С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 7
Текст из файла (страница 7)
каждая область находится в пределах координатной окрестности), и определении интеграла по многообразию как суммы интегралов по частям разбиения. Однако, такойподход встречает некоторые трудности. Так, существование разбиения многообразия на куски относительно простой формы является не очень простым утверждением. Даже если существование таких разбиений доказано,для сравнения двух разбиений следует рассмотреть пересечения кусков из двух разбиений, которые могут бытьустроены довольно сложно. Можно, конечно, рассматривать разбиения на измеримые (в смысле Лебега) множества.
Это позволяет обойти технические трудности. Однако, привлечение интеграла Лебега для определенияинтеграла гладкой дифференциальной формы по гладкому многообразию выглядит не вполне разумным (какпопытка «перекачать» мелкие трудности в область относительно сложной (хотя и известной) теории). Вместотого, чтобы разбивать многообразие, можно «разбивать» интегрируемую n–форму, т.е. представить ее в видесуммы дифференциальных n–форм, каждая из которых отлична от нуля только в области, находящейся в пределах одной координатной окрестности.
Для реализации такого подхода требуется понятие разбиения единицы,которое мы и опишем. Помимо использования для определения интеграла по многообразию и доказательстваего свойств, разбиения единицы необходимы для доказательства ряда утверждений о гладких многообразиях,таких, как существование продолжений тензорных (например, векторных) полей, существование римановыхметрик, теорема о вложимости гладкого многообразия в аффинное пространство, . . .Начнем с самого короткого.Определение.
Ориентирующим атласом на (гладком) многообразии M n называется такой атлас {(Uα , Ψα )},для которого все отображения замен координат Ψα ◦ Ψ−1α′ имеют положительные якобианы.Определение. Ориентирующие атласы {(Uα , Ψα )} и {(Uβ′ , Ψ′β )} эквивалентны, если объединение этих атласов также является ориентирующим атласом.Определение. Говорят, что гладкое многообразие M n ориентируемо, если на нем существует ориентирующий атлас.Определение. Ориентацией гладкого многообразия называется выбор ориентирующего атласа (или классаэквивалентных ориентирующих атласов) на нем.
Многообразие с его ориентацией называется ориентированным.Замечание. Если ориентируемое (!) многообразие M n линейно связно (т.е. для любой пары точек x0 иx1 существует (непрерывное) отображение γ : I −→ M n отрезка I = [0, 1] в многообразие M n , для которогоγ(0) = x0 , γ(1) = x1 ), то на нем существует ровно две различные ориентации. (Неориентируемое многообразиене имеет ни одной ориентации.)На ориентированном многообразии M n про любой репер на нем (набор из n линейно независимых касательных векторов в одной точке многообразия M n ) можно говорить о его ориентации (положительной илиотрицательной). Ориентацию многообразия можно определять и в терминах ориентаций касательных реперов.3.2.
Многообразия с краем.Простейшим (и характерным) примером гладкого n–мерного многообразия является стандартное (координатное) аффинное пространство Rn . Простейшим и характерным примером n–мерного многообразия с краемявляется полупространство Rn− = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 6 0}.Замечание.
Тот факт, что при определении полупространства мы выделили первую координату (x1 ) в пространстве Rn и написали неравенство x1 6 0 (а, скажем, не x1 > 0) выглядит чистой случайностью. В действительности, это сделано совершенно сознательно. В дальнейшем это сделает (более) естественным определениеориентации края ориентированного многообразия, при котором в формуле Стокса не будет знака, зависящегоот размерности.Гладкое многообразие (без края) — это то, что локально изоморфно аффинному пространству Rn . Послетого, как определено «характерное» многообразие с краем, общее определение можно (несколько упрощенно)сформулировать следующим образом: гладкое многообразие с краем — это то, что локально изоморфно пространству Rn или полупространству Rn− .
