Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Òîãäà àíàëîãè÷íî îðìóëå(1.1) ρ(P ′ , Q) = δ ′ + ρ(T ′ , Q), è ρ(Q, T ′ ) = r − t0 − δ ′ ïî âûáîðó T ′ . Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêàρ(T ′ , P )+ρ(T ′ , Q) > ρ(P, Q), à çíà÷èò, è ρ(P, T ′ ) > t0 +δ . Êóñî÷íî ãëàäêàÿ êðèâàÿ, íà ïðîìåæóòêå îòP äî P ′ ñîâïàäàþùàÿ ñ ãåîäåçè÷åñêîé t 7→ expP (tv), è íà ïðîìåæóòêå îò P ′ äî T ′ ñ ãåîäåçè÷åñêèììåæäó P è T ′ , ò. å. ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìåðàäèóñîì ñåðû S ′ , ðåàëèçóåò êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå′′ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé.
Íî T = expP (t0 + δ )v , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ.Òåì ñàìûì, Q = expP (rv), è îòðåçîê ñîîòâåòñòâóþùåé ãåîäåçè÷åñêîé ðåàëèçóåò ìèíèìàëüíîåðàññòîÿíèå ìåæäó P è Q. 1.21. Òåîðåìà. åîäåçè÷åñêàÿ ïîëíîòà, ïîëíîòà â ñìûñëå ìåòðèêè ρ è óñëîâèå, ÷òî ëþáîå çàìêíóòîåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî êîìïàêòíî, ýêâèâàëåíòíû.7Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî èç ïîëíîòû â ñìûñëå ìåòðèêè ρ ñëåäóåò ãåîäåçè÷åñêàÿ ïîëíîòà.Ïóñòü P òî÷êà íàøåãî ìíîãîîáðàçèÿ M , v ∈ TP M , è r0 = sup r : îïðåäåëåíî expP (rv) .
Òîãäà èçïîëíîòû ëåãêî ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îòîáðàæåíèÿ expP â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè r0 v .Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîìïàêòíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ íåïðåðûâíûìè îòîáðàæåíèÿìè. 2.Âàðèàöèîííàÿ òåîðèÿ ãåîäåçè÷åñêèõÏóñòü M ïîëíîå ðèìàíîâî ìíîãîîáðàçèå. àññìîòðèì ìíîæåñòâî Ω(M, P, Q) âñåõ êóñî÷íîãëàäêèõ êðèâûõ, ñ íà÷àëîì â òî÷êå P è êîíöîì â òî÷êå Q.Ïóñòü êðèâûå èç Ω(M, P, Q) ïàðàìåòðèçîâàíû îòðåçêîì [a, b]. Îïðåäåëèì Eab : Ω(M, P, Q) → RRb 2 dt. È óíêöèîíàë äëèíû äóãè óíêöèîíàë äåéñòâèÿ èëè ýíåðãèè îðìóëîé Eab (w) = dwdtaLba (w)=Rbadwdt dt.Äëÿ êðàòêîñòè ïîëîæèì E =E01èL=L10 .2.1.
Ëåììà. Ôóíêöèîíàë E : Ω(M, P, Q) → R äîñòèãàåò ìèíèìóìà â òî÷íîñòè íà ìèíèìàëüíûõãåîäåçè÷åñêèõ M , ñîåäèíÿþùèõ P è Q.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ñâÿçü óíêöèîíàëîâ E è L. Èç õîðîøî èçâåñòíîãî íåðàâåíñòâàhf, gi2 6 hf, f ihg, gi äëÿ âñÿêîé êðèâîé ω èìååì Zb dω 2 Zb dω 2 dt 6 dt.dtdtaa2Ïîýòîìó Lba (ω) 6 Eab (ω)(b − a), ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî èìååòñÿ òîëüêî, åñëè ïàðàìåòð t íàòóðàëüíûé.Åñëè γ ìèíèìàëüíàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè P è Q (òàêàÿ âñåãäà åñòü ïî ïðåäïîëîæåíèþ ïîëíîòû), òîE(γ) = L(γ)2 6 L(ω)2 6 E(ω). = const, à ðàâåíñòâîàâåíñòâî L(ω)2 = E(ω) äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà dwdtL(γ) = L(ω) âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîæåñòâî òî÷åê ω ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîìòî÷åê γ , ò. å. ω ïîëó÷àåòñÿ èç γ çàìåíîé ïàðàìåòðà.
