Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ëåììà. Åñëè α ãåîäåçè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ ãåîäåçè÷åñêîé γ , òî âåêòîðíîå ïîëåÿâëÿåòñÿ ÿêîáèåâûì ïîëåì âäîëü γ .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó α ãåîäåçè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ γ , òî0=D ∂α∂t ∂t∂α∂u (0, t)âàðèàöèè≡ 0, ïîýòîìó ∂α ∂α ∂α ∂α ∂α ∂αD D ∂αD2 ∂αD D ∂α=+R,= 2+R,.∂u ∂t ∂t∂t ∂u ∂t∂t ∂u ∂t∂t ∂u∂t ∂u ∂tÀ ýòî è åñòü óðàâíåíèå ßêîáè äëÿ ïîëÿ ∂α∂u (0, t).
2.9. Òåîðåìà. Âñÿêîå ÿêîáèåâî ïîëå âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé γ : I → M åñòü âåêòîðíîå ïîëå íåêîòîðîéãåîäåçè÷åñêîé âàðèàöèè γ .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 1.14 ìîæíî âûáðàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü U òî÷êè γ(0), ÷òî ëþáûå å¼ äâå òî÷êè ñîåäèíÿþòñÿ åäèíñòâåííîé ìèíèìàëüíîé ãåîäåçè÷åñêîé, ãëàäêî çàâèñÿùåé îò êîíöîâ. Ïóñòü δâûáðàíà òàê, ÷òîáû γ[0, δ] ⊂ U , è ïóñòü v0 ∈ Tγ(0) M è vδ ∈ Tγ(δ) M γïðîèçâîëüíûå âåêòîðû. Âûáåðåì êðèâûå a, b : (−ε, ε) → U òàêèì îáðàdadbab(0) = v0 è du(0) = vδ . Âàðèàöèÿçîì, ÷òîáû a(0) = γ(0), b(0) = γ(δ), duα : (−ε, ε) × [0, δ] → M îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìèíèìàëüíàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿα(u) : [0, δ] → M , ñîåäèíÿþùàÿ a(u) è b(u). Òîãäà ïî ïðåäûäóùåé ëåììå ïîëå W (t) = ∂α∂u (0, t) áóäåòÿêîáèåâûì è W (0) = v0 , W (δ) = vδ .Ïî÷åìó ëþáîå ÿêîáèåâî ïîëå âäîëü γ|[0,δ] ïîëó÷àåòñÿ îïèñàííûì ñïîñîáîì? Äåéñòâèòåëüíî, àêòè÷åñêè ïîñòðîåíî ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà âñåõ ÿêîáèåâûõ ïîëåé â ïðîñòðàíñòâîTγ(0) M × Tγ(δ) M , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì ¾íà¿, ïîýòîìó ââèäó ñîâïàäåíèÿ ðàçìåðíîñòåéäàííûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì.Äàëåå, â ñèëó êîìïàêòíîñòè îòðåçêà, ìîæíî ïîñòðîèòü ãåîäåçè÷åñêóþ âàðèàöèþ α′ : (−ε′ , ε′ ) ×I → M , ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîìó ÿêîáèåâó ïîëþ.
2.10. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü îêðåñòíîñòü U òàêîâà, ÷òî ëþáàÿ ïàðà òî÷åê ñîåäèíÿåòñÿ åäèíñòâåííîéìèíèìàëüíîé ãåîäåçè÷åñêîé, ãëàäêî çàâèñÿùåé îò êîíöîâ. Òîãäà ÿêîáèåâî ïîëå âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé,ëåæàùåé â U îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè â êîíöàõ ýòîé ãåîäåçè÷åñêîé. 2.3. Ñîïðÿæ¼ííûå òî÷êèÒî÷êè p = γ(a) è q = γ(b) íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæ¼ííûìè âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé γ , åñëè ñóùåñòâóåòíåíóëåâîå ÿêîáèåâî ïîëå âäîëü γ , â òî÷êàõ a è b îáðàùàþùååñÿ â 0. àçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà òàêèõÿêîáèåâûõ ïîëåé íàçûâàåòñÿ êðàòíîñòüþ ñîïðÿæ¼ííûõ òî÷åê.Íóëåâûì ïðîñòðàíñòâîì ãåññèàíà E∗∗ : Tγ Ω × Tγ Ω → R íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâîAE = W1 ∈ Tγ Ω : E∗∗ (W1 , W2 ) = 0 äëÿ âñåõ W2 .×èñëî dim AE íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ âûðîæäåíèÿ îðìû E∗∗ .2.11.
