Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Êîíñòðóêöèÿ êëàññèèöèðóþùåãî ïðîñòðàíñòâà4.38. Ïðèìåð. Êëàññèèöèðóþùåå ïðîñòðàíñòâî äëÿ óíèòàðíîé ãðóïïû (áåñêîíå÷íîìåðíûé êîìïëåêñíûé ãðàññìàíèàí).àññìîòðèì îòîáðàæåíèå pn+1 : Un+1 → S 2n+1 , îïðåäåëÿþùååñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè A =(aij ) ∈ Un+1 , òî îáðàçîì ìàòðèöû A ïðè îòîáðàæåíèè pn+1 ÿâëÿåòñÿ âåêòîð (a1,n+1 , . . . , an+1,n+1 ),êîòîðûé, î÷åâèäíî, ëåæèò â S 2n+1 .pn+14.39. Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü, ÷òî Un+1 −→ S 2n+1 ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì Un -ðàññëîåíèåì.Óêàçàíèå. Çàìåòèòü,÷òî èìååòñÿ âëîæåíèå i : Un → Un+1 , êîòîðîå ìàòðèöå A ∈ Un ñîïîñòàâ0ëÿåò ìàòðèöó A∈Un+1 . Çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì àêòîì.014.40.
Óïðàæíåíèå. Åñëè H çàìêíóòàÿ ïîäãðóïïà Ëè ãðóïïû Ëè G, òî åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿG → G/H ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì H -ðàññëîåíèåì.4.41. Óïðàæíåíèå. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè k < m âûïîëíåíî πk (S m ) = 0.Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ àïïðîêñèìàöèåé íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé ãëàäêèìè è ïðèìåíèòüòåîðåìó Ñàðäà. Ìîæíî äîêàçàòü ýòî èíà÷å, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.4.42. Óòâåðæäåíèå. Ïðè k < m âñÿêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : S k → S n íåïðåðûâíîïðîäîëæàåòñÿ äî îòîáðàæåíèÿ f˜ : Dk+1 → S n .Áåç äîêàçàòåëüñòâà.4.43.
Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü, ÷òî π1 (Un ) = Z, π2 (Un ) = 0 ïðè n > 1, π3 (Un ) = Z ïðè n > 2.Äëÿ ðàññëîåíèÿ (Un+1 , S 2n+1 , Un , p) ïîñòðîèì òî÷íóþ ãîìîòîïè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïîóïðàæíåíèþ 4.41, êóñîê ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:i∗0 −→ πk (Un ) −→πk (Un+1 ) −→ 0.Ââèäó òî÷íîñòè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòîáðàæåíèå, i∗ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì.Cîïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî n-ìåðíûõ ëèíåéíûõ ïîäïðîÌíîãîîáðàçèå ðàññìàíà Grn+N,nn+NCñòðàíñòâ â C. Ìíîãîîáðàçèå Øòèåëÿ Vn+N,n ýòî ìíîæåñòâî îðòîíîðìèðîâàííûõ ñèñòåìn+NCCèç n âåêòîðîâ â C.
