С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ТогдаZZZω=ω+ω.W1nMnW2n(Здесь подразумевается, что многообразия W1n и W2n рассматриваются с ориентацией, наследуемой из ориентации многообразия M n . Кстати, в этом случае ориентации многообразия ∂W1n = ∂W2n , рассматриваемого каккрай многообразий W1n и W2n соответственно, противоположны.)3.5. Формула СтоксаВ анализе известны формулы, связывающие интеграл по области с (некоторым) интегралом по ее краю:формулы Грина, Стокса, Гаусса–Остроградского. Все они являются частными случаями следующего общегоутверждения.Теорема 3.5 (Стокс).
Пусть M n — компактное ориентированное многообразие с краем ∂M n . ∂M n является замкнутым (т.е. компактным без края) ориентированным многообразием. Пусть ω — (n − 1)–форма намногообразии M n . ТогдаZZdω =ω.Mn∂M nXЗадача 3.11. Проверить (или, правильнее, проинтерпретировать), что формулы Грина, Стокса и Гаусса –Остроградского являются частными случаями (общей) теоремы Стокса.21 Как это часто бывает, доказательство общей теоремы Стокса в определенном смысле проще доказательств ее частных случаев. Основную роль в этом играет доказанная нами инвариантность дифференциалаформы, позволяющая производить вычисления в удобных локальных координатах.Используя разбиение единицы и линейность интеграла, мы можем свести доказательство к случаю, когданоситель дифференциальной формы ω находится в пределах одной координатной карты (U, Ψ): supp ω ⊂ U .Более того, не теряя общности мы можем предполагать, что эта координатная карта является является параллелепипедом (в своих координатах, т.е.
параллелепипедом является соответствующая область V = Ψ(U )в пространстве Rn ). Кроме того, можно считать, что (в рассматриваемых координатах) форма ω имеет вид[i ∧ dxi+1 . . . ∧ xn , где supp f ⊂ V (здесь, как принято записывать, знак b означаетf · dx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧dxотсутствие соответствующего сомножителя.) Рассмотрим различные случаи.R1. Ψ : U −→ V ⊂ Rn , V = {(x1 , .
. . , xn ) ∈ Rn : Aj < xj < Bj , j = 1, . . . , n}. В этом случае ∂M n ω = 0 (просто∂f1nпотому, что носитель формы ω не пересекается с краем ∂M n многообразия M n ). Имеем dω = ± ∂xi ·dx ∧. . .∧dxi−1(здесь ±1 = (−1) , однако точное значение этого знака для нас неважно). ПоэтомуZZ∂fdω = ±· dx1 ∧ . . . ∧ dxn =∂xiMnVZBn cZBi ZB1 ZBi∂f i 1ci . . . dxn = 0,= ± ··· ··· dx dx . . . dx∂xiAnAiA1Aiпоскольку (в соответствии с формулой Ньютона–Лейбница) обыкновенный интеграл в круглых скобках равеннулю.2.
Ψ : U −→ V ⊂ Rn− , V = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : A1 < x1 6 0, Aj < xj < Bj при j 6= 1}. Рассмотрение зависит от1[i ∧ . . . ∧ xn ). Пусть сначалатого, равен ли индекс i единице или нет (i определяетсяR тем, что ω = f · dx ∧ . . . ∧dx∂f1n1ni 6= 1. Тогда ω|∂M n = 0 (т.к. dx = 0 на ∂R− ) и значит ∂M n ω = 0. Имеем dω = ± ∂xi · dx ∧ . . . ∧ dx ,ZZ∂fdω = ±· dx1 ∧ . . . ∧ dxn =∂xiMn=±ZBn···AnRn− , V−1 ∗3. Ψ : U −→V ⊂supp f ⊂ V . Имеем (ΨcZBiV···Ai1ZB2Z0A2 A1nBZi∂fci . . . dxn = 0.dxi dx1 dx2 . . . dx∂xiAi= {(x , . . . , x ) ∈ R : A1 < x1 6 0, Aj < xj < Bj при j 6= 1}, ω = f · dx2 ∧ .