С учетом этого замечания определение (гладкого) многообразия скраем практически дословно повторяет определение гладкого многообразия (без края); см. лекцию 3. Сделаемлишь некоторые комментарии.Во-первых, должно быть несколько модифицировано определение карты:Определение′ . Картой (k-мерной) (U, Ψ) на топологическом пространстве X называется гомеоморфизм(т.е. взаимно–однозначное, взаимно–непрерывное отображение) Ψ : U −→ V открытого множества U ⊂ X наоткрытое множество V пространства Rk или полупространства Rk− .Для того, чтобы все последующие определения имели смысл, нужно только сформулировать, что означаnет гладкость отображения открытого множества W полупространства R−в аффинное пространство Rm (длясамого определения гладкого многообразия с краем достаточно случая m = n).
Отображение Ψ : W −→ Rmзадается набором из m функций ψ1 , . . . , ψm : Ψ(x) = (ψ1 (x), . . . , ψm (x)) (x ∈ W ). Отображение Ψ гладко тогда17и только тогда, когда гладки все функции ψi (x), i = 1, . . . , m. Поэтому достаточно дать определение гладкостифункции f : W −→ R. Дадим (честно говоря, излишне общее для наших целей) определение гладкости функцииf :X −→ R на произвольном подмножестве X ⊂ Rn . Гладкость функции — понятие локальное. В частности,можно говорить о гладкости функции в данной точке. Поэтому мы дадим локальное определение.Определение.
Говорят, что функция f : X −→ R, определенная на подмножестве X ⊂ Rn , гладкая, еслидля любой точки x ∈ X существует окрестность U точки x в пространстве Rn и гладкая функция F : U −→ R,ограничение которой на X ∩ U совпадает с f : F|X∩U = f|X∩U .Задача 3.1. Пусть f — гладкая функция на полупространстве Rn− . Доказать, что она является ограничениемна Rn− некоторой гладкой функции, определенной на всем пространстве Rn .Задача 3.2 (∗ ). Сформулировать и доказать аналог утверждения предыдущей задачи для гладкой функцииf на открытом подмножестве V полупространства Rn− .Задача 3.3 (∗ ).
Доказать, что для гладкой (в смысле сформулированного определения) функции на открытом подмножестве V полупространства Rn− в точках границы ∂Rn− корректно определены все ее частныепроизводные всех порядков.После указанных замечаний определение формулируется точно так же, как и раньше: гладким многообразием с краем называется топологическое пространство M k вместе с классом эквивалентных атласов на нём.Задача 3.4 (∗∗ ). Что произойдет, если в определении гладкого многообразия с краем вместо (замкнутого)полупространства Rn− мы возьмем открытое полупространство Rn− ′ = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 < 0}?Определение.
Говорят, что точка x ∈ M n гладкого многообразия M n с краем принадлежит краю (многообразия M n ), если в некоторой карте (U, Ψ) (из атласа, определяющего гладкую структуру на M k ; x ∈ U ), вкоторой Ψ : U −→ V ⊂ Rn− , Ψ(x) ∈ ∂Rn− = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 = 0}.Задача 3.5. Доказать, что если в одной карте (U, Ψ), Ψ : U −→ V ⊂ Rn− , образ Ψ(x) точки x принадлежитnnгранице ∂R− полупространства R− , то то же самое имеет место в любой карте.Указание.
Это утверждение может быть выведено, например, из теоремы об обратном отображении.Множество ∂M n точек многообразия M n , принадлежащих его краю, естественно, называется краем многообразия M n . Нетрудно видеть, что край ∂M n n–мерного многообразия M n с краем само является гладкиммногообразием размерности n − 1 без края.
Нетрудно описать атлас на краю ∂M n , задающий на нем структуругладкого многообразия. Пусть {(Uα , Ψα )} — атлас на многообразии M n (задающий на нем гладкую структуру).Атласом на краю ∂M n является семейство карт {(Uα′ , Ψ′α )} с Uα′ = Uα ∩ ∂M n , Ψ′α = h ◦ Ψα|Uα′ , где h — естественный изоморфизм границы (края) ∂Rn− полупространства Rn− со стандартным (n − 1)–мерным аффиннымпространством Rn−1 : h(0, x2 , .
