Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ñëîè èçîìîðíûõ ðàññëîåíèé, î÷åâèäíî, ãîìåîìîðíû.4.3. Çàìå÷àíèå. Îò ïîêðûòèÿ èíîãäà óäîáíî ïåðåõîäèòü ê åãî èçìåëü÷åíèþ. (Åñëè U è V äâàïîêðûòèÿ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà, òî U íàçûâàåòñÿ èçìåëü÷åíèåì V , åñëè äëÿ ëþáîãî U ∈ U íàéä¼òñÿ V ∈ V , äëÿ êîòîðîãî U ⊂ V .) Êîîðäèíàòíûå óíêöèè è óíêöèè ñêëåéêè íà ìåëêîì àòëàñåïîëó÷àþòñÿ îãðàíè÷åíèåì èõ ñ èñõîäíîãî.Ïóñòü {Ui }i∈I ïîêðûòèå ïðîñòðàíñòâà X , è {fi : Ui → Y }i∈I ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé,ñîãëàñîâàííûõ íà ïåðåñå÷åíèÿõ.
Òîãäà êîìáèíàöèåé ýòîãî ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé íàçûâàåòñÿ òàêîåîòîáðàæåíèå ▽ fi , ÷òî äëÿ êàæäîãî j ∈ I è x ∈ Uj âûïîëíåíî ▽ fi (x) = fj (x). Ïîíÿòíî, ÷òî íåi∈Ii∈Iâñåãäà òàêîå ñîãëàñîâàííîå ñåìåéñòâî íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé ñêëåèâàåòñÿ â îäíî íåïðåðûâíîåîòîáðàæåíèå, ïîýòîìó ñîðìóëèðóåì óñëîâèÿ, â êîòîðûõ òàêàÿ îïåðàöèÿ ðàáîòàåò.174.4. Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü U = {Ui }i∈I ïîêðûòèå ïðîñòðàíñòâà X , è {fi : Ui → Y }i∈I ñåìåéñòâîíåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé, ñîãëàñîâàííûõ íà ïåðåñå÷åíèÿõ. Åñëè ïîêðûòèå U ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûìëîêàëüíî êîíå÷íûì, èëè îòêðûòûì, òî îòîáðàæåíèå ▽ fi ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.
i∈I4.5. Òåîðåìà. Åñëè p : E → B è p : E → B ðàññëîåíèÿ, è {Uα }α∈A òðèâèàëèçóþùèé àòëàñäëÿ îáîèõ ðàññëîåíèé, òî ñóùåñòâîâàíèå ïîñëîéíîãî ãîìåîìîðèçìà ψ : E → E ′ ýêâèâàëåíòíîíàëè÷èþ äëÿ ëþáîãî α ∈ A ïîñëîéíîãî ãîìåîìîðèçìà hα : Uα × F , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî′ϕβα = h−1β ϕβα hα .′′Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëîéíûé èçîìîðèçì ψ : E → E ′ . Ïîëîæèì hα = ϕ′−1α ψϕα .−1−1′′ ′−1 ′ ′−1 −1Òîãäà h−1ϕh=ϕψϕϕϕϕψϕ=ϕϕ=ϕ.αααβαα αβαβ ββββ′−1: p′−1 (Uα ) → p−1 (Uα ) ýòîÎáðàòíî, åñëè çàäàíû îòîáðàæåíèÿ hα , òî ïîëîæèì ψα = ϕα h−1α ϕαïîñëîéíûé ãîìåîìîðèçì, êàê êîìïîçèöèÿ òàêîâûõ. Ïîêàæåì ñîãëàñîâàííîñòü ýòèõ îòîáðàæåíèé′íà ïåðåñå÷åíèÿõ êàðò.
