Ф.Ю. Попеленский - Лекции (1124128), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ïóñòü f1 è f2 íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ êîìïàêòà B ′ â ïðîñòðàíñòâî B . Åñëè f1 è f2 ãîìîòîïíû, òî ðàññëîåíèÿf1∗ E è f2∗ E ýêâèâàëåíòíû. 4.3. Êëàññèèêàöèÿ ãëàâíûõ G-ðàññëîåíèéàññìîòðèì âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ B0 ⊂ B1 ⊂ B2 ⊂SB3 ⊂ . . . . Íà ìíîæåñòâå −limB=ðàññìàòðèâàåòñÿòîïîëîãèÿ ïðÿìîãî ïðåäåëà: ïîäìíîæåñòâîBi→ ii∈ωÏî÷åìó òàêàÿ ñóùåñòâóåò?Ïî÷åìó åñëè äëÿ âñåõ i âûïîëíåíî gi gi′ ∈ O, òî gn . .
. g1 g1′ . . . gn′ ∈ On ? Ýòî òàê, åñëè, íàïðèìåð, Oi èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ñîïðÿæåíèé íî òàêàÿîêðåñòíîñòü, âðîäå êàê, íå âñåãäà ñóùåñòâóåò. Èìåÿ òàêîå óñëîâèå,k ýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ O k−1 ϕ−1 (x, ε )ϕ (x, ε ) ⊂ O k , à ýëåìåíòûâêëþ÷åíèå ϕij (x, ε1 )Ok−1 ϕ−121ijij (x, ε2 ) ⊂ Oijϕ−1ij (x, ε1 )ϕij (x, ε2 ) ëåæàò â O , åñëè å¼ ñ÷èòàòü ñèììåòðè÷íîé, ÷òî ìîæíî âñåãäà.4520èç lim−→ Bi ñ÷èòàåòñÿ îòêðûòûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îòêðûòî åãî ïåðåñå÷åíèå ñ ëþáûì Bi (âòîïîëîãèè Bi ).Åñëè M çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî X è f : M → Y íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, òî ïðîñòðàíñòâîX ∪f Y ïîëó÷åííîå ïðèêëåèâàíèåì X ê Y ïî îòîáðàæåíèþ f àêòîðïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâàX ⊔ Y ïî îòíîøåíèþ x ∼ f (x).àññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ.
Ïóñòü B0 êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Ïðîñòðàíñòâî Bn ïîëó÷àåòñÿ èç Bn−1 ïðèêëåèâàíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà êëåòîê. Ôîðìàëüíî ïðèêëåèâàíèå êëåòêè îçíà÷àåò,÷òî èìååòñÿ íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå γ : S n−1 → Bn−1 , è äèñê Dn ïðèêëåèâàåòñÿ ê Bn−1 ïîlimîòîáðàæåíèþ γ (ó÷èòûâàåòñÿ îòîæäåñòâëåíèå S n−1 = ∂Dn ). Ïðîñòðàíñòâî −→ Bi áóäåì íàçûâàòüêëåòî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì. Ó íàñ áóäóò âñòðå÷àòüñÿ êëåòî÷íûå ïðîñòðàíñòâà, ó êîòîðûõ êëåòîêêàæäîé ðàçìåðíîñòè êîíå÷íîå ÷èñëî. Òàêèå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ êëåòî÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìè êîíå÷íîãî òèïà.4.21.
Óòâåðæäåíèå. Âñÿêîå êîìïàêòíîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ êëåòî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì êîíå÷íîãî òèïà.Áåç äîêàçàòåëüñòâà.Ñèìâîë πn (X, x) îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé (S n , pt) → (X, x) ñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìíîæåñòâî ãîìîòîïè÷åñêèõ êëàññîâ îòîáðàæåíèé(Dn , S n−1 ) → (X, x) èëè (In , ∂I) → (X, x). Î÷åâèäíî ñëåäóþùåå4.22. Óòâåðæäåíèå.