. . , xn ) = (x2 , . . . , xn ). Более того, имеет место следующий факт:Утверждение 3.1. Если многообразие M n с краем ориентировано, то его край ∂M n ориентируем и на немможет быть определена каноническая ориентация. Правильнее было бы сказать, что это описание ориентации края ∂M n , а не только само доказательство.Пусть {(Uα , Ψα )} — ориентирующий атлас на многообразии M n . В точках y ∈ ∂Rn− матрица дифференциала1n(матрица Якоби) отображения Ψα ◦ Ψ−1x1 , . .
. , xen ) имеет видβ : (x , . . . , x ) 7→ (e ∂ex10 ... 0∂x12 ∂ex ∂x1, .. .∗где∗=∂exi∂xj∂exn∂x1∂ex1i=2,...,n , ∂x1j=2,...,n> 0 (поскольку при отрицательных значениях x1 координата xe1 тоже отрицательна).Так как определитель (полной) матрицы Якоби положителен (поскольку рассматриваемый атлас — ориентирующий), то det∂exi∂xji=2,...,nj=2,...,n> 0 и, следовательно, описанный выше атлас {(Uα′ , Ψ′α )} является ориентирующимдля края ∂M n многообразия M n . Приведенное описание может быть переформулировано следующим образом.
Пусть v0 — вектор в касательном пространстве к многообразию M n в точке x, принадлежащей краю ∂M n и направленный наружу.Последнее означает, что в локальных координатах (со значениями в полупространстве Rn− ) производная v0 x1координаты x1 по направлению вектора v0 положительна. (Иногда говорят, что v0 — внешняя нормаль к краю∂M n многообразия M n . Строго говоря, это имеет смысл только если на многообразии M n задана римановаметрика. Впрочем, от ее выбора определение ориентации (см.
ниже) не зависит.) Тогда репер v1 , . . . , vn−1 накраю ∂M n положительно ориентирован тогда и только тогда, когда репер v0 , v1 , . . . , vn−1 на многообразии M nположительно ориентирован.18Задача 3.6 (∗ ). Доказать, что любое гладкое (n − 1)–мерное подмногообразие n–мерного аффинного пространства Rn ориентируемо.Задача 3.7 (∗ ). Верно ли, что любое гладкое (n−1)–мерное подмногообразие области n–мерного аффинногопространства Rn ориентируемо?Задача 3.8. Верно ли, что любое гладкое (n − 1)–мерное подмногообразие M n−1 замкнутого (т.е.
— компактного без края) n–мерного многообразия ориентируемо?Задача 3.9. Доказать, что пространства T M n и T ∗ M n касательного и кокасательного расслоений над (любым) многообразием M n ориентируемы. Доказать, что пространство ∧n T M n расслоения n–форм над многообразием M n ориентируемо. Верно ли, что пространство T k,ℓ M n расслоения тензоров типа (k, ℓ) над многообразиемM n ориентируемо?Задача 3.10.
Какие из следующих многообразий ориентируемы? a) S n ; b) RPn ; c) CPn ; d) SO(n); e) многообразие единичных касательных векторов на проективном пространстве RPn (пространство RPn являетсяфактором стандартной сферы S n по антиподальной инволюции, вектор, касательные к RPn единичен, еслиединичен соответствующий касательный вектор к сфере S n ); f) многообразие аффинных прямых на плоскостиR2 .3.3.
Разбиение единицыКак уже говорилось, в настоящий момент понятие разбиения единицы требуется нам для того, чтобы определить интеграл n–формы по компактному ориентированному n–мерному многообразию. (Можно не предполагать, что многообразие компактно, но в этом случае надо требовать, чтобы интегрируемая по нему форма имелакомпактный носитель. Иначе возникают проблемы со сходимостью интеграла.) Поскольку помимо частной задачи, решаемой нами в данный момент, (определение интеграла формы) разбиение единицы имеет множествоважных приложений, мы докажем его существование в форме, более сильной, чем нам необходимо: для произвольных (не обязательно компактных многообразий).nS Пусть Mn — гладкое многообразие (с краем или без), {Uα } — его покрытие открытыми множествами Uα :α Uα = M .Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