Âàðèàöèÿ êðèâîé w : I → M ýòî òàêîå îòîáðàæåíèå αu : (−ε, ε) → Ω(M, P, Q)(u ∈ (−ε, ε)), ÷òî α0 = w. Ýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì ìîæíî çàïèñàòü α(u, t) :(−ε, ε) × I → M . Âñåãäà ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèÿ α, êðîìåòîãî, ðàññìàòðèâàþòñÿ êóñî÷íî ãëàäêèå âàðèàöèè: äîëæíî ñóùåñòâîâàòü ðàçáèåíèå 0 = t0 < · · · < tn = 1 îòðåçêà I, äëÿ êîòîðîãî îãðàíè÷åíèÿ α|(−ε,ε)×[ti ,ti+1 ] ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìèïðè âñåõ i.Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî Tω Ω ê Ω(M, P, Q) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî êóñî÷íî ãëàäêèõâåêòîðíûõ ïîëåé âäîëü ω , ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèå 0 íà êîíöàõ ω . Êóñî÷íàÿ ãëàäêîñòü ïîëÿ wt ∈Tω(t) M îçíà÷àåò, ÷òî â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ îíî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå wt = wk ω(t) ∂k , ãäå wk êóñî÷íî ãëàäêèå..
ÍàÏî âñÿêîé âàðèàöèè α êðèâîé ω ìîæíî ïîñòðîèòü ýëåìåíò Tω Ω, ïîëîæèâ wt = ∂α(u,t)∂uu=0îáîðîò, åñëè wt ∈ Tω Ω, òî âàðèàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì α(u, t) = expω(t) (uwt ).Èçó÷èòü ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèé ìàòåðèàë. Ïî êíèæêå [1℄:Òåîðåìà 12.2, ñëåäñòâèå 12.3, òåîðåìà 13.1, ñëåäñòâèå 13.4, ëåììà 13.6, òåîðåìà 14.1, çàìå÷àíèå14.2, ëåììû 14.3 è 14.4, çàìå÷àíèÿ 14.5 è 14.6, òåîðåìà 15.1 (áåç äîêàçàòåëüñòâà), òåîðåìà 18.1,ñëåäñòâèå 18.2.Òåêñò, ïðèâåä¼ííûé äàëåå, ñêîïèðîâàí ïî÷òè äîñëîâíî èç [1℄ (íó íå áåãàòü æå âñÿêèé ðàç â÷èòàëêó).Äëÿ ñîêðàùåíèÿ äàëüíåéøèõ âûêëàäîêââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü α : (−ε, ε) → Ω âàðèàöèÿ êðèâîé ω è wt = ∂αâåêòîðíîåïîëå ýòîé âàðèàöèè.
Òîãäà ïîëîæèì vt = ∂ω∂u u=0∂t ,D dωAt = ∂t dt è äëÿ òî÷êè t ∈ (0, 1) ∆t v = vt+ − vt− .82.2. Òåîðåìà (îðìóëà ïåðâîé âàðèàöèè). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ îðìóëàZ1X1 dE(αu ) hwt , ∆t vi − hwt , At idt.=−2 duu=0t∈(0,1)0Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ E , òåîðåìå 1.5 è óïðàæíåíèþ 1.9 èìååì1 d1 dE(αu )=2 du2 duZ1 D0∂α ∂α Edt =,∂t ∂tZ1 D0D ∂α ∂α Edt =,∂u ∂t ∂tZ1 D0D ∂α ∂α Edt.,∂t ∂u ∂tÏóñòü 0 = t0 < · · · < tk = 1 ðàçáèåíèå èç îïðåäåëåíèÿ êóñî÷íîé ãëàäêîñòè. Òîãäà ïî îðìóëåèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì èìååìZti DZti DD ∂α ∂α Et−D ∂α ∂α E∂α D ∂α Eidt =dt.,,,+ −∂t ∂u ∂t∂u ∂t ti−1∂u ∂t ∂tti−1ti−1Ñëîæèì òàêèå ðàâåíñòâà ïî âñåì i, è ó÷ò¼ì, ÷òî∂α∂u= 0 ïðè t ∈ {0, 1}:Z1 Dk−1X D ∂α∂α D ∂α E∂α E1 dE(αu )=−, ∆ti,−dt.2 du∂u∂t∂t ∂t ∂ti=10Òîãäà â òî÷êå u = 0 ýòà îðìóëà ïðèìåò èñêîìûé âèä.
