Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(Ïîÿñíåíèå íàâñÿêèé ñëó÷àé: (p1 × p2 )(e1 , e2 ) = p1 (e1 ), p2 (e2 ) .) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñëîé ïðîèçâåäåíèÿ ðàññëîåíèéðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõ ñëî¼â.8àçâå γ1R íå ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíûì?265.10. Óïðàæíåíèå. Âûðàçèòü óíêöèè ñêëåéêè ïðîèçâåäåíèÿ ðàññëîåíèé ÷åðåç óíêöèè ñêëåéêèñîìíîæèòåëåé.Äàëåå â ýòîì ïàðàãðàå âñå ðàññìàòðèâàåìûå ðàññëîåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âåêòîðíûìè è ëîêàëüíîòðèâèàëüíûìè.Ïóñòü çàäàíû ðàññëîåíèÿ p1 : E1 → B è p2 : E2 → B è ïóñòü ∆ : B → B × B äèàãîíàëüíîåâëîæåíèå. Òîãäà ñóììîé Óèòíè ðàññëîåíèé p1 è p2 íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèå ∆∗ (E1 × E2 ), îáîçíà÷à−1åìîå p : E1 ⊕ E2 → B . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî p−1 (b) = p−11 (b) ⊕ p2 (b) äëÿ ëþáîé òî÷êè áàçû b. Åñëèíà B âûáðàí òðèâèàëèçóþùèé àòëàñ äëÿ ðàññëîåíèé p1 è p2 , è ϕ1αβ , ϕ2αβ ñîîòâåòñòâóþùèå èìóíêöèè ñêëåéêè, òî óíêöèè ñêëåéêè ðàññëîåíèÿ E1 ⊕ E2 çàäàþòñÿ ïðàâèëîì ϕαβ = ϕ1αβ ⊕ ϕ2αβ . ìàòðè÷íîé îðìå ýòî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå 10ϕαβ.ϕαβ =ϕ2αβ0Åñëè ïàðà ðàññëîåíèé p1 : E1 → B è p : E → B òàêîâà, ÷òî E1 ⊂ E è p|E1 = p1 , òî p1 íàçûâàåòñÿïîäðàññëîåíèåì p.Äëÿ ðàññëîåíèÿ p : E → B è òî÷êè x ∈ B ÷åðåç (E)x áóäåì îáîçíà÷àòü ñëîé, îòîáðàæàþùèéñÿâ òî÷êó x.5.11.
Óïðàæíåíèå. Åñëè E, E1 , E2 ðàññëîåíèÿ íàä B è E1 , E2 ÿâëÿþòñÿ ïîäðàññëîåíèÿìè ðàññëîåíèÿ E , ïðè÷¼ì äëÿ âñåõ x ∈ B âûïîëíåíî (E)x = (E1 )x ⊕ (E2 )x , òî E = E1 ⊕ E2 .Ñîïðÿæ¼ííûì ðàññëîåíèåì E ∗ ê ðàññëîåíèþ (E, B, F, p) íàçûâàåòñÿ ðàññëîåíèå íàä B , ó êîòîðîãî ñëîè ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ óíêöèîíàëîâ íà F , à óíêöèÿìè ñêëåéêè ÿâëÿþòñÿ óíêöèèϕ∗αβ .Íàïîìíèì, ÷òî åñëè çàäàíû ëèíåéíûå îïåðàòîðû A : V → V è B : W → W âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ñ dim V = n, dim W = m, òî èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå A ⊗ B : V ⊗ W → V ⊗ W çàäà¼òñÿâ ìàòðè÷íîé îðìå ñëåäóþùèì îáðàçîì:b11 Ab1m A..A⊗B =..bm1 Abmm AÒåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ðàññëîåíèé (E1 , B, p1 ) è (E2 , B, p2 ) íàçûâàåòñÿ òàêîå ðàññëîåíèå íàäB , ÷òî åãî óíêöèè ñêëåéêè çàäàþòñÿ îðìóëîé ϕαβ = ϕ1αβ ⊗ϕ2αβ , ãäå ϕ1αβ è ϕ2αβ óíêöèè ñêëåéêèðàññëîåíèé p1 è p2 , ñîîòâåòñòâåííî, îòíîñèòåëüíî îáùåãî äëÿ íèõ òðèâèàëèçóþùåãî àòëàñà íà B .àññëîåíèå Hom(E1 , E2 ) ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ óæå ïîñòðîåííûõ îïåðàöèé, ó÷èòûâàÿ,÷òî Hom(V, W ) ∼= V ∗ ⊗ W . Òàêæå ïîëåçíî ðàññëîåíèå Λk (E) åãî óíêöèè ñêëåéêè îïðåäåëÿþòñÿkîðìóëîé Λ ϕαβ . îáùåì ñëó÷àå ïóñòü èìååòñÿ óíêòîð F èç êàòåãîðèè Vectn íàáîðîâ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâäëèíû n â êàòåãîðèþ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ Vect.
