С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Частные производные функции f относительно этих систем координат связаны∂f∂f∂exjсоотношением ∂xi = ∂exj · ∂xi (производные берутся в соответствующей точке). Из этой формулы видно, чтопри замене координат набор чисел (∂f /∂x1 , . . . , ∂f /∂xn ) преобразуется не так, как набор компонент вектора.9Поэтому (касательного) вектора он не определяет.Чтобы сообразить, что за объект определяет набор чисел (∂f /∂x1 (x), . . .
, ∂f /∂xn (x)), заметим, что дифференциал в точке x можно рассматривать как класс эквивалентных функций, где эквивалентными считаютсяфункции, разность между которыми является бесконечно малой более высокого порядка, чем расстояние доточки x: f1 f2 , если f2 (x) − f1 (x) = o(kx − x0 k). Это напоминает определение касательного вектора как классаэквивалентных кривых. Функцию можно дифференцировать вдоль кривой.
При этом производные эквивалентных функций вдоль эквивалентных кривых совпадают. Производная функции f вдоль кривой с касательным∂fвектором v = (v 1 , . . . , v n равна скалярному произведению hgrad f (x), vi = v i ∂xi «векторов» grad f (x) и v. Это —линейная функция от вектора v. Поэтому дифференциал в точке x — это линейная функция на векторах, касательных к многообразию M n в точке x. (Очевидно, что любая линейная функция на касательном пространствеTx M n является дифференциалом некоторой функции.) Линейная функция на векторах называется ковектором.Таким образом, мы приходим к следующим эквивалентным определениям касательного ковектора в точке xмногообразия M n :1.
класс эквивалентных функций (см. выше);2. набор из n чисел (α1 , . . . , αn ) (компонент ковектора) в каждой системе x1 , . . . , xn локальных координат,xjкоторый при замене координат меняется по формуле αi = αej · ∂e∂xi ;3. (самое разумное) линейная функция на касательном пространстве Tx M n .Ковектора в точке x ∈ M n образуют линейное пространство Tx∗ M n , двойственное к касательному пространству Tx M n . Мы знаем, что касательные пространства Tx M n во всех точках многообразия M n вместе образуютгладкое многообразие T M n , а естественная проекция p : T M n является векторным расслоением.
В действительности, множество всех касательные ковекторов многообразия M n также образует гладкое многообразиеT ∗ M n , причем естественная проекция p∗ : T ∗ M n также является векторным расслоением (кокасательным расслоением многообразия M n ). Для того, чтобы это показать, на множестве T ∗ M n касательных ковекторов надоопределить топологию, описать атлас, определяющий гладкую структуру на T ∗ M n , и тривиализацию проекцииp∗ над окрестностью любой точки многообразия M n . Все эти три задачи одновременно решаются с помощьюконструкции, которую мы опишем в более общей ситуации.2. Тензоры2.1. Определение тензораТензором типа (p, q) на векторном пространстве E называется полилинейная функция наpE × . .
. × E × E∗ × . . . × E∗ .{z}|{z}|сомножителейqсомножителейТензор типа (1, 0) — это просто вектор, т.е. элемент пространства E; тензор типа (0, 1) — элемент пространстваE ∗ , двойственного к E (ковектор). Тензор типа (0, 2) — это билинейная форма на векторном пространстве E(вообще говоря, ни симметричная, ни кососимметричная). Тензоры типа (1, 1) естественным образом отождествляются с операторами (в пространстве E или E ∗ ).Пусть p : E −→ X — векторное расслоение ранга k над некоторым многообразием X (например. Обозначим через E p,q множество тензоров типа (p, q) на всех слоях Ex = p−1 (x) расслоения p. Имеется естественноеотображение pp,q на X: тензор на слое Ex отображается в точку x.
Для того, чтобы определить топологию(а заодно и структуру гладкого многообразия), опишем покрытие E p,q множествами, на которых топологияопределяется естественным образом и которые будут рассматриваться как открытые. В этом случае топология на E p,q определяется тем, что множество W ⊂ E p,q открыто, если открыты его пересечения с элементамипокрытия. Пусть {Uα } — покрытие пространства X такими открытыми множествами Uα , что имеются тривиализации Φα : p−1 (Uα ) −→ Uα × Rk (которые линейны на каждом слое и для которых π1 ◦ Φα = p).
Пустьp,qp,q −1Uα = (p ) (Uα ) — множество всех тензоров типа (p, q) на слоях Ex = p−1 (x) с x ∈ Uα . Отображение Φαp,qопределяет естественное взаимно–однозначное соответствие Φp,q−→ Uα × (Rk )p,q , где (Rk )p,q — (линейα : Uαkное) пространство тензоров типа (p, q) на пространстве R (которое естественным образом отождествляется саффинным пространством RN для некоторого N ). Это взаимно–однозначное соответствие определяет (индуцированную) топологию на множестве Uαp,q . Множества Uαp,q образуют покрытие пространства E p,q , которое темсамым наделяется структурой топологического пространства.
Если p : E −→ X — гладкое расслоение (в частности, X является гладким многообразием некоторой размерности m), а Uα являются координатными окрестностями на X, то (координатные) отображения Uα −→ Vα ⊂ Rm определяют естественные отображения Uαp,q10−→ Vα × RN ⊂ Rm × RN , которые определяют покрытие {Uαp,q } пространства E p,q как атлас на E p,q , вводя темсамым на последнем структуру гладкого многообразия (а на pp,q : E p,q −→ X структуру гладкого расслоения.Прошлый раз мы показали, что множество E p,q тензоров типа (p, q) на слоях (гладкого) векторное расслоениеp:E −→ M n над многообразием M n само является гладким многообразием и (вместе с естественным отображением на M n ) векторным расслоением над M n .