Òåîðåìà. Âåêòîðíîå ïîëå W1 ∈ Tγ Ω ïðèíàäëåæèò íóëåâîìó ïðîñòðàíñòâó îðìû E∗∗ òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà W1 ÿâëÿåòñÿ ÿêîáèåâûì ïîëåì.11Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p è q êîíöû ãåîäåçè÷åñêîé γ . Âñÿêîå ÿêîáèåâî ïîëå J , îáðàùàþùååñÿâ 0 â òî÷êàõ p è q , ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì Tγ Ω.
Ïî îðìóëå âòîðîé âàðèàöèè äëÿ âñåõ W2 èìååìX1hW2 , 0i +− E∗∗ (J, W2 ) =2tZ1hW2 , 0idt = 0,0ïîýòîìó J ∈ AE .Îáðàòíî, ïóñòü W1 ∈ AE è ïóñòü ðàçáèåíèå 0 = t0 < · · · < tk = 1 âûáðàíî â ñîîòâåòñòâèè ñîïðåäåëåíèåì êóñî÷íîé ãëàäêîñòè, à ãëàäêàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ óíêöèÿ f : I → I âûáðàíà òàê, ÷òîf (x) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x åñòü îäíà èç òî÷åê ðàçáèåíèÿ. Íàïèøåì îðìóëó âòîðîé21+ R(V, W1 )V t .
Èìååìâàðèàöèè äëÿ ïîëåé W1 è W2 (t) = f (t) DdtW210 = − E∗∗ (W1 , W2 ) =2Z10 D2 W1f (t)+R(V,W)Vdt = 0,1dt2ïîýòîìó W1 |[ti−1 ,ti ] ïðè âñåõ i ÿâëÿåòñÿ ÿêîáèåâûì ïîëåì.1Ïîñêîëüêó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ßêîáè îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðàìè W1 (ti ) è DWdt (ti ), òî äëÿ òîãî,DW1÷òîáû ñêëåèòü èç ïîëåé W1 |[ti−1 ,ti ] ÿêîáèåâî ïîëå, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî ó dt íåò ðàçðûâîâ.1Âçÿâ â êà÷åñòâå W2 ïîëå ñ W2 (ti ) = ∆ti DWdt ïðè âñåõ i, ïî îðìóëå âòîðîé âàðèàöèè èìååìX DW1 210 = − E∗∗ (W1 , W2 ) =∆ti ,2dti÷òî è âëå÷¼ò ãëàäêîñòü W1 . 2.12.
Ñëåäñòâèå. åññèàí E∗∗ âûðîæäåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîíöû ñîîòâåòñòâóþùåéãåîäåçè÷åñêîé ñîïðÿæåíû âäîëü íå¼, ïðè÷¼ì ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ E∗∗ ðàâíà èõ êðàòíîñòè. 2.13. Çàìå÷àíèå. Ïðîñòðàíñòâî ÿêîáèåâûõ ïîëåé, â òî÷êå γ(0) ðàâíûõ íóëþ, èìååò ðàçìåðíîñòün = dim M . Îäíàêî, ìîæíî ïîñòðîèòü ÿêîáèåâî ïîëå, îáðàùàþùååñÿ â 0 ïðè t = 0, íî íå â t = 1.DJDVÏóñòü V = dγdt è Jt = tVt . Òîãäà ïîñêîëüêó γ ãåîäåçè÷åñêàÿ, òî dt = V + t dt = V . Çíà÷èò,D2 Jdt2 = 0. Òàêæå R(V, J)V = tR(V, V )V = 0, ïîýòîìó J óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ßêîáè, è â òî æåâðåìÿ, J0 = 0 è J1 6= 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñòåïåíü âûðîæäåíèÿ E∗∗ ñòðîãî ìåíüøå n.2.14.
