Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïðîâåðèì âòîðîå. Ïóñòü ω ∈ Ωk (M × R) ïðåäñòàâëåíà â âèäåω = ωI (x, t)dxI + ωJ (x, t)dt ∧ dxJ , ãäå |I| = k = |J| + 1.Òîãäà f ∗ w = ωI (x, 0)dxI è êîìïîçèöèÿ g ∗ f ∗ : Λ(M × R)äåéñòâóåò ïî ïðàâèëóg ∗ f ∗ : ωI (x, t)dxI + ωJ (x, t)dt ∧ dxJ 7→ ωI (x, 0)dxI .Ïîñòðîèì öåïíóþ ãîìîòîïèþ S : Λk → Λk−1 : äëÿ ω , óêàçàííîãî âûøå âèäà ïîëîæèìSω = Zt0ωJ (x, t)dt dxJ .Ïðîâåðèì, ÷òî id −g ∗ f ∗ = Sd − dS .
Çàïèøåì îðìóëû äëÿ dω , dSω è Sdω :∂ωI∂ωI∂ωJdx ∧ dxI +dt ∧ dxI +dx ∧ dt ∧ dxJ + 0;∂x∂t∂xZtZt∂∂ JωJ (x, t)dt dx ∧ dx +ωJ (x, t)dt dt ∧ dxJ ;dSω =∂x∂tdω =0014 Zt ∂ω Zt ∂ωIJISdω =dt ∧ dx −dt ∧ dx ∧ dxJ .∂t∂x00Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàçíîñòü Sdω − dSω : Zt ∂ωJdt ∧ dx ∧ dxJ +Sdω − dSω = ωI (x, t)dx − ωI (x, 0)dx −∂xII0∂ +∂xZt0∂ωJ (x, t)dt dx ∧ dx +∂tJZt0ωJ (x, t)dt dt ∧ dxJ .Òðåòüå è ÷åòâ¼ðòîå ñëàãàåìûå ñîêðàùàþòñÿ, à â ïÿòîì ñîêðàùàþòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ñ äèåðåíöèðîâàíèåì, îñòà¼òñÿ id −g ∗ f ∗ .
Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò ñîâïàäåíèå â êîãîìîëîãèÿõ îòîáðàæåíèég ∗ f ∗ è id. 3.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÌàéåðàÂüåòîðèñàÏîñëåäîâàòåëüíîñòüfi−1fi+1fifi+2· · · −→ Ci−1 −→ Ci −→ Ci+1 −→ . . .íàçûâàåòñÿ òî÷íîé â i-îì ÷ëåíå, åñëè im fi = ker fi+1 .Êîðîòêàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýòî òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà0 −→ A −→ B −→ C −→ 0.ji3.8. Òåîðåìà. Åñëè 0 → A∗ → B ∗ → C ∗ → 0 êîðîòêàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî ñóùåñòâóåòòàêîå îòîáðàæåíèå δ : H k (C) → H k+1 (A), ÷òî ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷íà.H k+1 (A)H(i)H k (A)H(i)H k+1 (B)H(j)H k+1 (C)H(j)H k (C)δH k (B)Îíà íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ÌàéåðàÂüåòîðèñà.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü [x] ∈ H k (C). Èç òî÷íîñòè êîðîòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò, ÷òîñóùåñòâóåò x′ ∈ B k , äëÿ êîòîðîãî jx′ = x. Ïî îïðåäåëåíèþ îòîáðàæåíèÿ êîìïëåêñîâ âûïîëíåíîdjx′ = jdx′ = 0. Ïîýòîìó dx′ ∈ ker j , è ïîëüçóÿñü òî÷íîñòüþ êîðîòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàõîäèìòàêîé y ∈ Ak+1 , ÷òî i(y) = dx′ . Ïîëîæèì δ[x] = [y].3.9. Óïðàæíåíèå. Çàêîí÷èòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Òî÷íåå, íàäî ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü δ(dy = 0 è íåçàâèñèìîñòü y îò âûáîðà x ∈ [x]) è òî÷íîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÌàéåðàÂüåòîðèñà.Ak+1yddAkB k+1iidx′iiiidx = 0jjddddBkx′C k+1jjjjjjddxddCk3.10.