Ïóòü ω íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèìäëÿ óíêöèè F : Ω → R, åñëè äëÿ âñÿêîé âàðèàöèè α êðèâîé(αu ) =0ω âûïîëíåíî óñëîâèå dFdu.u=02.3. Ñëåäñòâèå. Ïóòü ω ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì äëÿ óíêöèîíàëà E òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ω ãåîäåçè÷åñêàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìàòðèâàÿ îðìóëó ïåðâîé âàðèàöèè äëÿ ãåîäåçè÷åñêîé, ñðàçó âèäíî, ÷òîîíà ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ E . Íàîáîðîò, ïóñòü ω êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ E . Âîçüì¼ì òàêóþâàðèàöèþ α êðèâîé ω , ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå åé ïîëå èìååò âèä w(t) = f (t)A(t), ãäå f (t) > 0, ïðè÷¼ìðàâåíñòâî ïðîèñõîäèò òîëüêî â òî÷êàõ ti . ÒîãäàZ11 dE(α) = − f (t) A(t), A(t) dt.0=2 du u=00Ïðàâàÿ ÷àñòü îáðàùàåòñÿ â 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A(t) ≡ 0, ò.
å. ω|[ti ,ti+1 ] ãåîäåçè÷åñêàÿ.Òåïåðü âûáåðåì âàðèàöèþ α òàê, ÷òîáû äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî åé ïîëÿ âûïîëíÿëîñü w(ti ) = ∆ti v .Òîãäà, ïîñêîëüêó A(t) ≡ 0,X1 dE(α) h∆ti v, ∆ti vi,=−0=2 du u=0iïîýòîìó âñå ∆ti v íóëè, è ω ∈ C 1 [0, 1], à çíà÷èò ω ãëàäêàÿ è ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé. 2.1.
åññèàíÏóñòü ω êðèòè÷åñêèé ïóòü äëÿ E è w1 , w2 ∈ Tω Ω. àññìîòðèì äâóïàðàìåòðè÷åñêóþ âàðèàöèþα : (−ε, ε)2 × I → M (èëè, ýêâèâàëåíòíàÿ çàïèñü α(u1 , u2 )(t) = α(u1 , u2 , t)), óäîâëåòâîðÿþùóþñîîòíîøåíèÿì∂α∂α= w1 (t) è= w2 (t).(u1 , u2 , t)(u1 , u2 , t)∂u1∂u2(u1 ,u2 )=(0,0)(u1 ,u2 )=(0,0)åññèàíîì E∗∗ (w1 , w2 ) óíêöèè E íà êðèòè÷åñêîì ïóòè ω íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ∂ 2 E α(u1 , u2 ) .∂u1 ∂u2(u1 ,u2 )=(0,0)9Ïîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåíèå ãåññèàíà êîððåêòíî, ò. å. íå çàâèñèò îò âûáîðà âàðèàöèè.2.4. Òåîðåìà (îðìóëà âòîðîé âàðèàöèè).
Åñëè α : (−ε, ε)2 → Ω äâóïàðàìåòðè÷åñêàÿ âàðè∂α àöèÿ ãåîäåçè÷åñêîé ω , è wi = ∂u ñîîòâåòñòâóþùåå åé âåêòîðíîå ïîëå, à v = dωdt , òîi (u1 ,u2 )=(0,0)âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåZ1 DEX DD2 w1Dw1 E1 ∂ 2 E α(u1 , u2 ) w2 ,w2 (t), ∆t=−+R(v,w)vdt.−12∂u1 ∂u2dtdt2(u1 ,u2 )=(0,0)t∈(0,1)0Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äîêàçàòåëüñòâà îðìóëû ïåðâîé âàðèàöèèZ1 DX D ∂α∂α D ∂α E∂α E1 dE=−, ∆t−,dt.2 du2∂u2∂t∂u2 ∂t ∂tt∈(0,1)0Äèåðåíöèðóÿ ïî u1 :X D ∂α DX D D ∂α∂α E∂α E1 ∂2E−−=−, ∆t,∆t2 ∂u1 ∂u2∂u1 ∂u2∂t∂u2 ∂u1∂tt∈(0,1)t∈(0,1)−Z1 D0D ∂α D ∂α E,dt −∂u1 ∂u2 ∂t ∂tZ1 D0∂α D D ∂α E,dt.∂u2 ∂u1 ∂t ∂tÈ, íàêîíåö, âû÷èñëèì ýòî â òî÷êå (u1 , u2 ) = (0, 0).