Ìíîæåñòâî π0 (X, x) íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ êîìïîíåíòàìè ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ïðîñòðàíñòâà X . Ïóñòü ïðè i ∈ 2 è n > 1 äàíû îòîáðàæåíèÿ fi : (Sin , pt) → (X, x).f0ξÍàøà çàäà÷à ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèå f0 ◦ f1 : (S n , pt) → (X, x), ÷òîáûXf1ñîîòâåòñòâèå (f0 , f1 ) 7→ f0 ◦ f1 áûëî ãðóïïîâîé îïåðàöèåé. Ïóñòü S n−1 ýêâàòîð ñåðû S n , ñîäåðæàùèé òî÷êó pt, çàèêñèðóåì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ξ èç (S n , i(S n−1 )) â (S0n , pt) ∨ (S1n , pt), ïåðåâîäÿùåå S n−1 â pt. ×òîáû ïîëó÷èòü¾êîìïîçèöèþ¿ f0 ◦ f1 , íàäî ïðèìåíèòü ê (S n , pt) îòîáðàæåíèå ξ , à çàòåì îòîáðàçèòü (S0n , pt) ⊂(S0n , pt) ∨ (S1n , pt) â ïðîñòðàíñòâî (X, x) ïî ïðàâèëó f0 , è (S1n , pt) ⊂ (S0n , pt) ∨ (S1n , pt) ïî f1 .
Áîëåå îðìàëüíî, ïóñòü èêñèðîâàíû âëîæåíèå i : (S n−1 , pt) → (S n , pt) è íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèåξ : (S n , i(S n−1 )) → (S0n , pt) ∨ (S1n , pt). Îòîáðàæåíèå f0 ◦ f1 : (S n , pt) → (X, x) çàäàííîå îðìóëîéf0 ◦ f1 = (f0 ▽f1 )ξ , î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.Äàäèì òî æå ñàìîå îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå îòîáðàæåíèé êóáîâ. Ïóñòü ïðè i ∈ 2nè n > 1 äàíû îòîáðàæåíèÿ fi : (In , ∂I ) → (X, x), à ξi íåêîòîðûå ìîíîòîííûå Xi i+1íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ èç 2 , 2 íà I.
àññìîòðèì ãèïåðïëîñêîñòü 21 ×In−1f0 îíà äåëèò êóáèê In íà äâå ïîëîâèíêè. Îòîáðàæåíèå f0 ◦ f1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê f0íà ïåðâîé ïîëîâèíêå, è êàê f1 íà âòîðîé. Ôîðìàëüíî ýòî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f0 ◦ f1 := ▽ fi ξi .f1i∈2Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò4.23. Óòâåðæäåíèå. Åñëè f0 , f0′ , f1 , f1′ ∈ πn (X, x) ïðè n > 1 òàêîâû, ÷òî f0 ∼ f0′ è f1 ∼ f1′ , òîf0 ◦ f1 ∼ f0′ ◦ f1′ . 4.24. Óòâåðæäåíèå.
Äëÿ n > 1 íà ìíîæåñòâàõ πn (X, x0 ) èìååòñÿ ñòðóêòóðà ãðóïïû îòíîñèòåëüíîïîñòðîåííîé îïåðàöèè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà, êîòîðûå íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü. Àññîöèàòèâíîñòü: äëÿëþáûõ f0 , f1 , f2 ∈ πn (X, x0 ) âûïîëíåíî f0 ◦ (f1 ◦ f2 ) ∼ (f0 ◦ f1 ) ◦ f2 . Ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû e ∈πn (X, x0 ), òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî f ∈ πn (X, x0 ) âûïîëíåíî f ◦ e ∼ f ∼ e ◦ f . Îáðàòèìîñòü ýëåìåíòîâπn (X, x0 ): äëÿ êàæäîãî f ∈ πn (X, x0 ) ñóùåñòâóåò f −1 ∈ πn (X, x0 ), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî f ◦f −1 ∼e ∼ f −1 ◦ f . Ïîêàæåì, êàê ýòè ñâîéñòâà ïîëó÷èòü ãåîìåòðè÷åñêè. Íà ïðèëàãàþùåéñÿ êàðòèíêåèçîáðàæåíû íåêîòîðûå èñêîìûå ãîìîòîïèè (äëÿ îñòàëüíûõ âñ¼ àíàëîãè÷íî), ïðè÷¼ì âåðòèêàëüíîåíàïðàâëåíèå ñîîòâåòñòâóåò ãîìîòîïèè, ãîðèçîíòàëüíîå îòîáðàæàåìîìó êóáó (In , ∂In ).f0 f1 f2fef0f1f0 (t)t4.25. Çàìå÷àíèå.