Ïóñòü Uα ∩Uβ 6= ∅. Òîãäà ïî óñëîâèþ ϕβα = h−1β ϕβα hα , ÷òî ìîæíî ïåðåïèñàòü′−1′−1= ϕβ h−1 ýòî è åñòü íåçàâèñèìîñòü îò êàðòû. Òåïåðü ìîæåì ïîëîæèòüâ âèäå ϕα h−1α ϕαβ ϕβψ = ▽ ψα . α4.6. Óïðàæíåíèå. Ñ ïîìîùüþ ïðåäûäóùåé òåîðåìû ïðîâåðèòü, ÷òî ëèñò ̼áèóñà íåòðèâèàëü-íîå ðàññëîåíèå.4.1. Ëîêàëüíî òðèâèàëüíûå ðàññëîåíèÿ ñî ñòðóêòóðíîé ãðóïïîéÍàïîìíèì, ÷òî ëåâûì äåéñòâèåì α ãðóïïû G íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå α :G × X → X , îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) α(e, x) = x äëÿ âñåõ x ∈ X ,2) α f, α(g, x) = α(f g, x).Îòëè÷èå ïðàâîãî äåéñòâèÿ îò ëåâîãî òîëüêî â òîì, ÷òî â ñâîéñòâå 2) ñëåäóåò çàìåíèòü f g íà gf . ñëó÷àå òîïîëîãè÷åñêèõ G è X îòîáðàæåíèå α ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíûì. Òðîéêà hX, G, αièìåíóåòñÿ G-ïðîñòðàíñòâîì. Îòîáðàæåíèå G-ïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ ýêâèâàðèàíòíûì, åñëè îíîêîììóòèðóåò ñ äåéñòâèåì ãðóïïû.4.7. Ïðèìåð.
Íåêîòîðûå ïðèìåðû äåéñòâèÿ ãðóïï íà ìíîæåñòâàõ.1) ðóïïà Sn ïåðåñòàíîâîê äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå {1, . . . , n}.2) ðóïïà íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö GLn äåéñòâóåò íà Rn .3) ðóïïà SOn äåéñòâóåò íà S n−1 .Ëîêàëüíî òðèâèàëüíûì ðàññëîåíèåì ñî ñòðóêòóðíîé ãðóïïîé G íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå (E, B, F, p), ñëîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ G-ïðîñòðàíñòâîì, ïðè ýòîì óíêöèè ñêëåéêèðàññëîåíèÿ (E, B, F, p) èìåþò âèä ϕβα (x, f ) = (x, ϕβα (x) · f ), ãäå ϕβα : Uα ∩ Uβ → G òàêèå, ÷òîϕαα = id è ϕαβ ϕβγ ϕγα = id.àññëîåíèÿ p : E → B è p′ : E ′ → B ñî ñòðóêòóðíîé ãðóïïîé G è îáùèì òðèâèàëèçóþùèì àòëàñîì {Uα }α∈A èçîìîðíû èëè ýêâèâàëåíòíû, åñëè ñóùåñòâóþò ñåìåéñòâî íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèéhα : Uα → G è ïîñëîéíûé ãîìåîìîðèçì ψ : E → E ′ , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ′−1 ′ϕ−1ϕβα (x)hα (x).α ψϕα (x, f ) = x, hα (x)f è ϕβα (x) = hβ (x)4.2.
ëàâíûå G-ðàññëîåíèÿëàâíûì G-ðàññëîåíèåì íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå ñî ñòðóêòóðíîé ãðóïïîéG, ó êîòîðîãî ñëîé F ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîé G, äåéñòâóþùåé íà ñåáå ëåâûìè ñäâèãàìè (îòìåòèì, ÷òîñëîé ðàññìàòðèâàåòñÿ íå êàê òîïîëîãè÷åñêàÿ ãðóïïà, à êàê ëåâîå G-ïðîñòðàíñòâî).4.8. Òåîðåìà. Ïóñòü p : E → B ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, è {Uα }α∈A òðèâèàëèçóþùèé àòëàñ íàB . Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïðàâîå äåéñòâèå G íà E , ñîõðàíÿþùåå ñëîè, è äëÿ êîòîðîãîϕα (x, g) · g1 = ϕα (x, gg1 ) ïðè âñåõ x ∈ Uα è g, g1 ∈ G.Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì äåéñòâèå ãðóïïû G íà ïðîñòðàíñòâå E .
Ïóñòü w ∈ E , òîãäà äëÿíåêîòîðûõ α è g âûïîëíåíî w = ϕα (x, g). Â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì òåîðåìû, íàì õîòåëîñü áû,÷òîáû áûëî âûïîëíåíî w · g1 = ϕα (x, g) · g1 = ϕα (x, gg1 ). Ïîýòîìó ïîëîæèì w · g1 := ϕα (x, gg1 ).×òîáû ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü, íàäî ïîêàçàòü, ÷òî w · g1 íå çàâèñèò îò âûáîðà α è g .Ïóñòü w = ϕα (x, g) = ϕα′ (x, g ′ ).