Èìååòñÿ êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå γ : Vn+N,n→ Grn+N,n, êîòîðîå âñÿêîìóCíàáîðó âåêòîðîâ èç Vn+N,n ñîïîñòàâëÿåò ïëîñêîñòü, íà íåãî íàòÿíóòóþ.γCC4.44. Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî Vn+N,n→ Grn+N,nÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì Un -ðàññëîåíèåì.Óêàçàíèå. àññìîòðèì âëîæåíèÿ i↑n : Un → Un+N è i↓N : UN → Un+N , çàäàííûå ïî ñëåäóþùåìó010ïðàâèëó: åñëè A ∈ Un (A ∈ UN ), òî îáðàç A ïðè äàííîì âëîæåíèè åñòü A0 1 ∈ Un+N ( 0 A ∈ Un+N ).Òîãäà ìîæíî îáðàçîâàòü àêòîðïðîñòðàíñòâà Un+N /Un è Un+N /(Un × UN ). Ïåðâîå èç íèõ ìíîãîîáðàçèå Øòèåëÿ, à âòîðîå ìíîãîîáðàçèå ðàññìàíà.àññìîòðèì âëîæåíèÿ23UN↑↑↑ii↑NNUn+1↓↓↓ii↓NN+1+1↓↓↓ii↓NNUn+N↑↑↑ii↑n+Nn+NUn+N +1îïðåäåë¼ííûå â óêàçàíèè ê ïðåäûäóùåìó óïðàæíåíèþ.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî i↓N +1 i↑N = i↑n+N i↓N . Ïîýòîìó èìååòñÿ èíäóöèðîâàííîå îòîáðàæåíèå Un+N /UN → Un+N +1 /UN +1 . Îòñþäà, ïîëó÷àåòñÿöåïî÷êà âëîæåíèé:CC. . . −→ Vn+N,n−→ Vn+N+1,n −→ . . .Àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ öåïî÷êà âëîæåíèéCC. . . −→ Grn+N,n−→ Grn+N+1,n −→ . . .Ó÷èòûâàÿ êàíîíè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ γ , èç ýòèõ öåïî÷åê ìîæíî ñäåëàòü êîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó:CVn+N,n↓C−→ Grn+N,n−→CVn+N+1,n↓C−→ Grn+N+1,n−→−→−→CCCCÏîëîæèì V∞,n=−limlim→ Vn+N,n è Gr∞,n = −→ Grn+N,n .CÏîêàæåì, ÷òî Gr∞,n êëàññèèöèðóþùåå ïðîñòðàíñòâî äëÿ Un . Äëÿ ýòîãî íàäî óñòàíîâèòüC) = 0 äëÿ âñåõ k .
àññìîòðèì òî÷íóþ ãîìîòîïè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñðàâåíñòâî πk (V∞,nCñëîåíèÿ (Un+N , Vn+N,n, UN , p). Âûäåëèì èç íå¼ ñëåäóþùèé êóñîê:p∗iδi∗∗∗Cπk (UN ) −→πk (Un+N ) −→ πk (Vn+N,n) −→πk−1 (Un ) −→πk−1 (Un+N ).Ïðè k < 2N , êàê ìû âûÿñíèëè ðàíüøå, îòîáðàæåíèÿ i∗ ÿâëÿþòñÿ èçîìîðèçìàìè. Âîñïîëüçóåìñÿòî÷íîñòüþ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èç òîãî, ÷òî im i∗ = πk (Un+N ), ñëåäóåò ker p∗ = πk (Un+N ),à çíà÷èò im p∗ = 0, è ker δ∗ = 0. Íî ker i∗ = 0, îòêóäà im δ∗ = 0.
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òîCπk (Vn+N,n) = 0.Èòàê, â öåïî÷êå âëîæåíèéCCCV∞,n⊃ · · · ⊃ Vn+N,n⊃ · · · ⊃ Vn+1,nCÍà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî N äëÿ âñåõ i ∈ N âûïîëíåíî πk (Vn+N+i,n ) = 0. àññìîòðèì îòîáðàæåíèåkCkCf : S → V∞,n . Ïîñêîëüêó S êîìïàêò, òî íàéä¼òñÿ i ∈ N, äëÿ êîòîðîãî f (S k ) ⊂ Vn+N+i,n , àCCçíà÷èò f ìîæíî ïðîãîìîòîïèðîâàòü â òî÷êó äàæå âíóòðè Vn+N +i,n ⊂ V∞,n .R4.45.