Òîãäà â ¾õîðîøèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ¿ ìîæíî ïîn âåêòîðíûì ðàññëîåíèÿì íàä îäíîé áàçîé îðãàíèçîâàòü íîâîå âåêòîðíîå ðàññëîåíèå íàä òîé æåáàçîé, â ñîîòâåòñòâèè ñ óíêòîðîì F , âûáðàâ â êà÷åñòâå óíêöèé ñêëåéêè F (ϕ1αβ , . . . , ϕnαβ ), ãäå ϕiαβ óíêöèè ñêëåéêè i-ãî ðàññëîåíèÿ îòíîñèòåëüíî òðèâèàëèçóþùåãî äàííûå n ðàññëîåíèé àòëàñà.¾Xîðîøèå ïðåäïîëîæåíèÿ¿ îçíà÷àþò, ÷òî óíêòîð äîëæåí áûòü íåïðåðûâíûì, ò. å.
F (f1 , . . . , fn )íåïðåðûâíî çàâèñèò îò f1 , . . . , fn .95.5. Êîìïëåêñíûå è âåùåñòâåííûå ðàññëîåíèÿÊîìïëåêñíîé ñòðóêòóðîé íà ðàññëîåíèè E íàçûâàåòñÿ òàêîé ëèíåéíûé àâòîìîðèçì J : E →E , òî J 2 = −1. Êëàññ êîìïëåêñíûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ñîâïàäàåò ñ êëàññîì âåùåñòâåííûõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé, íà êîòîðûõ çàäàíà êîìïëåêñíàÿ ñòðóêòóðà.Ïóñòü çàäàíî n-ìåðíîå êîìïëåêñíîå ðàññëîåíèå E . Åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê 2n-ìåðíîåâåùåñòâåííîå ðàññëîåíèå ER : äëÿ ýòîãî íàäî ðàññìîòðåòü ïðåäñòàâëåíèå GLn (C) ֒→ GL2n (R), çàäàííîå ïðàâèëîìre Aim AA 7→.− im A re AÎïåðàöèÿ ïåðåõîäà îò E ê ER íàçûâàåòñÿ îâåùåñòâëåíèåì.9Êàêàÿ òîïîëîãèÿ íà ïðîñòðàíñòâå îòîáðàæåíèé?27Íàîáîðîò, åñëè E n-ìåðíîå âåùåñòâåííîå ðàññëîåíèå, òî ïîëîæèâ EC = E⊕E è çàäàâ êîìïëåêñíóþ ñòðóêòóðó îðìóëîé J(x, y) = (−y, x), ïîëó÷èì îïåðàöèþ êîìïëåêñèèêàöèè.
Ýêâèâàëåíòíîìîæíî îïðåäåëèòü EC = E ⊗ C.5.12. Óïðàæíåíèå. Äëÿ âåùåñòâåííîãî ðàññëîåíèÿ E âûïîëíåíî (EC )R = E ⊕ E . Äëÿ êîìïëåêñíîãî ðàññëîåíèÿ E âûïîëíåíî (ER )C = E ⊕ E , ãäå E îáîçíà÷àåò ðàññëîåíèå E ñ ïðîòèâîïîëîæíîéêîìïëåêñíîé ñòðóêòóðîé: x 7→ −J(x).5.6. Ñâÿçíîñòè îáùåãî âèäàÏóñòü çàäàíî ãëàäêîå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå (E, B, p).ëàäêèì ðàñïðåäåëåíèåì èëè ñâÿçíîñòüþ îáùåãî âèäà íà ðàññëîåíèè p íàçûâàåòñÿ ñåìåéñòâî{horx }x∈E òàêèõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Tx E ãëàäêî çàâèñÿùèõ îò x, ÷òî ker dx p ⊕ horx = Tx E .Íåîðìàëüíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè x èç E â ïðîñòðàíñòâå Tx E âûáðàí áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà, äîïîëíÿþùåãî êàñàòåëüíîå ê ñëîþ ïîäïðîñòðàíñòâî Tx F (îáîçíà÷àþùååñÿ òàêæå vertx )äî Tx E , ïðè÷¼ì ýòî ñåìåéñòâî áàçèñîâ, à òàêæå vertx , ãëàäêî çàâèñÿò îò òî÷êè x.5.13.
