С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. . , k + ℓ.То, что T ∧ S — тензор, следует из того, что он является линейной комбинацией тензоров, получаемых изтензорного произведения T ⊗ S перестановками индексов. Непосредственно проверяются следующие факты:1) T ∧ S — кососимметричный тензор;2) (T1 + T2 ) ∧ S = T1 ∧ S + T2 ∧ S, (c · T ) ∧ S = c · T ∧ S;3) (T ∧S)∧R = T ∧(S ∧R) (это равенство позволяет не расставлять скобки в «длинных» внешних произведениях,например, писать dxi1 ∧ .

. . ∧ dxik );4) T ∧ S = (−1)k+ℓ S ∧PT ;5) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =sign σ · dxσ(i1 ) ⊗ . . . ⊗ dxσ(ik ) .σЗамечание. Довольно часто в книгахвнешнее произведение форм определяют так, что вместо 5) имеетP1место формула dxi1 ∧ . . . ∧ dxik = k!sign σ · dxσ(i1 ) ⊗ . . . ⊗ dxσ(ik ) (т.е. внешнее произведение dxi1 ∧ . . . ∧ dxikσменьше «нашего» в k! раз).

Такое определение приводит к некоторым (возможно, психологическим) неудобствам.14∂∂, ∂y) тензора dx ∧ dy на паре базисныхТак, при таком определении на обычной плоскости значение (dx ∧ dy)( ∂xвекторов равно не 1 (как у нас и как бы хотелось), а 1/2. Бывает, что дается определение внешнего произведения,совпадающее с тем, которое используем мы, однако некоторые формулы приводятся в таком виде, в которомони верны как раз для другого определения.Нетрудно видеть, что базис в пространстве кососимметричных тензоров типа (0, k) (в точке a) образуютвнешние произведения dxi1 ∧ .

. . ∧ dxik с i1 < i2 < . . . < ik . Таким образом, любой кососимметричный тензор ωтипа (0, k) однозначно записывается в видеXω=ωi1 ...ik · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .i1 <...<ikКососимметричные тензорные поля типа (0, k) обычно называются дифференциальными k–формами. В локальных координатах дифференциальная k–форма записывается точно такой же формулой, в которой коэффициенты ωi1 ...ik являются функциями от точки (обычно, как всегда в нашем курсе, бесконечно дифференцируемыми).На дифференциальных формах также определена операция внешнего произведения, обладающая свойствами1)—5).Помимо этого на дифференциальных формах определена операция, которая из k–формы делает (k + 1)–форму.PОпределение. Внешним дифференциалом дифференциальной k–формы ω =ωi1 ...ik · dxi1 ∧ .

. . ∧ dxiki1 <...<ik(ωi1 ...ik = ωi1 ...ik (x)) называетсяdω =Xdωi1 ...ik ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =i1 <...<ikXi1 <...<ik∂ωi1 ...ik· dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik∂xj(здесь, как обычно, по индексу j производится суммирование).Это определение дано в (локальных) координатах и поэтому априори неясно, что оно корректно (т.е. чтовнешний дифференциал dω дифференциальной формы ω не зависит от выбора системы координат). Нужнопроверить, что операция внешнего дифференцирования коммутирует с операцией замены координат.Теорема 2.3. Операция внешнего дифференцирования коммутирует с операцией замены координат и поэтому внешний дифференциал формы определен корректно.2.4. Свойства внешнего дифференциалаТеорема 2.4.

Внешнее дифференцирование d обладает следующими свойствами:1) если ω и η — дифференциальные k– и ℓ–формы, то d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη;2) dd = 0;3) если F : M m −→ N n — гладкое отображение, ω — дифференциальная k–форма на многообразии N n , то∗∗F dω = dF ω. Свойство 1) можно проверить в координатах для форм ω и η вида f · dxi1 ∧ . .

. ∧ dxik и g · dxj1 ∧ . . . ∧ dxjℓg)ji1ikj1jℓсоответственно. Имеем d(ω∧η) = d(f g·dxi1 ∧. . .∧dxik ∧dxj1 ∧.. .∧dxjℓ ) = ∂(f∂xj dx ∧dx ∧. . .∧dx ∧dx ∧. . .∧dx =)∂(g)∂fji1ikj1jℓji1( ∂(f= ∂x∧ . . . ∧ dxik ∧ g · dxj1 ∧ . . . ∧ dxjℓ +j dx ∧ dx∂xj g + f ∂xj ) · dx ∧ dx ∧ .

. . ∧ dx ∧ dx ∧ . . . ∧ dx∂gjj1(−1)k f · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ ∂x∧ . . . ∧ dxjℓ = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.j dx ∧ dxСвойство 2) (dd = 0) также можно проверить на форме ω = f · dxi1 ∧ . . . ∧ dxik :∂f∂2fji1ik·dx∧dx∧...∧dx=· dxℓ ∧ dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik = 0,ddω = d∂xj∂xj ∂xℓ2fпоскольку коэффициенты (вторые частные производные) ∂x∂j ∂xℓ симметричны по j и ℓ, а внешние произведенияℓjdx ∧ dx — кососимметричны.Явная проверка свойства 3) (в локальных координатах на прообразе M m и на образе N n ) несколько сложнее.Поэтому мы приведем другое доказательство (и даже два).1. Как и раньше, равенствоF ∗ dω = dF ∗ ω(∗)достаточно проверить для формы ω на многообразии N n вида f · dy i1 ∧ . .