Рассмотрим теперь тензоры на касательных пространствах кмногообразию M n . Тензор T типа (p, q) в точке x многообразия M n — это тензор (того же типа) на касательномпространстве Tx M n к многообразию M n в точке x.Пусть e1 , . . . , en — базис векторного пространства V (размерности n). Базис {ei } пространства V определяет двойственный базис e1 , . . . , en сопряженного пространства V ∗ , определяемый формулами (ei , ej ) = δji(= 1 при i = j, = 0 при i 6= j).
Тензор T типа (p, q) на пространстве V (рассматриваемый как полилинейi ...iная функция на V ∗ × . . . × V ∗ × V × . . . × V ) приобретает координаты Tj11...jqp , определяемые формулами|{z}|{z}pсомножителейqсомножителейi ...iTj11...jqp = T (ei1 , . . . , eip , ej1 , . . . , ejq ).Локальные координаты x1 , . . . , xn в окрестности точки x определяют базис ∂/∂x1 , . . . , ∂/∂xn в касательномпространстве Tx M n к многообразию M n в точке x.
Двойственным базисом в кокасательном пространстве Tx∗ M nявляется базис dx1 , . . . , dnx , состоящий из дифференциалов координат. Тем самым тензор T приобретает своиi ...iкоординаты (компоненты) Tj11...jqp :i ...iTj11...jqp∂∂i1ip= T dx , . . . , dx , j 1 , . . . , j q .∂x∂xei ...eiВ соответствии с известными из линейной алгебры формулами компоненты Teej 1...ej p в другой системе координат1qxe1 , . .
. , xen выражаются через его компоненты в координатах x1 , . . . , xn по формулеeeexi1∂exip ∂xj1∂xjqi ...eii ...i ∂eTeej 1...ej p = Tj11...jqp i1 · . . . · ip · e1 · . . . · eq1q∂x∂x∂exj∂exj(∗)(как всегда по повторяющимся индексам производится суммирование).Задача 2.1 (∗ ).
Написать законы преобразования компонент тензоров типов (2, 0), (1, 1) и (0, 2) в «нормальных» обозначениях, т.е. со всеми знаками суммирования.Тензор типа (p, q) в точке x многообразия M n (в координатной форме) может быть определен как наборi ...iкомпонент Tj11...jqp в каждой системе локальных координат, преобразующийся по правилу (*).2.2. Операции с тензорами∂fЕсли f — функция (на многообразии с локальными координатами xi ), то, как мы знаем, величины ∂xi явля∂fются компонентами тензора (типа (0, 1)). (Часто для краткости мы будем говорить, что ∂xi является тензором.)С другой стороны, если, например, v i = v i (x) — тензорное поле типа (1, 0) (т.е. векторное поле), то производные∂v i∂xj тензором, вообще говоря, не являются.Задача 2.2 (∗ ).
Доказать это.2fЗадача 2.3 (∗ ). Пусть f — функция на многообразии. Доказать, что вторые частные производные ∂x∂i ∂xj (в1nлокальных координатах x , . . . , x ) не являются компонентами тензора (никакого типа).Сегодня мы обсудим некоторые операции с тензорами (те, результатами которых снова являются тензоры).Эти операции относятся не к тензорным полям, а к тензорам, определенным в одной точке. В этом смысле этиоперации являются объектом линейной алгебры. Поэтому многие (простые) утверждения будут сформулированы в виде задач (часто — со звездочкой внизу).0. Тензоры фиксированного типа (p, q) (естественно, на одном и том же пространстве) образуют линейное пространство и поэтому их можно складывать и умножать на числа.1.
Тензорное произведение. Определение тензора типа (p, q) на векторном пространстве V как полилинейнойфункции на произведенииV∗ × ...× V ∗ × V × ...× V|{z}|{z}pсомножителейqсомножителейэквивалентно утверждению о том, что такой тензор является элементом пространстваp∗V. . ⊗ V} ⊗ V. . ⊗ V ∗} .| ⊗ .{z| ⊗ .{zсомножителейq11сомножителейЗадача 2.4 (∗ ). Доказать, что это пространство изоморфно пространствуHom V. .
⊗ V} , |V ∗ ⊗ .{z. . ⊗ V ∗} | ⊗ .{zqсомножителейpсомножителей(Hom (W1 , W2 ) — пространство линейных отображений W1 в W2 ).Тензорное произведение пространств тензоров типа (p1 , q1 ) и (p2 , q2 ), т.е. пространствV ⊗ . . . ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ . . . ⊗ V ∗ и V ⊗ . . . ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ . . .
⊗ V ∗,|{z} |{z}|{z} |{z}p1сомнож.qсомнож.p2сомнож.q2сомнож.совпадает с пространством тензоров типа (p1 + p2 , q1 + q2 ). Поэтому двум тензорам типов (p1 , q1 ) и (p2 , q2 )соответствует их тензорное произведение — тензор типа (p1 + p2 , q1 + q2 ). Дадим его определение в терминахкомпонент.i1 ...ipПусть T (соответственно S) — тензор типа (p1 , q1 ) (соответственно (p2 , q2 )) с компонентами Tj1 ...jq 1 (соответ1k1 ...kpственно Sℓ1 ...ℓq 2 ) в некоторых (локальных) координатах.2Определение. Тензорным произведением (или просто произведением) тензоров T и S называется тензорT ⊗ S типа (p1 + p2 , q1 + q2 ), компоненты которого задаются формуламиi ...ii ...ii...i+1p1 +p22(T ⊗ S)j11 ...jpq1 +p= Tj11...jqp1 · Sjqp1+1...jq +q .+q121112Задача 2.5 (∗∗ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