ðóïïà π1 (X, x) ìîæåò áûòü íåàáåëåâîé. Íàïðèìåð, π1 (S ∨ S ) ∼= Z Z.14.26. Óòâåðæäåíèå. Ïðè n > 2 ãðóïïà πn (X, x) àáåëåâà.211Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ èçîáðàçèì êàðòèíêó,óñòàíàâëèâàþùóþ ãîìîòîïèþ ìåæäó f ◦ g è g ◦ f .ggptptgptffptffg4.27. Ïðèìåð. Ïðîñòðàíñòâî, ó êîòîðîãî âñå ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû òðèâèàëüíû: SÎíî ñòÿãèâàåìî.∞i=−lim→S .4.28. Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóåò íå ñòÿãèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî, âñå ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû êîòîðîãîòðèâèàëüíû.64.29.
Óïðàæíåíèå. Âñÿêîå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå íàä ñòÿãèâàåìîé áàçîéòðèâèàëüíî. Âñÿêîå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå G-ðàññëîåíèå íàä ñòÿãèâàåìîé áàçîé òðèâèàëüíî.4.30. Çàìå÷àíèå. Âñÿêîå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå íàä ñòÿãèâàåìîé áàçîé òðèâèàëüíî.4.31. Òåîðåìà. Ïóñòü (EG, BG, G, pG ) ãëàâíîå G-ðàññëîåíèå, ïðè÷¼ì ó EG âñå ãîìîòîïè÷åñêèåãðóïïû òðèâèàëüíû. Ïóñòü B êëåòî÷íîå ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîãî òèïà.
Òîãäà ëþáîå G-ðàññëîåíèåíàä B ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì ðàññëîåíèÿ (EG, BG, G, pG ) äëÿ íåêîòîðîãî îòîáðàæåíèÿ f : B → BG.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (E, B, p) äàííîå ðàññëîåíèå. Ïî òåîðåìå 4.13 îíî ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîìðàññëîåíèÿ (EG, BG, G, pG ) ïðè îòîáðàæåíèè f : B → BG òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåòýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå ψ : E → EG, äëÿ êîòîðîãî pG ψ = f p.
Îòîáðàæåíèå ψ áóäåì ñòðîèòüèíäóêöèåé ïî ïðèêëåèâàíèþ êëåòêè.Ïóñòü B0 êëåòî÷íîå ïîäïðîñòðàíñòâî B , E0 = p−1 B0 , f0 = f |B0 , è íàDnE0 îïðåäåëåíî ýêâèâàðèàíòíîå îòîáðàæåíèå ψ0 , äëÿ êîòîðîãî pG ψ0 = f p.E0GÑëó÷àé B0 = E0 = ∅ ñîîòâåòñòâóåò áàçå èíäóêöèè. Ïóñòü B ïîëó÷åíînèç B0 ïðèêëåèâàíèåì ðîâíî îäíîé n-ìåðíîé êëåòêè: B = D ∪γ B0 , ãäåγ : S n−1 → B0 , à ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé êëåòêå îòîáðàæåíèå îáîçíà÷èìi : Dn → B . Ïðîäîëæèì îòîáðàæåíèå ψ0 äî ψ : E → EG. Ïîñêîëüêó ψ0ïîñòðîåíî íà E0 , òî â ÷àñòíîñòè, îíî îïðåäåëåíî íà p−1 γS n−1 ⊂ E0 .
Îãðàíè÷åíèå ðàññëîåíèÿ p íà Dn (i∗ E ) òðèâèàëüíî ïî óïðàæíåíèþ 4.29. ÇíàB0Dn÷èò ïî îòîáðàæåíèþ γ åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåS n−1 × G → E , ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü èíäóöèðîâàííîå ñ E0 îòîáðàæåíèå ψ0′ : S n−1 × G → EG, äëÿ êîòîðîãî ψ0′ (s, gg1 ) = ψ0 γ(s), g · g1 . àññìîòðèì îòîáðàæåíèåψ0′ (·, e) : S n−1 → EG.