Òåîðåìà. Åñëè f, g : M → N ãëàäêèå ãîìîòîïíûå îòîáðàæåíèÿ, òî îíè èíäóöèðóþò îäèíà-∗∗(N ) → HDR(M ).êîâûå îòîáðàæåíèÿ â êîãîìîëîãèÿõ: f ∗ = g ∗ : HDRÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F : M ×R → N ãîìîòîïèÿ, äëÿ êîòîðîé F (x, 0) = f (x) è F (x, 1) = g(x).àññìîòðèì îòîáðàæåíèÿ π : M × R → M è sa : M → M × R, çàäàííûå, ñîîòâåòñòâåííî, îðìóëàìèπ : (x, t) 7→ x è sa : x 7→ (x, a). Åñëè â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû Ïóàíêàðå ïîëîæèòü â îïðåäåëåíèèöåïíîé ãîìîòîïèè S íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíûì a, òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî π ∗ s∗a = id ès∗a π ∗ = id. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî s∗a1 = s∗a2 ïðè âñåõ a1 , a2 .
Ïîýòîìó f ∗ = F ∗ s∗0 = F ∗ s∗1 = g ∗ . 153.11. Ñëåäñòâèå. Åñëè ìíîãîîáðàçèÿ M è N ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, òî îíè èìåþò îäèíà∗∗êîâûå êîãîìîëîãèè: HDR(N ) ∼(M ). = HDR3.12. Ëåììà. Ïóñòü A è B îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ M è A ∪ B = M .Îïðåäåëèì i : Λ∗ (M ) → Λ∗ (A)⊕Λ∗ (B) è j : Λ∗ (A)⊕Λ∗ (B) → Λ∗ (A∩B) îðìóëàìè i : ω 7→ (ω|A , ω|B )è j : (ω, θ) 7→ ω|A∩B − θ|A∩B , ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷íà:ji0 −→ Λ∗ (M ) −→ Λ∗ (A) ⊕ Λ∗ (B) −→ Λ∗ (A ∩ B) −→ 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ω ∈ Λ∗ (M ). Åñëè ω|A = 0 è ω|B = 0, òî ω = 0, ïîýòîìó ker i = 0.Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ i(ω) = (ω|A , ω|B ) è ji(ω) = ω|A∩B − ω|A∩B = 0, ïîýòîìó im i ⊂ ker j .Ïóñòü ω ∈ Λ∗ (A) è θ ∈ Λ∗ (B).
Óñëîâèå j(ω, θ) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ω|A∩B = θ|A∩B . Ïîýòîìó ω è θìîæíî ñêëåèòü â îäíó äèåðåíöèàëüíóþ îðìó íà M . Îòñþäà ker j ⊂ im i.Ïóñòü {ρA , ρB } ðàçáèåíèå åäèíèöû íà M , ïîä÷èí¼ííîå ïîêðûòèþ {A, B}. Åñëè ω ∈ Λ∗ (A ∩ B),òî ρA ω ∈ Λ∗ (B) è ρB ω ∈ Λ∗ (A). Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî j(ρB , −ρA ) = ω , îòêóäà im j = Λ∗ (A ∩ B). 3.13. Ñëåäñòâèå. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðåäûäóùåé ëåììû, òî ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòî÷íà.H n+1 (M )i∗H n+1 (A) ⊕ H n+1 (B)j∗H n+1 (A ∩ B)δ∗H n (M )i∗H n (A) ⊕ H n (B)j∗H n (A ∩ B)3.14. Ïðèìåð. Êîãîìîëîãèè äå àìà n-ìåðíîé ñåðû.  ñëó÷àå n > 1 ïðè k ∈ {0, n} âûïîëíåíîH k (S n ) = R, ïðè äðóãèõ k ãðóïïà H k (S n ) òðèâèàëüíà.Ýòî ëåãêî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè.