Óòâåðæäåíèå. Åñëè E ãëàäêèé ïàðàêîìïàêò, è (E, B, p) ãëàäêîå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîåðàññëîåíèå, òî íà ðàññëîåíèè p ñóùåñòâóåò ñâÿçíîñòü îáùåãî âèäà.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òåîðåìû 1.6 ìîæíî âûáðàòü íà E ðèìàíîâó ìåòðèêó. Äàëåå äîñòàòî÷íîïîëîæèòü horx := (ker dx p)⊥ . Åñëè íà ðàññëîåíèè p çàäàíà ñâÿçíîñòü îáùåãî âèäà, òî íàçîâ¼ì êðèâóþ γ ⊂ E ãîðèçîíòàëüíîé,dåñëè äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t âûïîëíåíî dtγ(t) ∈ horγ(t) .
Íàïîìíèì, ÷òî êðèâàÿ γ̃ âòîòàëüíîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ïîäíÿòèåì êðèâîé γ èç áàçû, åñëè äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ˜ = γ(t).ïàðàìåòðà t âûïîëíåíî pγ(t)5.14. Óïðàæíåíèå. Åñëè â ãëàäêîì ðàññëîåíèè10 p ñëîé ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì,Eòî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé êðèâîé γ â áàçå è òî÷êè x òîòàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, äëÿγ̃êîòîðîé p(x) = γ(0), ñóùåñòâóåò ãîðèçîíòàëüíîå ïîäíÿòèå êðèâîé γ , ñ íà÷àëîì âòî÷êå x.Ïðîñòðàíñòâî ãëàäêèõ ïåòåëü â X ñ íà÷àëîì x îáîçíà÷àåòñÿ Ωx (X).
àññìîòðèì ìíîæåñòâî Ωb (B) è èêñèðîâàííóþ òî÷êó x ∈ (E)b . Òîãäà åñëè ñëîé êîìïàêBγòåí, òî ïî ïðåäûäóùåìó óïðàæíåíèþ äëÿ γ ∈ Ωb (B) ìîæíî íàéòè ãîðèçîíòàëüíîåïîäíÿòèå γ̃ ñ íà÷àëîì â òî÷êå x. îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ϕγ : (E)b → (E)b îðìóëîé ϕγ (x) := γ̃(1).äëÿ âñåõ γ, γ1 , γ2 ∈ Ωb (B). Òåì ñàìûì îïðåäåë¼íËåãêî âèäåòü, ÷òî ϕγ1 γ2 = ϕγ1 ϕγ2 è ϕγ −1 = ϕ−1γãîìîìîðèçì ϕ : Ωb (B) → Aut F . ðóïïîé ãîëîíîìèè íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî im ϕ.5.7. Ñâÿçíîñòü â ãëàâíîì ðàññëîåíèèÅñëè X ïðàâîå (ëåâîå) G-ïðîñòðàíñòâî (â ÷àñòíîñòè, X ñàìà òîïîëîãè÷åñêàÿ ãðóïïà G), òîîïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå ïðàâîãî (ëåâîãî) ñäâèãà Rg : X → X (Lg : X → X ), çàäàþùååñÿ îðìóëîéRg (x) = xg (Lg (x) = gx).Ïóñòü E ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî horx ÿâëÿåòñÿ G-èíâàðèàíòíûì, åñëèdx Rg : Tx E → Txg E èçîìîðíî îòîáðàæàåò horx ⊂ Tx E íà horxg ⊂ Txg E .Ïóñòü G ãðóïïà Ëè, ñ çàäàííûì íà íåé âåêòîðíûì ïîëåì Y .
Îíî íàçûâàåòñÿ ëåâîèíâàðèàíòíûì, åñëè ïðè âñåõ g, h ∈ G äëÿ îòîáðàæåíèÿ (dLg )h : Th G → Tgh G âûïîëíåíî(dLg )h Y (h) = Y (gh).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñÿêîå ëåâîèíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïîëå Y íà ãðóïïå Ëè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì Y (e) ∈ Te G â åäèíèöå:Y (h) = (dLh )e Y (e).Îáðàòíî, ïî âåêòîðó Y (e) ∈ Te G îäíîçíà÷íî (ñ ïîìîùüþ òîé æå îðìóëû) ìîæíî ïîñòðîèòü ëåâîèíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïîëå íà ãðóïïå Ëè. Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ëåâîèíâàðèàíòíûå âåêòîðíûå ïîëÿ íà ãðóïïå Ëè îáðàçóþò âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, îáîçíà÷àåìîå äàëåå ÷åðåç g, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ñàìîé ãðóïïû. Åñëè íà ãðóïïå Ëè çàäàíû ëåâîèíâàðèàíòíûå âåêòîðíûåïîëÿ Y1 è Y2, òî âåêòîðíîå ïîëå [Y1 , Y2 ] òîæå ÿâëÿåòñÿ ëåâîèíâàðèàíòíûì, èáî(dLg )[Y1 , Y2 ] = (dLg )Y1 , (dLg )Y2 = [Y1 , Y2 ].10Ïðåäïîëàãàåòñÿ ëè òóò íàëè÷èå ñâÿçíîñòè?28×åðåç a(g) : G → G, ãäå g ∈ G, îáîçíà÷èì ñîïðÿæåíèå a(g)(h) = ghg −1 .
