, W )Y, Z R(Y, Z)X, W = R(Z, Y )W, X R(Z, X)Y, W = R(X, Z)W, Y R(Z, W )X, Y = R(W, Z)Y, X âåðøèíàõ êàæäîé èç çàøòðèõîâàííûõ ãðàíåé îêòàýäðà íàïèñàíû ÷èñëà, êîòîðûå â ñóììå, êàê4ñëåäóåò èç 2) äàþò íóëü. Ïîýòîìó åñëè ïðèðàâíÿòü ñóììó, â êîòîðóþ âõîäÿò ÷èñëà èç íèæíèõçàøòðèõîâàííûõ ãðàíåé, ê ñóììå èç ÷èñåë âåðõíèõ çàøòðèõîâàííûõ ãðàíåé, òî ñîêðàùàÿ íà ÷èñëà,ëåæàùèå â âåðøèíàõ ñðåäíåãî êâàäðàòà, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî ÷èñåë íà âåðõíåé è íèæíåé âåðøèíàõ ýòî è òðåáóåòñÿ.
1.5. åîäåçè÷åñêèåD dγÏàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ γ : (a, b) → M íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, åñëè dt dt ≡ 0. Ïóñòü (x)1nòàêèå ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû, ÷òî γ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå γ(t) = x (t), . . . , x (t) . Òîãäà óðàâíåíèåãåîäåçè÷åñêîé çàïèøåòñÿ â âèäåjid2 xkk dx dx+Γ= 0.ijdt2dt dt1.12. Òåîðåìà. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèédxkdt= F k (x) ñ ãëàäêîé ïðàÒîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå îêðåñòíîñòü U òî÷êèâîé ÷àñòüþ ó íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x (0) =1k(x10 , . . . , xm0 ) è ÷èñëî ε > 0, ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè (y , .
. . , y ) èìååòñÿ åäèíñòâåííîå (ãëàäêîå) ðåk1køåíèå x (t, y , . . . , y ) äàííîé ñèñòåìû, îïðåäåë¼ííîå â (−ε, ε) × U è óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûìóñëîâèÿì xk (0) = y k . kxk0 .1.13. Ïðèìåð. Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî âñÿêàÿ èçîìåòðèÿ ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ ñîõðàíÿåò åãîãåîäåçè÷åñêèå. Ïîýòîìó åñëè íàéòè ãåîäåçè÷åñêóþ, ñåìåéñòâî îáðàçîâ ïðè âñåâîçìîæíûõ èçîìåòðèÿõ êîòîðîé îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ÷åðåç âñÿêóþ òî÷êó ìíîãîîáðàçèÿ â êàæäîì íàïðàâëåíèèïðîõîäèò êðèâàÿ èç äàííîãî ñåìåéñòâà, òî ýòî ñåìåéñòâî è áóäåò îáðàçîâûâàòü âñå ãåîäåçè÷åñêèå.Ó÷èòûâàÿ ýòî çàìå÷àíèå ëåãêî îïèñàòü ãåîäåçè÷åñêèå, íàïðèìåð, íà ïëîñêîñòè, ñåðå è ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî.
×òîáû íàéòè ãåîäåçè÷åñêèå íà êîíóñå (èëè öèëèíäðå), äîñòàòî÷íî (èçîìåòðè÷íî)ðàçâåðíóòü èõ íà íåêîòîðóþ îáëàñòü ïëîñêîñòè, íàéòè âñå ãåîäåçè÷åñêèå (ïðÿìûå) òàì, è ñâåðíóòüîáðàòíî îáðàçû ïðÿìûõ è áóäóò ãåîäåçè÷åñêèìè íà êîíóñå (èëè öèëèíäðå).1.14. Òåîðåìà. Äëÿ âñÿêîé òî÷êè P ìíîãîîáðàçèÿ M ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U ∈ NM P è ÷èñëîε > 0 òàêèå, ÷òî ïî âñÿêèì òî÷êå Q ∈ U è âåêòîðó v ∈ TQ M ñ ||v|| < ε ìîæíî ïîñòðîèòü åäèíñòâåííóþdγQ,vãåîäåçè÷åñêóþ γQ,v : (−2, 2) → M , äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíû γQ,v (0) = Q è dt(0) = v , òàê, ÷òîáûóíêöèÿ γ(Q, v, t) = γQ,v (t) ãëàäêî çàâèñåëà îò âñåõ 2n + 1 ïàðàìåòðîâ.TP MÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü U ′ îêðåñòíîñòü òî÷êè (P, 0) â ïðîñòðàíñòâåM × TP M , è ε1 > 0 òàêîâû, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè (Q, v) ∈ U ′ ñóùåñòâóåòOεdγ ′2Q,v′′(t) : (−ε1 , ε1 ) → M , äëÿ êîòîðîé γQ,v(0) = Q è dt(0) = v .