Ôóíêöèè ñêëåéêè äëÿ ãëàâíîãî G-ðàññëîåíèÿ èìåþò âèäϕα′ α (x, g) = (x, ϕα′ α g).18Òîãäà(x, g ′ ) = ϕ−1α′ ϕα (x, g) = ϕα′ α (x, g) = x, ϕα′ α (x)g ,îòêóäà g ′ = ϕα′ α (x)g . Çíà÷èòw · g1 = ϕα′ (x, g ′ g1 ) = ϕα′ x, ϕα′ α (x)gg1 = ϕα (x, gg1 ).Åäèíñòâåííîñòü ïîñòðîåííîãî òðèâèàëüíà. Äåéñòâèå ãðóïïû G íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì, åñëè äëÿ âñåõ x ∈ X è íåòðèâèàëüíûõ g ∈ G âûïîëíåíî g · x 6= x.4.9. Ïðèìåð. Ïóñòü íåïðåðûâíîå ïðàâîå äåéñòâèå ãðóïïû G íà ïðîñòðàíñòâå E ñâîáîäíî. Òîãäàìîæíî ðàññìîòðåòü ïðîñòðàíñòâî îðáèò B = E/G è åñòåñòâåííóþ ïðîåêöèþ p.
Äëÿ òîãî ÷òîáûòàêîé îðìàëüíî ïîñòðîåííûé îáúåêò (E, B, p) áûë ãëàâíûì G-ðàññëîåíèåì, íåîáõîäèìî, ÷òîáûäëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ E îðáèòà xG áûëà ãîìåîìîðíà G è çàìêíóòà â ïðîñòðàíñòâå E , à òàêæåõàóñäîðîâîñòü ïðîñòðàíñòâà B . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû â ñëó÷àå, åñëè ãðóïïàG êîìïàêòíà.14.10. Ïðèìåð. àññëîåíèå Õîïà: òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî E = S 3 = (w, z) : |w|2 + |z|2 = 1 ,ñëîé G = S 1 = {eiϕ : ϕ ∈ R}, äåéñòâèå ñòðóêòóðíîé ãðóïïû (w, z) · eiϕ = (eiϕ w, eiϕ z).
Áàçîéðàññëîåíèÿ áóäåò CP1 .4.11. Ïðèìåð. Åñëè H çàìêíóòàÿ ïîäãðóïïà G, òî G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãëàâíîå ðàññëîåíèåíàä G/H ñî ñòðóêòóðíîé ãðóïïîé H .24.12. Óïðàæíåíèå. Óñòàíîâèòü, ÷åìó ãîìåîìîðíû ñëåäóþùèå àêòîðïðîñòðàíñòâà (ñì. óïðàæ-íåíèå 4.44):1) SOn+1 /SOn , On+1 /On , On+1 /SOn ;2) SOp+q /SOp , Op+q /SOp , Op+q /SOp ;3) SOp+q /(SOp × SOq ), Op+q /(Op × Oq ).Ïóñòü (E, B, p) ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, {Uα }α∈A òðèâèàëèçóþùèé àòëàñ íà B , è χ : B ′ → B íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Ïðîîáðàçîì ýòîãî ðàññëîåíèÿ íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèå (χ∗ E, B ′ , p), äëÿêîòîðîãî òðèâèàëèçóþùèì àòëàñîì ÿâëÿåòñÿ ñåìåéñòâî {χ−1 Uα }α∈A , à óíêöèè ñêëåéêè îïðåäåëåíû îðìóëîé ϕ′βα = ϕβα χ|χ−1 Uα ∩χ−1 Uβ .4.13. Òåîðåìà.