Çàìå÷àíèå. Êëàññèèöèðóþùåå ïðîñòðàíñòâî äëÿ On ýòî Gr∞,n, äëÿ SOn ìíîæåñòâîn-ìåðíûõ îðèåíòèðîâàííûõ ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â Cn+N .5.Âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿÂåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ ëåæàò â êëàññå òåõ ëîêàëüíî òðèâèàëüíûõ ðàññëîåíèé, ó êîòîðûõ ñëîéãîìåîìîðåí íåêîòîðîìó âåêòîðíîìó ïðîñòðàíñòâó. Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó â îáúåêòå ïîÿâèëàñü äîïîëíèòåëüíàÿ ñòðóêòóðà, òî åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû îáúåêò ýòó ñòðóêòóðó óâàæàë.
Äëÿîïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿ ìû îïèøåì äâà ïîäõîäà.5.1. Àññîöèèðîâàííîå ðàññëîåíèåÏóñòü (E, G, B, p) ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, è F ëåâîå G-ïðîñòðàíñòâî. ÏîëîæèìE ×G F := E × F/(e·g,f )∼(e,g·f )è çàäàäèì îòîáðàæåíèå pF : E ×G F → B ïî ïðàâèëó pF : (e, f ) 7→ p(e). Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿîòîáðàæåíèÿ pF ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ:pF (e · g, f ) = p(e · g) = p(e) = pF (e, g · f ).24Ïðîâåðèì, ÷òî pF : E ×G F → B ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàñG. Ïóñòü {Uα } òðèñëîåíèå ñî ñëîåì F è ñòðóêòóðíîé ãðóïïîéâèàëèçóþùèé àòëàñ äëÿ (E, G, B, p) è ϕα : Uα × G → p−1 (Uα ) ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòíûå óíêöèè.7 Äëÿ êëàññà (b, g), f ∈(Uα ×G)×F ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðåäñòàâèòåëü âèäà (b, e), f .Ïîýòîìó èìååòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèåE(e,f))(e,f−1−11,g·f )−1(e·g−(e·g,g·f )ϕα ×G idF : Uα × F → (Uα × G) ×G F = p−1F (Uα ) ⊂ E ×G F.FÈç îïðåäåëåíèé äåéñòâèÿ è àêòîðòîïîëîãèè ëåãêî âûâåñòè, ÷òîϕα ×G idF ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðèçìîì.Ïóñòü òåïåðü F ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïîé G, ðàññìàòBðèâàåìîé êàê ëåâîå G-ïðîñòðàíñòâî.
Ïî óíêöèÿì ñêëåéêè ϕβα :(Uα ∩ Uβ ) × G äëÿ ðàññëîåíèÿ (E, G, B, p) êîððåêòíî îïðåäåëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿϕβα ×G idF : (Uα ∩ Uβ ) × G ×G Fïî îðìóëåh iϕβα ×G idF : (x, e), f 7→ x, ϕβα (x) , f îíè ÿâëÿþòñÿ óíêöèÿìè ñêëåéêè ðàññëîåíèÿ (E ×G F, G, B, pF ).Åñëè F ïîëå, G ïîäãðóïïà ãðóïïû GLn (F) è (E, G, B, p) ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, òî ðàññëîåíèå (E ×G Fn , Fn , B, pFn ) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì. Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî âåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà íàä ïîëÿìè R èëè C.5.2. Âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿÅñëè V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, òî ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå (E, V, B, p) íàçûâàåòñÿâåêòîðíûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé òðèâèàëèçóþùèé àòëàñ {Uα } íà B è êîîðäèíàòíûå óíêöèèϕα óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùåìó óñëîâèþ.
Åñëè v1 , v2 ∈ V , x ∈ Uα è ϕα (x, vi ) = wi ∈ p−1 x, òîϕα (x, v1 + v2 ) = w1 + w2 è ϕα (x, λv1 ) = λw1 .Èçó÷èì óñòðîéñòâî óíêöèé ñêëååê. Ïóñòü (e1 , . . . , en ) áàçèñ â V è w = wk ek . Òîãäàki kϕβα (x, w) = ϕβα (x, wk ek ) = ϕ−1β ϕα (x, w ek ) = x, ϕβα (x)k w ej ,îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ϕβα (x) ëèíåéíûé îïåðàòîð, ò. å. ñòðóêòóðíàÿ ãðóïïà äîëæíà áûòü ïîäãðóïïîéâ GL(V ).5.1. Ïðèìåð. Êàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå T M .