. . ∧ xn ,) ω|∂Rn− = f (0, x2 , . . . , xn ) · dx2 ∧ . . . ∧ xn . ПоэтомуZ∂M nnZBn ZB2ω=· · · f (0, x2 , . . . , xn )dx2 . . . dxn .AnA2(Обратите внимание на то, что система координат x2 , . . . , xn на краю ∂M n многообразия M n является ори∂f1nентирующей.) Далее имеем dω = ∂x(здесь важно то, что в выражении для ω отсутствует1 · dx ∧ . . .
∧ dxдифференциал именно первой переменной и поэтому в выражении для dω не появляется никакого знака). ПоэтомуZZZBn ZB2 Z0∂f∂fdω =· dx1 ∧ . . . ∧ dxn =··· dx1 dx2 . . . dxn =∂x1∂x1MnVAnA2A1ZBn ZB2Z2n2n=· · · f (0, x , . . . , x )dx . . . dx =AnA2ω.∂M nЗадача 3.12. Вывести из теоремы СтоксаH теорему Коши: если f — голоморфная функция в области комплексной прямой, ограниченной кривой γ, то γ f dz = 0.223.6. Когомологии де РамаПусть M n — произвольное гладкое многообразие — компактное или нет, с краем или без.
Обозначим через Ωk (M n ) (линейное) пространство дифференциальных k–форм на многообразии M n . Дифференциал формыявляется (линейным) отображением dk = d : Ωk (M n ) −→ Ωk−1 (M n ). Таким образом, операторы внешнего дифknференцирования d связывают пространства Ω (M ) в последовательностьddddd0−→ Ω0 (M n ) −→ Ω1 (M n ) −→ . . . −→ Ωk (M n ) −→ Ωk+1 (M n ) −→ . . .dd. . . −→ Ωn−1 (M n ) −→ Ωn (M n ) −→ 0.При этом суперпозиция dk+1 ◦ dk = d ◦ d двух последовательных операторов равна нулю. Последовательностьгомоморфизмов с таким свойством называется (коцепным) комплексом. Такая ситуация часто встречается втопологии и в алгебре и в таком случае полезно бывает рассматривать, так называемые, группы (ко)гомологийкомплекса.Определение. Группой когомологий де Рама (k–ой или k–мерной) многообразия M n называется группаKer d : Ωk (M n ) −→ Ωk+1 (M n )Ker dkkn=.HdR (M ) :=Im d : Ωk−1 (M n ) −→ Ωk (M n )Im dk−1kЗамечание.
Мы рассматриваем группу когомологий HdR(M n ) просто как линейное пространство, без какойлибо дополнительной структуры, например, без топологии. В действительности, часто группа когомологийkHdR(M n ) является конечномерным линейным пространством (см. задачу ниже). В таком случае топологияна этом пространстве определена однозначно.Формы, дифференциал которых равен нулю, называются замкнутыми. Те, которые являются дифференциалами других форм, называются точными. Свойство d◦d = 0 означает, что точные формы замкнуты. Определениеkможно переформулировать следующим образом: группа HdR(M n ) когомологий де Рама — это факторпространство замкнутых k–форм по точным.Определение групп когомологий де Рама – довольно простое. Однако, его трудно непосредственно использовать для их вычисления.
Даже вычисление когомологий де Рама аффинного пространства Rn не являетсявполне тривиальным. Исходя из определения, легко их вычислить только для точки и, возможно, для прямойR1 и для окружности S 1 . Так для точки имеем:(0 при k 6= 0,kHdR (•) =R при k = 0.Очевидно, что когомологии де Рама являются инвариантами дифференцируемого типа многообразия, т.е.группы когомологий де Рама диффеоморфных многообразий изоморфны. В действительности, когомологии деРама инвариантны относительно гораздо более слабой эквивалентности. Прежде, чем описать соответствующеесвойство, обсудим поведение когомологий де Рама при (гладких) отображениях.Пусть F : M n −→ N m — гладкое отображение.