Ïóñòü (E, B, p) ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, è χ : B ′ → B íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå,è (χ∗ E, B ′ , p′ ) ïðîîáðàç ðàññëîåíèÿ E . Òîãäà ñóùåñòâóåò ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå ψ : E ′ → E ,äëÿ êîòîðîãî pψ = χp′ .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ðàññëîåíèÿ (χ∗ E, B ′ , p′ ) ýêâèâàëåíòíîñòü ýëåìåíòîâ (x1 , g1 ) ∈′Uα × G è (x2 , g2 ) ∈ Uβ′ × G ðàâíîñèëüíà ïàðå óñëîâèé x1 = x2 è (x2 , g2 ) = (x1 , ϕ′αβ g1 ). Ïîëîæèì ψ : (x, g) 7→ (χ(x), g). Ýòî îïðåäåëåíèå óâàæàåò îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ∼: åñëè (x, g) ∼(x, ϕ′βα (x)g), òî ψ(x, g) = χ(x), g ∼ χ(x), ϕβα χ(x) g = χ(x), ϕ′βα (x)g = ψ x, ϕ′βα (x)g .Ïîñòðîåííîå ψ ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàðèàíòíûì: gψ(x, f ) = χ(x), f 7→ χ(x), f · g = χ(x), f g = ψ(x, f g) = (x, f ) · g,ïîýòîìó ψg = gψ . 4.14.
Óïðàæíåíèå. Ïóñòü (E, B, p) è (E ′ , B ′ , p′ ) ãëàâíûå G-ðàññëîåíèÿ è ψ : E ′ → E íåïðå-ðûâíîå ýêâèâàðèàíòíîå ïîñëîéíîå îòîáðàæåíèå. Óñòàíîâèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå χ : B ′ → B äëÿ êîòîðîãî pψ = χp′ . Ïðîâåðèòü, ÷òî ðàññëîåíèå (E ′ , B ′ , p′ ) ýêâèâàëåíòíîðàññëîåíèþ χ∗ E .Èç ýòîãî óïðàæíåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò31 Íàñêîëüêî ÿ ïîíèìàþ, êîìïàêòíîñòè ãðóïïû åù¼ íå äîñòàòî÷íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãëàâíîãî G-ðàññëîåíèÿ ìîæåò íåîêàçàòüñÿ ëîêàëüíîé òðèâèàëüíîñòè. Ýòîò ïðèìåð ïðîñòî èëëþñòðèðóåò, êàê â äîñòàòî÷íî õîðîøèõ ïðåäïîëîæåíèÿõìîæíîñòðîèòü ãëàâíûå G-ðàññëîåíèÿ.2 Íå çíàþ, ñïðàâåäëèâî ëè ýòî óòâåðæäåíèå, îäíàêî, îò íåãî íàì íóæåí áóäåò òîëüêî ÷àñòíûé ñëó÷àé (ñì.
óïðàæíåíèå4.40).3 Íà ëåêöèè ýòî äîêàçûâàëîñü êàê-òî ïî-äðóãîìó, íî â òåòðàäè ýòîãî íåòó. ..194.15. Óòâåðæäåíèå. (f ◦ g)∗ (E) = g ∗ (f ∗ E).Ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà äâà àêòà èç îáùåé òîïîëîãèè, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïðèäîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùåé òåîðåìû.4.16. Óòâåðæäåíèå (Òèòöå, Óðûñîí). Âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ f : F → I, îïðåäåë¼ííàÿíà çàìêíóòîì ïîäìíîæåñòâå F íîðìàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà X , íåïðåðûâíî ïðîäîëæàåòñÿ íà X .Áåç äîêàçàòåëüñòâà.4.17.
Ñëåäñòâèå. Âñÿêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : F → D n , çàìêíóòîãî ïîäìíîæåñòâà Fíîðìàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà X â çàìêíóòûé øàð Dn , íåïðåðûâíî ïðîäîëæàåòñÿ íà X . 4.18. Òåîðåìà. Ïóñòü òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî B ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, à G ãðóïïîé Ëè. ÅñëèE0 è E1 ðàññëîåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ îãðàíè÷åíèÿìè ãëàâíîãî G-ðàññëîåíèÿ (E, B × I, p) íà ìíîæåñòâàB × {0} è B × {1}, ñîîòâåòñòâåííî, òî E0 ýêâèâàëåíòíî E1 .Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû óïðîñòèòü äîêàçàòåëüñòâî, ïîäïðàâèì òðèâèàëèçóþùèé àòëàñ {Vα }α∈Aíà B × I. Ïóò¼ì èçìåëü÷åíèÿ àòëàñà ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî óíêöèè ñêëåéêè îïðåäåëåíû íàçàìûêàíèÿõ ýëåìåíòîâ ýòîãî àòëàñà. Êðîìå òîãî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî {Vα }α∈A èìååò âèä {Uα ×(εα,1 , εα,2 )}α∈A , ãäå Uα îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà B . Îïÿòü, ïåðåõîäÿ ê èçìåëü÷¼ííîìó àòëàñó, ó÷èòûâàÿ, ÷òî óíêöèè ñêëåéêè ϕβα : [Vα ]∩[Vβ ] → G íåïðåðûâíû, íàõîäèì òàêóþ øàðîâóþ îêðåñòíîñòü′O′ ∈ NG (e), ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê v1 , v2 ∈ [Vα ]∩[Vβ ] âûïîëíåíî ϕβα (v1 )ϕ−1βα (v2 ) ∈ O .