Çàìå÷àíèå. Åñëè òåíçîð êðèâèçíû èìàíà ìíîãîîáðàçèÿ ðàâåí 0, òî óðàâíåíèÿ ßêîáè ïðè22iíèìàþò âèä Ddt2J = 0. Ïåðåïèñûâàÿ óðàâíåíèå ßêîáè â êîîðäèíàòíîì âèäå (2.2) ïîëó÷èì ddtf2 = 0.Ïîýòîìó ÿêîáèåâî ïîëå âäîëü γ íå ìîæåò èìåòü áîëåå îäíîãî íóëÿ, à çíà÷èò ñîïðÿæ¼ííûõ òî÷åêíåò, è ãåññèàí E∗∗ íåâûðîæäåí.2.15. Ïðèìåð. Åñëè p è q ïðîòèâîïîëîæíûå ïîëþñà ñåðû S n è γ ãåîäåçè÷åñêàÿ, èõ ñîåäè-íÿþùàÿ, òî êðàòíîñòü p è q îòíîñèòåëüíî γ ðàâíà n − 1. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 2.9,ïîëó÷àåì, ÷òî âðàùåíèÿ ñåðû, îñòàâëÿþùèå íåïîäâèæíûìè òî÷êè p è q , îïðåäåëÿþò âåêòîðíûåïîëÿ âàðèàöèé, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ÿêîáèåâûìè ïîëÿìè âäîëü γ , è îáðàùàþùèåñÿ â íóëü íà òî÷êàõp è q . Íî âðàùàòü ìîæíî ïî (n − 1) íåçàâèñèìûì íàïðàâëåíèÿì, ïîýòîìó èìååòñÿ (n − 1) ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ÿêîáèåâûõ ïîëåé.Èíäåêñîì ãåññèàíà E∗∗ : Tγ Ω × Tγ Ω → R íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâTγ Ω, íà êîòîðûõ îðìà E∗∗ îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà.2.16.
Òåîðåìà (Ìîðñ). Èíäåêñ îðìû E∗∗ ðàâåí êîëè÷åñòâó òî÷åê t ∈ (0, 1), äëÿ êîòîðûõ γ(t)ñîïðÿæåíà ñ γ(0) âäîëü γ ñ ó÷¼òîì êðàòíîñòè.Áåç äîêàçàòåëüñòâà.2.17. Ñëåäñòâèå. Îòðåçîê ãåîäåçè÷åñêîé γ : I → M ìîæåò ñîäåðæàòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê,ñîïðÿæ¼ííûõ ñ γ(0) âäîëü γ . 2.18. Òåîðåìà. Òî÷êà expp v ñîïðÿæåíà ñ òî÷êîé p âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé γv : t 7→ expp (tv) òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îòîáðàæåíèå expp ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì â òî÷êå v .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îòîáðàæåíèå expp ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì â òî÷êå v . Òîãäà d expp (X) = 0ïðè íåêîòîðîì íåíóëåâîì âåêòîðå X ∈ Tv (Tp M ).
Ïóñòü v(u) òàêîé ïóòü â Tp M , ÷òî v(0) = v è12= X . Òîãäà îòîáðàæåíèå α, îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé α(u, t) = expp tv(u) ãåîäåçè÷åñêàÿ∂ expp tv(u) âàðèàöèÿ ãåîäåçè÷åñêîé γv . Ïîýòîìó âåêòîðíîå ïîëå W (t) =ïî ëåììå 2.8 ÿâëÿåòñÿ∂uu=0ÿêîáèåâûì ïîëåì âäîëü γv . Ïðè ýòîì W (0) = 0 èd expp v(u) dv(u)W (1) =(0) = d expp X = 0,= d exppduduu=0dvdu (0)íî ïîñêîëüêóD ∂ expp tv(u) DDW6= 0,(0) =v(u)=dt∂u∂t∂uu=0(u,t)=(0,0)òî ïîëå W íå ðàâíî íóëþ òîæäåñòâåííî. Ýòî è åñòü íåòðèâèàëüíîå ÿêîáèåâî ïîëå âäîëü γv , îáðàùàþùååñÿ â íóëü â òî÷êàõ p è expp v .Íàîáîðîò, ïóñòü îòîáðàæåíèå d expp íåâûðîæäåíî â òî÷êå v .