Мы знаем, что оно индуцирует отображение F ∗ пространствдифференциальных форм на многообразии N m в пространства дифференциальных форм на многообразииM n : F ∗ : Ωk (N m ) −→ Ωk (M n ). При этом отображение (или, правильнее, отображения) F ∗ коммутирует (иликоммутируют) с внешним дифференцированием: F ∗ d = dF ∗ .Утверждение 3.6.
Отображения F ∗ индуцируют линейные отображения групп когомологий де Рама:kkF ∗ : HdR(N m ) −→ HdR(M n ).kk Отображение F ∗ : HdR(N m ) −→ HdR(M n ), естественно, определяется следующим образом. Пусть a —kmэлемент группы когомолгий HdR (N ). Он представлен замкнутой k–формой α на многообразии N m . ФормаkF ∗ α на многообразии M n замкнута, так как dF ∗ α = F ∗ dα = 0. Тогда F ∗ a — элемент группы HdR(M n ), пред∗ставленный формой F α. Для доказательства корректности надо проверить, что класс смежности элемента F ∗ αне зависит от выбора представителя α класса a. Пусть α′ — другая (замкнутая) форма на многообразии N m ,являющаяся представителем класса a.
Это означает, что α′ = α + dβ для некоторой (k − 1)–формы β. ИмеемF ∗ α′ = F ∗ α + F ∗ dβ = F ∗ α + dF ∗ β, что и требовалось доказать. Имеют место следующие (очевидные) свойства функториальности:1) id∗ = id (здесь одно из отображений id — это тождественное отображение многообразия в себя, а другое —тождественное отображение его группы когомологий де Рама);2) (F ◦ G)∗ = G∗ ◦ F ∗ (здесь F — отображение M n в N m , G — отображение многообразия K ℓ в M n ).23Эти свойства иногда формулируются в виде утверждения, что «когомологии де Рама являются контравариантными функторами из категории многообразий в категорию линейных пространств».Тот факт, что когомологии де Рама являются инвариантами дифференцируемого типа многообразий, можно доказать, например, воспользовавшись свойствами отображений групп когомологий де Рама, индуцированных отображением многообразий. Пусть F : M n −→ N n и G = F −1 : N n −→ M n — взаимно обратnnkkные диффеоморфизмы многообразий M и N (G ◦ F = idM n , F ◦ G = idN n ), F ∗ : HdRNn −→ HdRMn и∗knknG : HdR M −→ HdR N — отображения групп когомологий, индуцированные отображениями F и G.
Тогда∗∗и G∗ —G∗ ◦ F ∗ = (F ◦ G)∗ = (idN n )∗ = idHdRk (N n ) , F◦ G∗ = (G ◦ F )∗ = (idM n )∗ = idHdRk (M n ) . Поэтому Fkk(взаимно обратные) изоморфизмы групп (линейных пространств) HdRM n и HdRN n.3.7. Гомотопическая эквивалентностьМы покажем, что группы когомологий де Рама инвариантны относительно гораздо более грубого отношения эквивалентности — гомотопической эквивалентности многообразий. Гомотопическая эквивалентность играет очень большую роль в топологии.
Опишем сначала это отношение эквивалентности между топологическимипространствами. Отношения эквивалентности, которые мы рассматривали, (гомеоморфность топологическихпространств, диффеоморфность многообразий) определялись сразу для пространств. В некоторых случаях удобно начинать с отношения эквивалентности между отображениями.
(Вопрос(ы) на сообразительность. Почемутакой путь не используется при определении гомеоморфности или диффеоморфности? Какое отношение эквивалентности между отображениями соответствует этим отношениям эквивалентности между пространствами илимногообразиями.) Пусть X и Y — топологические пространства, f и g — непрерывные отображения X −→Y.Определение. Говорят, что отображения f и g гомотопны (f ∼ g), если существует непрерывное семейство отображений ft : X −→ Y такое, что f0 = f , f1 = g, т.е. (расшифровка) если существует непрерывноеотображение F : X × I −→ Y (I — отрезок [0, 1]), для которого F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x).Здесь F (x, t) = ft (x). Семейство ft или отображение F называется гомотопией между отображениями f и g.Нетрудно видеть, что отношение ∼ гомотопности является отношением эквивалентности на множестве(непрерывных) отображений топологических пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