Ïîñêîëüêó α(0, 0) = ω , òî ∆t ∂α∂t = 0 èÇíà÷èò ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäóZ1 DX DD ED D E1 ∂ 2 E =−v dt.w2 , ∆t w1 −w2 ,2 ∂u1 ∂u2 (u1 ,u2 )=(0,0)∂t∂u1 ∂tt∈(0,1)ÏîñêîëüêóD ∂α∂t ∂t= 0.(2.1)0 ∂α ∂α D DD Dv−v=R,v = R(v, w1 )v, è∂u1 ∂t∂t ∂u1∂t ∂u1DD ∂αDv== w1 , òî∂u1∂t ∂u1∂tD DD2 w1v=+ R(v, w1 )v.∂u1 ∂t∂t2Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â îðìóëó (2.1) ïîëó÷àåì èñêîìîå ðàâåíñòâî. 2.5. Ñëåäñòâèå. åññèàí E∗∗ (w1 , w2 ) îïðåäåë¼í êîððåêòíî è ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé ñèììåòðè÷åñêîéóíêöèåé îò w1 è w2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Êîððåêòíîñòü è áèëèíåéíîñòü ñëåäóþò èç îðìóëû âòîðîé âàðèàöèè. Ñèì22EE= ∂u∂2 ∂uìåòðè÷íîñòü åñòü òðèâèàëüíîå ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà ∂u∂1 ∂u.212.6.
Çàìå÷àíèå. Äèàãîíàëüíûå ÷ëåíû êâàäðàòè÷íîé îðìû, ñîîòâåòñòâóþùåé E∗∗ , ìîæíî îïèñàòüâ òåðìèíàõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé âàðèàöèè êðèâîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè w ïîëå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé âàðèàöèè α : (−ε, ε) → Ω êðèâîé ω , òî ïîëîæèâ β(u1 , u2 ) = α(u1 + u2 ), áóäåì èìåòü∂α∂ 2 E(α)∂β∂ 2 E(β)==,è∂ui∂u∂u1 ∂u2∂u2ïîýòîìó E∗∗ (w, w) =∂ 2 E(α)∂u2 (0).2.7. Ëåììà. Åñëè γ ìèíèìàëüíàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè p è q , òî ñîîòâåòñòâóþùàÿêâàäðàòè÷íàÿ îðìà E∗∗ ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåíà.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñêîëüêó γ ìèíèìàëüíàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, òî E α(u) > E(γ) = E α(0) .∂ 2 E α(u) > 0, à òîãäà äëÿ âñåõ ïîëåé w âûïîëíåíî E∗∗ (w, w) > 0. Çíà÷èò,∂u2u=0102.2.
ßêîáèåâû ïîëÿÂåêòîðíîå ïîëå J âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé γ íàçûâàåòñÿ ÿêîáèåâûì ïîëåì, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå ßêîáèD2 J+ R(V, J)V = 0,dt2DJãäå V = dγdt . ßêîáèåâî ïîëå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè J(0) è dt (0) ∈ Tγ(0) M .Åñëè P1 , . . . , Pn ïàðàëëåëüíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, â êàæäîé òî÷êå îáðàçóþùèå îðòîíîðìèðîâàííûéáàçèñ êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, à J(t) = f i (t)Pi (t), òî óðàâíåíèå ßêîáè çàïèñûâàåòñÿ â âèäåñèñòåìûnd2 f i X iaj (t)f j (t) = 0, ïðè i ∈ {1, .
. . , n},(2.2)+dt2j=1ãäå aij = R(V, Pj )V, Pi . Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ßêîáè èìååò 2n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ãëàäêèõðåøåíèé âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé γ .Ïóñòü γ ãåîäåçè÷åñêàÿ. åîäåçè÷åñêîé âàðèàöèåé γ íàçîâ¼ì ãëàäêîå îòîáðàæåíèå α : (−ε, ε) ×I → M , äëÿ êîòîðîãî α|u=0 = γ è êðèâàÿ α|{u}×I ãåîäåçè÷åñêàÿ.2.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
