С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Так, образ невырожденного отображения t 7→ (t2 , t3 − t) прямой R1в плоскость R2 подмногообразием плоскости не является. Однако, локально образ такого отображения подмногообразием является; см. теорему об образе ниже. Наоборот, подмногообразие (некоторой области в Rn ),вообще говоря, не является образом невырожденного отображения. Однако, локально это тоже имеет место,что вытекает из теоремы о неявных функциях (или о неявной функции), известной из анализа.Теорема 1.1 (О неявных функциях). Пустьf1 , . . .
, fn−k определены в окрестности точки функции∂fia ∈ Rn (a = (a1 , . . . , an )) и определитель матрицы ∂xj (a) , i = 1, . . . , n − k, j = k + 1, . . . , n, отличен от нуля.Тогда в некоторой окрестности точки a система уравненийf1 = 0, . . . , fn−k = 0(∗)однозначно определяет координаты xk+1 , .
. . , xn как функции от координат x1 , . . . , xk , т.е. в некоторой окрестности точки â = (a1 , . . . , ak ) ∈ Rk существуют такие (бесконечно дифференцируемые) функции ϕi (x1 , . . . , xk ),i = k + 1, . . . , n, что в некоторой окрестности точки a система уравнений (∗) эквивалентна равенствам xk+1 =ϕk+1 (x1 , . .
. , xk ), . . . , xn = ϕn (x1 , . . . , xk ).Задача 1.2. Для n = 3, k = 1 выразить производные функций ϕ2 и ϕ3 в точке a через производные функцийf1 и f2 .Задача 1.3 (∗ ). Сделать то же самое для произвольных n и k.∂fiЕсли в точке a ранг матрицы ∂xj (a) , i = 1, . . . , n− k, j = 1, . . . , n, равен n− k, то какой-то из определителей∂fij1, . . . , xjn−kdet ∂xjs (a) , i = 1, .
. . , n − k, s = 1, . . . , n − k, отличен от нуля. Поэтому (локально) переменные x(однозначно и гладко) выражаются через остальные k переменных. Таким образом, имеет место следующийфакт.Следствие 1.1. Если M k — k–мерное подмногообразие области U аффинного пространства Rn , то для любой точки из M k существует ее окрестность U в пространстве Rn , k из координат x1 , . . . , xn и n − k (бесконечнодифференцируемых) функций, выражающих остальные (n − k) координат через k выбранных, т.е.
такие, чтопересечение M k с окрестностью U является графиком отображения Rk в Rn−k , определяемого указаннымифункциями. В частности, в рассматриваемой окрестности подмногообразие M k является образом невырожденного отображения области в Rk в пространство Rn .Следующая теорема утверждает, что локально образ невырожденного отображения является подмногообразием.Теорема 1.2 (Об образе). Пусть Ψ : Rk −→ Rn — гладкое отображение, заданное в окрестности точкиka ∈ R , Ψ(x) = (ψ1 (x), . . . , ψn (x)), Ψ(a) = b, и пусть∂ψirk dΨ = rk(a)= k.i=1,...,n∂xjj=1,...,kkТогда существует окрестность W точки a в R такая, что Ψ(W ) — гладкое подмногообразие в некоторой окрестности точки b в Rn .Теорема об образе является несложным следствием теоремы о неявных функциях.
Мы приведем соответствующее доказательство. Для него нам потребуется, так называемая, теорема об обратном отображении, котораятакже может быть легко выведена из теоремы о неявных функциях.Теорема 1.3 (Об обратном отображении). Пусть Φ : U −→ Rn — гладкое отображение окрестности точкиna в пространстве R , Φ(x) = (ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)), Φ(a) = b, и пусть∂ϕi(a)6= 0.deti=1,...,n∂xjj=1,...,nТогда существует некоторая (вообще говоря, меньшая, чем U ) окрестность W начала координат в пространствеRn такая, что Φ является взаимно однозначным отображением W на Φ(W ) и при этом обратное отображениеΦ−1 : Φ(W ) −→ W также является бесконечно дифференцируемым.5 Рассмотрим график Γ отображения Φ: Γ = {(x, y) ∈ U × Rn : y = Φ(x)} ⊂ U × Rn ⊂ Rn × Rn .Пусть x1 , .
. . , xn , y 1 , . . . y n — координаты в Rn × Rn = R2n . В области U × Rn подмножество Γ задается nуравнениями fi (x, y) = ϕi (x1 , . . . , xn ) − y i = 0, i = 1, . . . , n. Матрица производных функций fi по переменнымxj совпадает с матрицей производных функций ϕi по этим переменным и потому невырождена. По теореме онеявных функциях в некоторой окрестности точки (a, b) ∈ Rn × Rn на (подмногообразии) Γ координаты x1 , . . . ,xn являются гладкими функциями координат y 1 , . .
. , y n : xj = ψj (y 1 , . . . , y n ), j = 1, . . . , n. Нетрудно видеть, чтоотображение Ψ(y) = (ψ1 (y), . . . , ψn (y)) является обратным к отображению Φ. Теперь приступим к доказательству теоремы об образе. Без ограничения общности можно считать, что∂ϕi(0)6= 0.deti=1,...,k∂xjj=1,...,ke : Rk ⊕ Rn−k −Рассмотрим отображение Ψ→ Rn , определенное формулойe 1 , . . . , xk , xk+1 , . . .