Òîãäà îïðåäåëåíîîòîáðàæåíèå da(g) : Th G → Tghg−1 G, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ Ad(g).5.15. Óïðàæíåíèå. Åñëè Y ëåâîèíâàðèàíòíîå âåêòîðíîå ïîëå íà G, òî äëÿ âñåõ g ∈ G ïîëåAd(g)(Y ) òîæå ëåâîèíâàðèàíòíî, ïðè÷¼ì âûïîëíåíî Ad(g)Y = (dRg−1 )Y .Òåì ñàìûì Ad(g) îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå èç g â ñåáÿ.Íà ïðàâîì G-ïðîñòðàíñòâå E (â ÷àñòíîñòè ãëàâíîì G-ðàññëîåíèè) ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèåσx : G → E , çàäàííîå îðìóëîé σx : g 7→ xg .
Ïóñòü òàêæå G ãðóïïà Ëè.Ôóíäàìåíòàëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì íà E , ñîîòâåòñòâóþùèì Y ∈ g íàçûâàåòñÿ ïîëåY ∗ (x) := (dσx )e Y (e) ∈ g.5.16. Óòâåðæäåíèå. Îáðàçîì óíäàìåíòàëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ Y ∗ ïðè ïðàâîì ñäâèãå íà Eÿâëÿåòñÿ òàêæå óíäàìåíòàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå, ïðè÷¼ì âûïîëíåíî∗dRg (Y ∗ ) = Ad(g −1 )Y .Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî dRg dσx = dσx dRg , ÷òî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà Rg σx = σx Rg (çäåñü ñèìâîë Rg â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà îáîçíà÷àåò ïðàâûé ñäâèã â ãðóïïå, âëåâîé â ïðîñòðàíñòâå E ). Ïóñòü çàäàíî ãëàäêîå ðàññëîåíèå ñî ñâÿçíîñòüþ. 1-îðìà ω íà E ñî çíà÷åíèÿìè â g ýòîëèíåéíîå äëÿ êàæäîãî x îòîáðàæåíèå ω : Tx E → g, îïðåäåëÿþùååñÿ ñëåäóþùåé îðìóëîéω(Y ) = ω hor(Y ) + vert(Y ) = ω vert(Y ) := ξ −1 vert(Y ) ,(dσx )eãäå ξ ñêâîçíîå îòîáðàæåíèå ξ : g → Te G −→ Tx E .5.17.
Òåîðåìà. Ïîñòðîåííàÿ îðìà ω îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) ω(Y ∗ ) = Y ;2) (Rg∗ ω)(Y ) = Ad(g −1 ) ω(Y ) .Íàîáîðîò, åñëè çàäàíà 1-îðìà ω íà E ñî çíà÷åíèÿìè â g, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì 1) è 2),òî ker ω|x = horx ñâÿçíîñòü íà E .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóíêò 1) ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 2) äîñòàòî÷íîïðîâåðèòü ðàâåíñòâî îòäåëüíî íà ãîðèçîíòàëüíûõ è âåðòèêàëüíûõ âåêòîðíûõ ïîëÿõ. Ïóñòü Y =hor(Y ). Òîãäà Ad(g −1 ) = 0, è ïî îïðåäåëåíèþ G-èíâàðèàíòíîñòè Rg Y ãîðèçîíòàëüíî.
Ïîýòîìó(Rg∗ ω)(Y ) = ω dRg (Y ) = 0. Åñëè æå Y âåðòèêàëüíî, òî ñóùåñòâóåò W ∈ g, äëÿ êîòîðîãî Y = W ∗ .Òîãäà∗ (Rg∗ ω)(Y ) = (Rg∗ ω)(W ∗ ) = ω dRg (W ∗ ) = ω Ad(g −1 )W== Ad(g −1 )(W ) = Ad(g −1 ) ω(W ∗ ) = Ad(g −1 )(Y ).Âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ, îòìåòèì,11 òîëüêî, ÷òî óñëîâèå 2) îïðåäåëÿåòñâÿçíîñòü, à 1) îòâå÷àåò çà òî, ÷òî 1-îðìà, ïîñòðîåííàÿ ïî îïðåäåë¼ííîé ñâÿçíîñòè ñîâïàäàëà ñèñõîäíîé. 6.Ñïèñîê âîïðîñîâ ê ýêçàìåíó1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