Ïóñòü {Uα } àòëàñ íà M è (x1 , . . . , xn ) ëîêàëüíûåêîîðäèíàòû â êàðòå Uα . Òîãäà ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n áàçèñ â p−1 x. Åñëè Uα è Uβ êàðòû ñ ëîêàëüíûìèêîîðäèíàòàìè (x) è (x′ ), ñîîòâåòñòâåííî, òî óíêöèè ñêëåéêè âûãëÿäÿò òàê:′ ′∂xn ′ i ∂x1 in′1n′1.v ,...,v =vϕβα : x, (v , . . .
, v ) 7→ x (x), v =∂xi∂xiëàäêîå îòîáðàæåíèå f : M → N íàçûâàåòñÿ ïîãðóæåíèåì, åñëè äëÿ âñåõ òî÷åê x ∈ M îòîáðàæåíèå dx f : Tx M → Tf (x) N ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì. Îáîçíà÷åíèå: f : M # N .5.2. Çàìå÷àíèå. Ïîãðóæåíèå ëîêàëüíî ÿâëÿåòñÿ âëîæåíèåì.5.3. Ïðèìåð. Íîðìàëüíîå ðàññëîåíèå. Ïóñòü çàäàíî ïîãðóæåíèå f : M # N , ïðè÷¼ì íà N èìååòñÿðèìàíîâà ìåòðèêà. Òîãäà äëÿ âñÿêîé òî÷êè x ∈ M ê ïîäïðîñòðàíñòâó im dx â ïðîñòðàíñòâå Tf (x) Nåñòü îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ν(f )x .5.4. Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ν(f ) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì.5.5.
Ïðèìåð. Êàíîíè÷åñêîå ëèíåéíîå (ò. å. ñëîè ïðÿìûå) ðàññëîåíèå íàä RPn (CPn ). Òî÷êèïðîñòðàíñòâà RPn çàäàþòñÿ îäíîðîäíûìè êîîðäèíàòàìè [x0 : · · · : xn ] (xi ∈ R äëÿ âñåõ i, è äîëæåíñóùåñòâîâàòü íîìåð i, äëÿ êîòîðîãî xi 6= 0). Àòëàñ íà RPn ñîñòîèò èç êàðòUk = [x0 , . . . , xn ] : xk 6= 0 ;7 Çäåñü è äàëåå ëåêòîð ïîìåíÿë ìåñòàìè, ïî îòíîøåíèþ ê ïðåäûäóùåìó èçëîæåíèþ, äîìåí è êîäîìåí ñòðåëîê ϕ ,αà ìû äëÿ åäèíîîáðàçíîñòè ýòîãî äåëàòü íå áóäåì.25òðèâèàëèçàöèÿ äëÿ Uk :[x0 , . . .
, xn ] 7→x0xk,...,xckxn ,...,.xkxkÑëîé êàíîíè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ γn íàä òî÷êîé x = [x0 , . . . , xn ] îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðÿìàÿ, íàòÿíóòàÿ íà âåêòîð (x0 , . . . , xn ). Òðèâèàëèçàöèÿ êàíîíè÷åñêîãî ðàññëîåíèÿ òàêæå {Ui }, ïðè÷¼ìxckxn x0,λ : λ ∈ R ,p−1 (Uk ) =,..., ,...,xkxkxkãäå λ çàäà¼ò âåêòîð íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé â íàïðàâëåíèè âåêòîðà xxk1 , . . . , 1, . . . , xxnk . Ôóíêöèÿñêëåéêè ϕ10 : (y1 , . . .