Ââèäó êîìïàêòíîñòè ïðîñòðàíñòâà B × I, èç {Vα }α ∈ A ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäñåìåéñòâî, ïîêðûâàþùåå B × I.Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ñ÷èòàòü (ââèäó êîíå÷íîñòè àòëàñà), ÷òî Vα = Uα × (ε1 , ε2 ), à ïîñêîëüêó I ïîêðûâàåòñÿ íåêîòîðûì êîíå÷íûì ïîäíàáîðîì äàííîãî ñåìåéñòâà èíòåðâàëîâ, òî äîñòàòî÷íîäîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ðàññëîåíèé E|B×{ε1 } è E|B×{ε2 } .Ïóñòü N ìîùíîñòü óæå ¾õîðîøåãî¿ òðèâèàëèçóþùåãî àòëàñà, è O ∈ NG (e) òàêàÿ îêðåñòíîñòü åäèíèöû, ÷òî ON ⊂ O′ è äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , N } îêðåñòíîñòü Oi ÿâëÿåòñÿ øàðîâîé.4 Ôóíêöèÿìè ñêëåéêè äëÿ ðàññëîåíèé E|B×{ε1 } ÿâëÿþòñÿ óíêöèè ϕαβ (x, εi ), ãäå i = 1, 2 è x ∈ B .
×òîáûäîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ðàññëîåíèé E|B×{ε1 } è E|B×{ε2 } äëÿ k = 1, . . . , N íàäî îïðåäåëèòü íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ hk : [Uk ] → G, òàêèå, ÷òî ϕβα (x, ε2 ) = h−1β (x)ϕβα (x, ε1 )hα (x).Ñòðîèì hα ïî èíäóêöèè. Äëÿ âñåõ x ∈ [U1 ] ïîëîæèì h1 (x) = e. Ïóñòü äî hk−1 âêëþ÷èòåëüíî âñåhi ïîñòðîåíû. Òîãäà íà ìíîæåñòâå [Uk ]∩[Ul ] îïðåäåëèì hk ïî îðìóëå hk = ϕkl (x, ε1 )hl (x)ϕ−1kl (x, ε2 ).Çàìåòèì, ÷òî îáðàç hk ëåæèò â Ok .5 Êîððåêòíîñòü òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç ðàâåíñòâàϕkl (x, ε1 )hl (x)ϕ−1kl (x, ε2 ) =−1= ϕkl (x, ε1 )ϕln (x, ε1 )hn (x)ϕ−1ln (x, ε2 )ϕkl (x, ε2 ) == ϕkn (x, ε1 )hn (x)ϕ−1kn (x, ε2 )äëÿ âñåõ n < l < k . Òåì ñàìûì hk îïðåäåë¼í íà ìíîæåñòâåk−1S[Ui ] ∩ [Uk ].
Ýòî ìíîæåñòâî çàìêíóòîi=1âkS[Ui ], à çíà÷èò ïî ñëåäñòâèþ 4.17 hk ìîæåò áûòü íåïðåðûâíî ïðîäîëæåíî íà ïîñëåäíåå. i=14.19. Çàìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå, ñïðàâåäëèâî áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå. À èìåííî, òåîðåìà 4.18îñòàíåòñÿ âåðíîé, åñëè ïðîñòðàíñòâî B ïðåäïîëàãàòü íå êîìïàêòîì, à ïàðàêîìïàêòîì, è â êà÷åñòâåãðóïïû G áðàòü ïðîèçâîëüíóþ (åñòåñòâåííî, îòäåëèìóþ) òîïîëîãè÷åñêóþ ãðóïïó (ñì., íàïðèìåð,[2, 3℄).4.20. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü (E, B, p) ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, ãäå G ãðóïïà Ëè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