Âîçüì¼ì n íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâX1 , . . . , Xn â êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Tv (Tp M ). Òîãäà âåêòîðû d expp X1 , . . . , d expp Xn òàêæå ëèi (u)ïóòè v1 (u), . . . , vn (u), äëÿ êîòîðûõ vi (0) = v è dvduíåéíî íåçàâèñèìû.  Tp M âîçüì¼ì(0) = Xi .∂ expp tvi (u) Òîãäà ïîëÿ Wi (t) =ÿâëÿþòñÿ ÿêîáèåâûìè âäîëü γv è îáðàùàþòñÿ â íóëü â òî÷êå p.∂uu=0Íî Wi (1) = d expp Xi ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ò. å. íèêàêàÿ íåòðèâèàëüíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ Wiíå îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå expp v . Ïîñêîëüêó ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ÿêîáèåâûõ ïîëåé âäîëüγv , îáðàùàþùèõñÿ â íóëü â òî÷êå p, ðàâíà n, òî íå ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîãî ÿêîáèåâîãî ïîëÿâäîëü γv , ðàâíîãî íóëþ â òî÷êàõ p è expp v . 2.19.
Òåîðåìà (Ñàðä). Åñëè M ãëàäêîå õàóñäîðîâî ìíîãîîáðàçèå, óäîâëåòâîðÿþùåå âòîðîéàêñèîìå ñ÷¼òíîñòè, è f : M → Rn ãëàäêîå îòîáðàæåíèå, òî îáðàç ìíîæåñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åêèìååò ìåðó 0 â Rn .Áåç äîêàçàòåëüñòâà.Èç òåîðåìû Ñàðäà è 2.18 ñðàçó ñëåäóåò2.20. Ñëåäñòâèå. Êàæäàÿ òî÷êà p ìíîãîîáðàçèÿ M íå ñîïðÿæåíà ïî÷òè ñî âñåìè òî÷êàìè q ∈ Míè âäîëü êàêîé ãåîäåçè÷åñêîé. 3.Êîãîìîëîãèè äå àìàÏóñòü M ãëàäêîå êîíå÷íîìåðíîå ìíîãîîáðàçèå. ×åðåç Λk (M ) áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâîãëàäêèõ k -îðì íà M .(Êî)öåïíûì êîìïëåêñîì íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àáåëåâûõ ãðóïï ñëåäóþùåãî âèäà∂∂∂∂∂∂ddddddC ∗ : · · · ←− C−2 ←− C−1 ←−C0 ←− C1 ←− C2 ←− .
. .(C ∗ : · · · −→ C−2 −→ C−1 −→C0 −→ C1 −→ C2 −→ . . . ),ãäå ãîìîìîðèçìû ∂ (d) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ ∂ 2 = 0 (d2 = 0). Âìåñòî àáåëåâûõ ãðóïï âýòîì îïðåäåëåíèè âïîëíå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà, ìîäóëè è ò. ä. Ìîðèçìf : A∗ → B ∗ êîöåïíûõ êîìïëåêñîâ A∗ è B ∗ ýòî ñåìåéñòâî ãîìîìîðèçìîâ fi : Ai → Bi (êàæäûéèç êîòîðûõ èíîãäà äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷àåòñÿ f ), êîììóòèðóþùèõ ñ d: fi+1 d = dfi .Îïåðàòîð äèåðåíöèðîâàíèÿ d : Λk → Λk+1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè ω ∈ Λk ,Idxk ∧ dxI ∈ Λk+1 .òî d(ωI dxI ) := dωI ∧ dxI = ∂ω∂xkËåãêî ïðîâåðÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îïåðàòîðà d:1◦ .
d2 =0;2◦ . d(θ ∧ ω) = dθ ∧ ω + (−1)deg θ θ ∧ dω ;3◦ . d àääèòèâåí;4◦ . íà îðìàõ ñòåïåíè 0 ýòî îáû÷íûé äèåðåíöèàë.Òåì ñàìûì îïðåäåë¼í êîìïëåêñdddddΛ∗ (M ) : 0 −→ Λ0 (M ) −→ Λ1 (M ) −→ · · · −→ Λdim M (M ) −→ 0Âñÿêîå ãëàäêîå îòîáðàæåíèå f : M → N èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå êîìïëåêñîâ f ∗ : Λ∗ N → Λ∗ Mïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Ïóñòü (x) ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íà M , à (y) íà N , è f èìååò âèä13 ∂yI Jy = y(x).