Mãåîäåçè÷åñêàÿ γQ,vÍàéä¼ì îêðåñòíîñòü U òî÷êè P è ÷èñëî ε2 > 0, äëÿ êîòîðûõ U × v ∈ TP M :U′||v|| < ε2 ⊂ U ′ .UÇàìåòèì, ÷òî åñëè γ(t) ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, òî γ(ct) òîæå òàêîâî äëÿ ëþáîé′(t) ïðè ||v|| < ε2 îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå (−ε1 , ε1 ).êîíñòàíòû c. Íàì èçâåñòíî, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ γQ,vÇíà÷èò îòîáðàæåíèå tε 1′γQ,v (t) = γQ,2vε12îïðåäåëåíî ïðè ||v|| < ε = ε12ε2 è t ∈ (−2, 2) è çàäà¼ò ãåîäåçè÷åñêóþ. 1.6. åîäåçè÷åñêàÿ ýêñïîíåíòàÏóñòü Q ∈ M è W òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè 0 â TQ M , ÷òî äëÿ âñåõ v ∈ W îïðåäåëåíàãåîäåçè÷åñêàÿ γQ,v : (−2, 2) → M .
åîäåçè÷åñêîé ýêñïîíåíòîé íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèåexpQ : W → M , çàäàííîå ïî ïðàâèëó expQ (v) := γQ,v (1).èìàíîâî ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêè ïîëíûì, åñëè äëÿ âñåõ Q îòîáðàæåíèå expQ îïðåäåëåíî ïðè âñåõ v ∈ TQ M .1.15. Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé òî÷êè P ∈ M ñóùåñòâóþò òàêèå îêðåñòíîñòü U ∈ NM P è ÷èñëî ε > 0,÷òî1) âñÿêàÿ ïàðà òî÷åê èç U ñîåäèíÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ãåîäåçè÷åñêîé, ëåæàùåé â U , è äëèíûìåíüøåé ε;2) ýòà ãåîäåçè÷åñêàÿ ãëàäêî çàâèñèò îò âûáîðà êîíöîâ;3) äëÿ âñåõ Q ∈ U îòîáðàæåíèå expQ äèåîìîðíî ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè 0 ∈ TQ M â íåêîòîðóþîêðåñòíîñòü W òî÷êè Q.5Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü V îêðåñòíîñòü òî÷êè P ñ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè (x1 , . .
. , xn ),(∂1 , . . . , ∂n ) áàçèñ â êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ è (v 1 , . . . , v n ) êîîðäèíàòû êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ. Ïóñòü D øàð ðàäèóñà ε12ε2 ñ öåíòðîì â òî÷êå 0 êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå ε1 è ε2âûáðàíû êàê â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé òåîðåìû. Òîãäà êîððåêòíî îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèåF : V × D → V × V , çàäàííîå îðìóëîé F (Q, v) = Q, expQ (v) .Âû÷èñëèì ìàòðèöó ßêîáè îòîáðàæåíèÿ F â òî÷êå (P, 0) ∈ V × D, îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò∂(x1 , . .
. , xn , v 1 , . . . , v n ) â îáëàñòè V ×D è (x11 , . . . , xn1 , x12 , . . . , xn2 ) â îáëàñòè V ×V . Ïîñêîëüêó dF ∂x=i∂∂∂∂+ ∂xi è dF ∂vi = ∂xi , òî∂xi122E EdF =.0 EÈç òåîðåìû î íåÿâíîé óíêöèè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü V1 × D1 ⊂ V × D òî÷êè(P, 0), ãäå D1 øàð íåêîòîðîãî ðàäèóñà ε, êîòîðàÿ äèåîìîðíî îòîáðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîìF íà íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü W òî÷êè (P, P ).