Áàçà: ïîñ÷èòàåì H 1 (S 1 ). Ïîñêîëüêó H 0 (D1 ) =0H (S 1 ) = R, H 1 (D1 ) = H 1 (S 0 ) = 0 è H 0 (S 0 ) = R2 , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÌàéåðàÂüåòîðèñà äëÿ ðàçáèåíèÿ îäíîìåðíîé ñåðû íà íèæíèé è âåðõíèé ïîëóäèñêè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:i∗j∗δ∗i∗010 −→ R −→R2 −→ R2 −→ H 1 (S 1 ) −→0.Èç íå¼ âûâîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòíîøåíèé:0 = ker i∗1 ,1 = dim im i∗1 = dim ker j ∗ ,1 = dim im j ∗ = dim ker δ ∗ ,1 = dim im δ ∗ = dim ker i∗ = dim H 1 (S 1 ).Ïîýòîìó H 1 (S 1 ) = R.Ïóñòü íóæíîå âûðàæåíèå äëÿ êîãîìîëîãèé ñïðàâåäëèâî äëÿ (n − 1)-ìåðíîé ñåðû, ïðè n > 1.Ïðåäñòàâèì òîãäà S n â âèäå îáúåäèíåíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ïîëóñåð, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî ýêâàòîðó,ò. å. (n − 1)-ìåðíîé ñåðå.
Äëÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÌàéåðàÂüåòîðèñà ñîñòîèò èçñëåäóþùèõ êóñêîâ:i∗j∗δ∗i∗010 −→ R −→R2 −→ R −→ H 1 (S n ) −→0,îòñþäà ðàññóæäåíèÿìè, àíàëîãè÷íûìè îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ ïîëó÷àåòñÿ H 1 (S n ) = 0;0 −→ H k (S n ) −→ 0, ïðè k = 2, . . . , n − 1,ïîýòîìó H k (S n ) = 0 ïðè k = 2, . . . , n − 1; è èç0 −→ R −→ H n (S n ) −→ 0,ñëåäóåò, ÷òî H n (S n ) = R. Òåì ñàìûì, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.3.15. Ïðèìåð. Îäíîìåðíàÿ ãðóïïà êîãîìîëîãèé äå àìà ïëîñêîñòè ñ n äûðêàìè ðàâíà Rn .Óêàçàíèå. Ïðåäñòàâèòü ïëîñêîñòü ñ n äûðêàìè â âèäå îáúåäèíåíèÿ äâóõ äèñêîâ, â ïåðåñå÷åíèèäàþùèõ (n + 1) äèñê.3.16.
Óïðàæíåíèå. Ïîñ÷èòàòü H ∗ (T) è H ∗ (Kl).164.Ëîêàëüíî òðèâèàëüíûå ðàññëîåíèÿϕËîêàëüíî òðèâèàëüíûì ðàññëîåíèåì íàçûp−1 (U )U ×F(E,B,F,p),ãäåE,B,Fòîâàåòñÿ÷åòâ¼ðêàEprUpïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, à p : E → B òàFUêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, ÷òî äëÿ êàæäîãîϕx ∈ B ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U ∈ NB x è ïîpprñëîéíûé ãîìåîìîðèçì ϕ : U × F → p−1 U , äëÿ êîòîðîãî êîììóòàUBUòèâíà äèàãðàììà ñïðàâà. Ïðîñòðàíñòâà E , B è F íàçûâàþòñÿ òîòàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì, áàçîé è ñëîåì ðàññëîåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî.Îêðåñòíîñòè U èç îïðåäåëåíèÿ íàçûâàþò òðèâèàëèçóþùèìè îêðåñòíîñòÿìè, à èõ ñîâîêóïíîñòü òðèâèàëèçóþùèì àòëàñîì.
Ñîîòâåòñòâóþùèå îòîáðàæåíèÿ ϕ íàçûâàþò êîîðäèíàòíûìè óíêöèÿìè.Îòîáðàæåíèÿ ïåðåõîäà èëè óíêöèè ñêëåéêè ϕβα : (Uα ∩ Uβ ) ×F , ãäå Uα , Uβ òðèâèàëèçóþùèå îêðåñòíîñòè è Uα ∩Uβ 6= ∅, îïðåϕβϕαäåëÿþòñÿ îðìóëîé ϕβα = ϕ−1β ϕα .Uβ × F4.1. Ïðèìåð. Ïóñòü B = [0, 1]/0∼1 , µ = [0, 1] × [−1, 1]/(0,t)∼(1,−t) è Uα × Fp : (x, t) → x. Ýòî ðàññëîåíèå ëèñò ̼áèóñà.