Òîãäà îáðàçîì îðìû ω = ωI (y)dy I ∈ Λk (N ) ÿâëÿåòñÿ îðìà f ∗ (w) = ωI y(x) ∂x∈J dxΛk (M ).3.1. Óòâåðæäåíèå. f ∗ d = df ∗ .Ôîðìà ω ∈ Λk íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé (òî÷íîé), åñëè dw = 0 (ñóùåñòâóåò îðìà ω ′ ∈ Λk−1 ,äëÿ êîòîðîé dω ′ = ω ). Ïîëîæèì Z k = ker(d : Λk → Λk+1 ) è B k = im(d : Λk−1 → Λk ). k -ìåðíûåkkêîãîìîëîãèè äå àìà ìíîãîîáðàçèÿ M ýòî HDR(M ) = Z (M ) B k (M ) . Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ìûðàññìàòðèâàåì êàòåãîðèþ àáåëåâûõ ãðóïï (âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ èëè ìîäóëåé), òî âñåãäà ìîæíîàêòîðèçîâàòü ïî ïîäîáúåêòàì.k3.2. Çàìå÷àíèå. Ïðîñòðàíñòâà Z k , B k , Λk áåñêîíå÷íîìåðíû, íî dimR HDR< ∞.3.3. Òåîðåìà. Ïóñòü (A∗ , d) è (B ∗ , d) (êî)öåïíîé êîìïëåêñ è f : (A∗ , dA ) → (B ∗ , dB ) ìîðèçìêîìïëåêñîâ.
Òîãäà ïî f ìîæíî ïîñòðîèòü åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå H(f ) : H ∗ (A) → H ∗ (B).3.4. Çàìå÷àíèå. Åñòåñòâåííîñòü îçíà÷àåò, ÷òî H êîâàðèàíòíûé óíêòîð: H(idA∗ ) = idH ∗ (A) , èåñëè f : A∗ → B ∗ è g : B ∗ → C ∗ , òî H(gf ) = H(g)H(f ).ÄîêàçàòåëüñòâîÏóñòü [a] ∈ H k (A), ïîëîæèì H(f )[a] = f (a) . Òàêîå îïðåäåëåíèå òåîðåìû.k−1êîððåêòíî:âûïîëíåíî f (a2 ) =d f(a) = df (a) = 0, è åñëè [a1 ] = [a2 ], òî äëÿ íåêîòîðîãî b ∈ Af (a1 + db) = f (a1 ) + 0.
È íàêîíåö, H äåéñòâèòåëüíî óíêòîð: H(id) = id è H(gf )[a] = gf (a) =Hg[f a] = HgHf [a]. Ìîðèçìû êîìïëåêñîâ f, g : (A∗ , d) → (B ∗ , d) íàçûâàþòñÿ öåïíî ãîìîòîïíûìè åñëè ñóùåñòâóåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîðèçìîâ S : Ak+1 → B k , äëÿ êîòîðûõ f − g = dS + Sd:dAk−1fgSAkfdg SAk+1gfB k−1 d B k d B k+13.5. Çàìå÷àíèå.
Ìîðèçìû S íå îáÿçàòåëüíî ïåðåñòàíîâî÷íû ñ d!3.6. Òåîðåìà. Åñëè ìîðèçìû f, g : (A∗ , d) → (B ∗ , d) öåïíî ãîìîòîïíû, òî èì ñîîòâåòñòâóþòîäèíàêîâûå îòîáðàæåíèÿ â êîãîìîëîãèÿõ: H(f ) = H(g).Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì íåêîòîðûé [a] ∈ H k , ïðîâåðèì, ÷òî Hf [a] = Hg[a]. Äåéñòâèòåëü, è ò. ê. da = 0, òî f (a) = g(a)+dS(a),íî, ïî îïðåäåëåíèþ öåïíîé ãîìîòîïèè f (a) = g(a)+dS(a)+Sd(a)ïîýòîìó Hf [a] = f (a) = g(a) + dS(a) = g(a) = Hg[a]. 3.7.
Ëåììà (Ïóàíêàðå). Ïóñòü M ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå è îòîáðàæåíèÿ f : M → M × R èg : M × R → M çàäàíû ïî ïðàâèëó f : x 7→ (x, 0) è g : (x, t) 7→ x. Òîãäà èíäóöèðîâàííûå èìèìîðèçìû f ∗ : H ∗ (M × R) → H ∗ (M ) è g ∗ : H ∗ (M ) → H ∗ (M × R) ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìèèçîìîðèçìàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Íàäî ïðîâåðèòü óñëîâèÿ f ∗ g ∗ = id è g ∗ f ∗ = id. Ïåðâîå èç íèõ òðèâèàëüíî:∗ ∗f g = (gf )∗ = id∗ = id.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