, xn ) = (ϕ1 (x1 , . . . , xk ), . . . , ϕk (x1 , . . . , xk ),Ψ(xϕk+1 (x1 , . . . , xk ) + xk+1 , . . . , ϕn (x1 , . . . , xk ) + xn ).Здесь xk+1 , . . . , xn — координаты в Rn−k . Координаты в пространстве ∂ϕ11. . . ∂ϕ∂x1∂xk ....... ..0 ∂ϕ∂ϕkke = ∂x1 . . . ∂xkdΨ1...∗1Rn обозначим через y 1 , . . . , y n . Имеем.eНетрудно видеть, что rk dΨ(0)= n. По теореме об обратном отображении существует окрестность нуля Ukn−ke — взаимно–однозначное, гладкое вместе с обратнымв R ⊕Rи окрестность нуля V в Rn такие, что Ψотображение U −→ V .
При этом, не теряя общности, можно предполагать, что U является прямым произведениемU1 × U2 некоторых окрестностей начал координат в Rk и в Rn−k . Пусть χ : V −→ U — отображение, обратное кe χ(y 1 , . . . , y n ) = (χ1 (y 1 , . . . , y n ), . . . , χn (y 1 , . . . , y n )). Образ Ψ(U1 ) в V задается уравнениями χk+1 (y 1 , . . . , y n ) =Ψ,. . . = χn (y 1 , .
. . , y n ) = 0. При этом∂χirk(0)= n.i=1,...,n∂y jj=1,...,nПоэтомуrk∂χi(0)= n − k,i=k+1,...,n∂y jj=1,...,nчто и требовалось доказать. 1.2. Общее определение гладкого многообразия1.2.1. КоординатыkПусть M — k–мерное подмногообразие в области U ⊂ Rn (например, в самом пространстве Rn ), задаваемоеуравнениямиf1 (x1 , . .
. , xn ) = 0,...fn−k (x1 , . . . , xn ) = 0,где rk∂fi∂xj (p)= n − k в любой точке p ∈ M k . Мы показали (теорема о неявной функции), что для любойточки p в некоторой ее окрестности U подмногообразие M k является графиком (гладкого) отображения Rk−→ Rn−k , т.е. некоторые (n − k) координат из x1 , . . . , xn (гладко) выражаются через остальные k координат.Таким образом в этой окрестности точка подмногообразия M k однозначно задается указанным набором из kчисел, а само подмногообразие M k является образом невырожденного (т.е. ранга k) отображения окрестностинуля в Rk в окрестность нуля в Rn .6Таким образом, подмногообразие M k области U ⊂ Rn может быть покрыто некоторым количеством открытых областей, в каждой из которых точка M k однозначно определяется некоторыми координатами — наборомиз k вещественных чисел, т.е. точкой пространства Rk (из некоторого открытого множества).
Эти наборы чисел(для двух областей, имеющих непустое пересечение) гладко выражаются друг через друга. При этом сами посебе координаты не являются частью понятия подмногообразия. В окрестности точки они могут быть введены различными способами (даже если в качестве них берется часть декартовых координат). Такое описаниеподмногообразий в аффинных пространствах (или в областях в них) принимается за общее определение многообразия.Сначала напомним понятие топологического пространства.1.2.2. Топологические пространстваОпределение.
Топологическое пространство — это множество X с выделенным классом подмножеств, называемых открытыми. При этом пустое множество и само X открыты, пересечение конечного числа или объединение любого числа открытых множеств открыто.Окрестностью точки p топологического пространства X называется любое открытое множество, содержащее p. Для топологического пространства X можно говорить о пределе последовательности точек {pi } из X ио пределе функции f (p) при p −→ p0 , о непрерывности функции на пространстве X, о непрерывности отображения X в топологическое пространство Y , ... Например, отображение f : X −→ Y непрерывно, если прообразлюбого открытого множества в пространстве Y открыт в пространстве X. Любое подмножество Y топологического пространства X обладает естественной топологией, индуцированной из пространства X: открытымиподмножествами пространства Y являются пересечения Y с открытыми подмножествами пространства X.Нам нужны будут понятия хаусдорфовости и сепарабельности.
Есть несколько различных понятий хаусдорфовости (впрочем, для наших целей подходит любое из них). Чтобы в дальнейшем не останавливаться наобщетопологических проблемах, сформулируем более сильное.Определение. Говорят, что топологическое пространство X хаусдорфово, если любые два непересекающихся замкнутых подмножества в X имеют непересекающиеся окрестности. (Окрестностью замкнутого множестваназывается (любое) содержащее его открытое множество.)Хаусдорфовость пространства по–существу означает единственность предела. Примером нехаусдорфова пространства является, так называемое, двоеточие Александрова — топологическое пространство X, состоящее издвух точек a и b, в котором открытыми подмножествами являются пустое множество ∅, {a} и все пространствоX. Другим (более показательным для обсуждения ниже понятия гладкого многообразия) примером являетсяпрямая R, к которой добавлена еще одна точка 0′ («еще один нуль») так, что базой окрестностей любой точкиa из R (включая 0) является семейство интервалов (a − ε, a + ε) (ε > 0), а базой окрестностей точки 0′ являетсясемейство множеств вида ((−ε, ε) \ {0}) ∪ {0′ }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