Ò. ê. ãîìîòîïè÷åñêèå ãðóïïû ïðîñòðàíñòâà EG òðèâèàëüíû, òî ñóùåñòâóåòîòîáðàæåíèå ψ̂ : Dn → EG, ïðîäîëæàþùåå ψ0′ : äëÿ x ∈ ∂Dn = S n−1 ïîëîæèì ψ̂(x) = ψ0′ (x, e). Îñòàëîñü ïðîäîëæèòü ψ0 äî ýêâèâàðèàíòíîãî îòîáðàæåíèÿ ψ : i∗ E → EG. Ýòî äåëàåòñÿ ïî îðìóëåψ(x, g) = ψ̂(x) · g . 4.32. Ñëåäñòâèå. Ïóñòü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé òåîðåìû B êîìïàêò, G ãðóïïà Ëè, è çàäàíûîòîáðàæåíèÿ f1 , f2 : B → BG. Òîãäà ðàññëîåíèÿ f1∗ (EG) è f2∗ (EG) ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îòîáðàæåíèÿ f1 è f2 ãîìîòîïíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ïðèìåí¼ííîé ê áàçå B × I è òåîðåìû 4.18. 4.33.
Çàìå÷àíèå. Ïîñëåäíåå ñëåäñòâèå îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ãëàâíûõG-ðàññëîåíèé íàä B íàõîäèòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ãîìîòîïè÷åñêèìè êëàññàìèîòîáðàæåíèé [B, BG].4.34. Çàìå÷àíèå. àññëîåíèå (EG, BG, G, p) íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì, à BG êëàññèèöèðó-þùåå ïðîñòðàíñòâî.4.35. Ñëåäñòâèå. Êëàññèèöèðóþùèå ïðîñòðàíñòâà, ÿâëÿþùèåñÿ êëåòî÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìèêîíå÷íîãî òèïà, ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü (EG1 , BG1 , G, p1 ) è (EG2 , BG2 , G, p2 ) äâà óíèâåðñàëüíûõ ðàññëîåíèÿ.Ïî òåîðåìå 4.31 åñòü òàêèå îòîáðàæåíèÿ f : BG1 → BG2 è g : BG2 → BG1 , ÷òî f ∗ (EG2 ) = EG1 èg ∗ (EG1 ) = EG2 . Òîãäà (gf )∗ EG1 = f ∗ g ∗ (EG1 ) = f ∗ (EG2 ) = idEG1 , è àíàëîãè÷íî (f g)∗ = id, ÷òî èòðåáóåòñÿ. 6Âðîäå, äëèííàÿ ïðÿìàÿ ïîäõîäèò. ..224.4. Òî÷íàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàññëîåíèÿ4.36.
Òåîðåìà. Åñëè (E, B, F, p) ëîêàëüíî òðèâèàëüíûå ðàññëîåíèÿ, à òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàí-ñòâî B ¾õîðîøåå¿, òî ãîìîòîïè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàññëîåíèÿ òî÷íà.π k+1 (F )π k+1 (E)π k+1 (B)π k (F )π k (E)π k (B)...................π 0 (F )π 0 (E)π 0 (B)0Áåç äîêàçàòåëüñòâà.4.37. Çàìå÷àíèå. Ïîä ¾õîðîøèì¿ ðàññëîåíèåì â îðìóëèðîâêå òåîðåìû ïîíèìàåòñÿ ðàññëîåíèå â ñìûñëå Ñåððà. Ñóùåñòâóþò òàêèå ëîêàëüíî òðèâèàëüíûå ðàññëîåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ ïîñëåäíÿÿòåîðåìà íå âåðíà. Äëÿ íàñ ýòî íå âàæíî, èáî âñÿêîå ëîêàëüíî òðèâèàëüíîå ðàññëîåíèå íàä ïàðàêîìïàêòîì ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì â ñìûñëå óðåâè÷à (à çíà÷èò, è ðàññëîåíèåì â ñìûñëå Ñåððà), èñòàëî áûòü, òî÷íàÿ ãîìîòîïè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàññëîåíèÿ èìååò ìåñòî.4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