 êà÷åñòâå òðèâèàëèprprçóþùèõ êàðò ìîæíî âçÿòü òàêèå: U1 = (0, 1) è U2 = [0, 1] \ { 12 }. Òîãäàêîîðäèíàòíûå óíêöèè ϕi : Ui × [−1, 1] → E îïðåäåëèì îðìóëàìèUα Uβϕ1 (x, t) = (x, t), ϕ2 (x, t) = (x, t) ïðè x < 21 è ϕ2 (x, t) = (x, −t) ïðèx > 12 . Òîãäà óíêöèÿ ñêëåéêè ϕ21 : (U1 ∩ U2 ) × [−1, 1] âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ϕ2 (x, t) =(x, t) ïðè x ∈ (0, 12 ) è ϕ2 (x, t) = (x, −t) ïðè x ∈ ( 12 , 1).Íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèå òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ f : X → Y íàçûâàåòñÿ àêòîðîòîáðàæåíèåì, åñëè ìíîæåñòâî U îòêðûòî â Y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî f −1 U îòêðûòî âX.4.2.
Òåîðåìà. Ïóñòü çàäàíû òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà B è F , è {Uα }α∈A îòêðûòîå ïîêðûòèåB . Ïóñòü òàêæå äëÿ êàæäûõ α, β ∈ A ñ Uα ∩ Uβ 6= ∅ çàäàí ïîñëîéíûé ãîìåîìîðèçì ϕβα : (Uα ∩Uβ ) × F . Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàññëîåíèå (E, B, F, p) ñ óíêöèÿìè ñêëåéêè ϕβα òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) ϕαα = id è2) ϕαβ ϕβγ ϕγα = id ïðè Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅ (óñëîâèå êîöèêëà).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî çàäàííîìó ðàññëîåíèþ óñëîâèÿ 1) è 2) ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ.
Íàîáîðîò,ïîêàæåì êàê ïî óíêöèÿìFñêëåéêè ïîñòðîèòü ðàññëîåíèå.Íà ïðîñòðàíñòâå E ′ = Uα × F ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå îòíîøåíèå. Ïîëîæèì (x, f ) ∼ (x′ , f ′ ),αåñëè x = x′ è ϕβα (x, f ) = (x, f ′ ). Èç óñëîâèÿ êîöèêëîâ ëåãêî âûâîäèòñÿ, ÷òî ïîëó÷åííîå îòíîøå′′íèå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. àññìîòðèì àêòîðîòîáðàæåíèå π : E → E = E /∼ .Îïðåäåëèì ðàññëîåíèå p : E → B îðìóëîé p : (x, f ) 7→ x.
Îòîáðàæåíèå p îïðåäåëåíî êîððåêòíî,èáî èç (x, f ) ∼ (x′ , f ′ ) ñëåäóåò x = x′ . Íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèÿ p ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿàêòîðòîïîëîãèè.Âîîáùå ãîâîðÿ, p−1 (Uα ) = Uα × F/∼ , íî âíóòðè ìíîæåñòâà Uα × F ñêëååê íå ïðîèñõîäèò, ïîýòîìó èìååòñÿ ïîñëîéíûé ãîìåîìîðèçì π|Uα ×F : Uα × F → p−1 (Uα ). Ïîëîæèì ϕα = π|Uα ×F òîãäà óíêöèèáóäóò ñîâïàäàòü ñ ϕαβ : åñëè ϕαβ (x, f ) = (x, f ′ ), òî ñêëåéêè ïîñòðîåííîãî ðàññëîåíèÿ−1′′′ϕβ (x, f ) = (x, f ) = (x, f ) è ϕα (x, f ) = (x, f ). àññëîåíèÿ p : E → B è p′ : E ′ → B èçîìîðíû, åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëîéíûé ãîìåîìîðèçìψ : E → E ′ , äëÿ êîòîðîãî p′ ψ = p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