Âûáåðåì îêðåñòíîñòü U ⊂ M òî÷êè P òàê, ÷òîáûU × U ⊂ W.Åñëè Q1 , Q2 ∈ U , òî (Q1 , Q2 ) ∈ W è F −1 (Q1 , Q2 ) = (Q1 , v), ãäå ||v|| < ε è Q2 = expQ1 (v).åîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ Q1 è Q2 ãëàäêî çàâèñèò îò Q1 è Q2 , ò. å. êîîðäèíàòû òî÷êè Q1 èâåêòîðà v , çàäàþùèõ ãåîäåçè÷åñêóþ, ãëàäêî çàâèñÿò îò Q1 è Q2 . 1.16. Ëåììà. Ïóñòü Q òî÷êà íà ìíîãîîáðàçèèM . Òîãäà ãåîäåçè÷åñêèå, íà÷èíàþùèåñÿâ òî÷êå Qîðòîãîíàëüíû ãåîäåçè÷åñêîé ñåðå: S = expQ (v) : v ∈ TQ M è ||v|| = const .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿíà ãåîäåçè÷åñêîéffñåðå ïðåäñòàâèìà â âèäå expQ r0 v(t) , ãäå v(t) êðèâàÿ âTQ M , äëÿ êîòîðîé ||v(t)|| = 1.
Îòîáðàæåíèå r 7→ expQ rv(t0 )çàäà¼ò ãåîäåçè÷åñêóþ, âûõîäÿùóþ èç òî÷êè Q â íàïðàâëåíèèâåêòîðà v(t0 ). àññìîòðèì ïîâåðõíîñòüSSf (r, t) = expQ rv(t) .Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè îïèñàííîé ãåîäåçè÷åñêîéê ãåîäåçè∂f.Ïðîäèå=0÷åñêîé ñåðå ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ ∂f,∂r ∂tðåíöèðóåì ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:∂ D ∂f ∂f E D D ∂f ∂f E D ∂f D ∂f E=+.,,,∂r ∂r ∂t∂r ∂r ∂t∂r ∂r ∂tÏåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî 0 ïî îïðåäåëåíèþ ãåîäåçè÷åñêîé, à âòîðîå ðàâíî1 ∂ D ∂f ∂f E 1 ∂ p=,||v(t)|| = 0.2 ∂t ∂r ∂r2 ∂t, ∂fÒàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå ∂fíå çàâèñèò îò r. Âû÷èñëèì åãî ïðè r = 0. Ïîñêîëüêó f (0, t) =∂r∂t ∂f ∂f ∂fexpQ (0) = Q è ∂t (0, t) = 0, òî ∂r , ∂t = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü. 1.7.
Ìèíèìàëüíûå ãåîäåçè÷åñêèå1.17. Ëåììà. Ïóñòü Uε òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè Q ∈ M , ÷òî îòîáðàæåíèå expQ : Dε (0) → Uε äèåîìîðèçì. Òîãäà ëþáàÿ êðèâàÿ ω : [a, b] → int Uε \ {Q} îäíîçíà÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäåexpQ (w(t)), ãäå w(t) ∈ TQ M è ||w(t)|| =6 0.Ïóñòü w(t) = r(t)v(t), ãäå v(t) ∈ TQ M è ||v(t)|| = 1 (ò. å. ω(t) îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåRb dt > r(b)−r(a), ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,expQ r(t)v(t) ).
Òîãäà dω(t)dtaêîãäà r(t) ìîíîòîííà è v(t) ≡ const.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû òðèâèàëüíî. Äëÿ êàê è äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî,â ïðåäûäóùåé ëåììå, ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü f (r, t) = expQ rv(t) , è ïóñòü ω(t) = f r(t), t . Òîãäà∂f ′ ∂f∂ωè=r +∂t∂r∂t ∂ω ∂f ′ > |r |,∂t∂r6ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∂v∂t = 0. Îòîáðàæåíèå f : r 7→ expQ (rv) ïðè ||v|| = 1 çàäà¼ò ãåîäåçè÷åñêóþ. Çíà÷èò ∂f∂r = 1, ′ ∂ω > r (t), è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà v ′ = 0.∂tÒåì ñàìûì,r(a)ω(t)r(b)Zb Zb dω(t) dt > r′ (t)dt > r(b) − r(a),dtaaè ðàâåíñòâî áóäåò â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà r ìîíîòîííà.
åîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè Q1 è Q2 íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé, åñëè îíà íå äëèííååâñÿêîé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé Q1 è Q2 .1.18. Òåîðåìà. Ïóñòü W ∈ NM P è ε > 0 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 1.15. Ïóñòü Q1 , Q2 ∈ Wè âåêòîð v ∈ TQ1 (M ) òàêîâ, ÷òî ||v|| < ε è expQ1 (v) = Q2 . Òîãäà âñÿêàÿ êóñî÷íî ãëàäêàÿ êðèâàÿ,ñîåäèíÿþùàÿ Q1 è Q2 èìååò äëèíó íå ìåíüøå ||v||.Q2Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ω(t) äàííàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ Q1 è Q2 .δàññìîòðèì ãåîäåçè÷åñêóþ ñåðó ñ öåíòðîì Q1 è ðàäèóñîì δ ∈ (0, ||v||). Ïîω(t)Q1ëåììå 1.17 äëèíà êðèâîé ω îò å¼ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ äàííîé ãåîäåçè÷åñêîéñåðîé äî òî÷êè Q2 íå ìåíüøå ||v|| − δ . Óñòðåìëÿÿ δ ê 0 ïîëó÷èì, ÷òî äëèíà êðèâîé ω íå ìåíüøå||v||, ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî èìååòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ω ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêèì ðàäèóñîì. 1.19.
Òåîðåìà. Ïóñòü Q1 è Q2 òî÷êè ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ è γ êóñî÷íî ãëàäêàÿ íàòóðàëüíîïàðàìåòðèçîâàííàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ Q1 è Q2 . Åñëè äëèíà âñÿêîé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé Q1 èQ2 , íå ïðåâîñõîäèò äëèíû γ , òî γ ãåîäåçè÷åñêàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P ∈ γ è âûáåðåì W ∈ NM P è ε > 0 óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì òåîðåìû 1.15.
åîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè Q′1 , Q′2 ∈ W ∩ γ , ïî ïðåäûäóùåéòåîðåìå ñîâïàäàåò ñ îòðåçêîì γ , ñîåäèíÿþùèì òî÷êè Q′1 è Q′2 . Ïîýòîìó γ ãåîäåçè÷åñêàÿ. Ñî âñÿêèì ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì ñâÿçàíà ìåòðèêàρ(P, Q) = inf {γ ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ P è Q}.γ1.20. Òåîðåìà (Õîï, èíîâ). Åñëè ñâÿçíîå ìíîãîîáðàçèå ãåîäåçè÷åñêè ïîëíî, òî äâå ëþáûåòî÷êè íà í¼ì ìîæíî ñîåäèíèòü ìèíèìàëüíîé ãåîäåçè÷åñêîé.QÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P, Q ∈ M è ρ(P, Q) = r. àñT0ñìîòðèì ãåîäåçè÷åñêóþ ñåðó S ðàäèóñà δ è öåíòðîì P .δ′SP′Ââèäó êîìïàêòíîñòè ñåðû, âåëè÷èíà ρ(Q, T ) ïðè T ∈ ST0′äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà â íåêîòîðîé òî÷êå T0 ∈ S .
ÏðèS′δPýòîì T0 = expP (δ, v), ãäå v íåêîòîðûé åäèíè÷íûé âåêòîðèç TP M .Ïîêàæåì, ÷òî ρ Q, expP (tv) = r − t äëÿ âñåõ t ∈ [δ, r].Âî-ïåðâûõ ýòà îðìóëà ñïðàâåäëèâà ïðè t = δ :ρ(Q, P ) = min ρ(Q, T ) + ρ(T, P ) = ρ Q, expP (δv) + δ.(1.1)T ∈SnoÏóñòü t0 = sup t ∈ [δ, r] : ρ Q, expP (tr) = r − t . Ïî íåïðåðûâíîñòè ρ Q, expP (t0 r) = r − t0 .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî t0 < r. àññìîòðèì ãåîäåçè÷åñêóþ ñåðó S ′ ðàäèóñà δ ′ è öåíòðîì P ′ = expP (t0 v). íåêîòîðîé òî÷êå T0′ âåëè÷èíà ρ(Q, T ′ ) ïðè T ′ ∈ S ′ äîñòèãàåò ìèíèìóìà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