, yn , λ) 7→ (z1 , . . . , zn , µ) îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèz1 =ky2yn1, z2 = , . . . , zn =, µ = λy1 .y1y1y1Ìîðèçì âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ýòî ìîðèçì èõ êàê G-ðàññëîåíèé, îãðàíè÷åíèå êîòîðîãî íàêàæäûé ñëîé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì.5.6. Òåîðåìà.
Ïóñòü (E ′ , B, p′ ) è (E ′′ , B, p′′ ) âåêòîðíûå ðàññëîåíèÿ è f : E ′ → E ′′ íåïðåðûâíûéïîñëîéíûé èçîìîðèçì. Òîãäà ðàññëîåíèÿ E ′ è E ′′ ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå f −1 íåïðåðûâíî. Âûáåðåì îáùèé òðèâèàëèçóþùèé àòëàñ äëÿ E ′ è E ′′ . Ïóñòü U êàðòà ýòîãî àòëàñà; äîêàæåì íåïðåðûâíîñòü îãðàíè÷åíèÿíà U îòîáðàæåíèÿ f −1 . àññìîòðèì äåéñòâèå êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé ϕ′′ −1 f ϕ′ : U × Rn → U × Rn .−1ϕ′′ f ϕ′ : x, (λ1 , .
. . , λn ) 7→ x, a1k (x)λk , . . . , ank (x)λk ,ãäå aij (x) ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Åñëè bji (x) ìàòðèöà îáðàòíîãî ê−1aij (x) îïåðàòîðà, òî îòîáðàæåíèå ξ = ϕ′ f −1 ϕ′′ äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó ξ : (x, v) 7→ x, b(x)v . ÍîîòîáðàæåíèåAji (x)bij (x) =det ||aji ||ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü aji íå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òîãäà îòîáðàæåíèå f −1 =−1ϕ′ ξϕ′′ íåïðåðûâíî êàê êîìïîçèöèÿ íåïðåðûâíûõ. 5.3. Ñå÷åíèÿ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèéÏóñòü (E, B, p) ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå.
Ñå÷åíèåì s ðàññëîåíèÿ (E, B, p) íàçûâàåòñÿ òàêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå s : B → E , ÷òî ps = idB . Ñå÷åíèå âåêòîðíîãî ðàññëîåíèÿíàçûâàåòñÿ íåíóëåâûì, åñëè äëÿ ëþáûõ x ∈ B âûïîëíåíî 0 6= s(x) ∈ p−1 (x).5.7. Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíåéíîå ðàññëîåíèå äîïóñêàåò íåíóëåâîå ñå÷åíèå, òî îíî òðèâèàëüíî.Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü îòîáðàæåíèå ψ : B × R → E , çàäàííîå ïî ïðàâèëó ψ(x, λ) = λs(x). Îíîÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç òåîðåìû 5.6.5.8. Óïðàæíåíèå.
Äîêàçàòü, ÷òî ðàññëîåíèå γnR ïðè n > 2 íå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì.8 Ïðîâåðèòü,òðèâèàëüíî ëè γ1C .5.9. Çàìå÷àíèå. Åñëè n-ìåðíîå âåêòîðíîå ðàññëîåíèå äîïóñêàåò n íåíóëåâûõ ñå÷åíèé, ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ â êàæäîé òî÷êå, òî îíî òðèâèàëüíî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü îòîáðàæåíèå ψ : B×Rn →E , çàäàííîå ïðàâèëîì ψ(x, λ1 , . . . , λn ) = λ1 s1 (x) + · · · + λn sn (x) è ïðèìåíèòü òåîðåìó 5.6.5.4. Îïåðàöèè íàä âåêòîðíûìè ðàññëîåíèÿìèÏóñòü çàäàíû ðàññëîåíèÿ p1 : E1 → B1 è p2 : E2 → B2 . Òîãäà åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåòðàññëîåíèå p1 ×p2 : E1 ×E2 → B1 ×B2 , íàçûâàåìîå ïðîèçâåäåíèåì äàííûõ ðàññëîåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