. ∧ dy ik (y 1 , . . . , y n — локальныекоординаты на N n ). Воспользуемся индукцией по порядку k дифференциальной формы ω. Предположим, чтоk > 1 и равенство (∗) имеет место для форм порядка < k. В рассматриваемой координатной окрестности форма15ω является произведением ω1∧ ω2 форм порядков k1 и k2 , где ki < k (i = 1, 2). Имеем F ∗ dω = F ∗ d(ω1 ∧ ω2 ) =F ∗ dω1 ∧ ω2 + (−1)k1 ω1 ∧ dω2 = (F ∗ dω1 ) ∧ (F ∗ ω2 ) + (−1)k1 (F ∗ ω1 ) ∧ (F ∗ dω2 ) = (dF ∗ ω1 ) ∧ (F ∗ ω2 ) + (−1)k1 (F ∗ ω1 ) ∧(dF ∗ ω2 ) = d ((F ∗ ω1 ) ∧ (F ∗ ω2 )) = dF ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = dF ∗ ω.Осталось доказать равенство (∗) для 0– и для 1–форм. Для 0–форм (т.е. для функций) это равенство —свойство, хорошо известное из анализа (заметим, что для функции f на многообразии N n (F ∗ f )(x) = f (F (x))).Для 1–формы ω = f · dxi равенство (∗) можно доказать так же, как и для произведения ω1 ∧ ω2 выше.

Имеем:F ∗ dω = F ∗ d(f · dxi ) = F ∗ (df ∧ dxi ) (здесь мы воспользовались тем, что ddxi = 0). Далее, F ∗ dω = (F ∗ df ) ∧(F ∗ dxi ) = (dF ∗ f ) ∧ (dF ∗ xi ) + F ∗ f · ddF ∗ xi = d((F ∗ f ) · (dF ∗ xi )) = d((F ∗ f ) · (F ∗ dxi )) = dF ∗ (f · dxi ) = dF ∗ ω.2. Если отображение F равно композиции F2 ◦ F1 (F1 : M m −→ W N , F2 : W N −→ N n ), то равенство (∗) доста∗∗∗ ∗∗точно доказать для отображений F1 и F2 : F dω = (F2 ◦F1 ) dω = (F1 F2 )dω = F1 (F2∗ dω) = F1∗ dF2∗ ω = d(F1∗ F2∗ )ω =dF ∗ ω.

Равенство (∗) нетрудно явно проверить для вложений и для проектирований, т.е. для отображений, задаваемых в локальных координатах формулами F1 (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0), F2 (x1 , . . . , xN ) = (x1 , . . . , xn ).Наконец, любое отображение F может быть представлено в виде композиции F2 ◦ F1 вложения F1 и проектирования F2 . Можно взять W = M m × N n , F1 (x) = (x, F (x)), F2 (x, y) = y (x ∈ M m , y ∈ N n ).3. Дифференциальные формы максимального ранга иинтегрирование по подмногообразиям3.1.

Ориентируемые многообразияПространство кососимметричных полилинейных n–форм на n–мерном векторном пространстве одномерно. Влокальных координатах x1 , . . . , xn на n–мерном многообразии M n дифференциальная n–форма ω (однозначно)записывается в виде f · dx1 ∧ . . . ∧ dxn . В других локальных координатах xe1 , . . .

, xen форма ω записывается в1neeвиде f · dex ∧ . . . ∧ dx . Имеемω = f · dx1 ∧ . . . ∧ dxn = f · (=Xσ=(j1 ,...,jn )∂xn jn∂x1 j1dex)∧...∧(dex )=∂exj1∂exjnnsY∂x sign σ· f · dex1 ∧ . . . ∧ dexn = det J · f · dex1 ∧ . . . ∧ dexn ,js∂exs=1 i∂xгде суммирование ведется по всем перестановкам σ = (j1 , . . . , jn ) элементов 1, . . . , n, J — матрица Якоби ∂exjeзамены координат. Таким образом, f = det J · f . Итак, при замене координат коэффициент при (внешнем) произведении дифференциалов переменных в n–форме на n–мерном многообразии умножается на якобиан заменыкоординат, т.е.

преобразуется почти так же, как и подинтегральная функция при замене координат в интегралепо n–мерной области. В последнем случае подинтегральная функция умножается на модуль якобиана. ЕслиK — некоторая область в координатной окрестности на многообразииM n , в которой определены координатыR1n1nx , . . . , x , то для ω = f · dx ∧ . . . ∧ dx определим интеграл K ω формы ω по области K какZZ. . . f dx1 · . . . · dxn .В соответствии с приведенным выше описанием этот интеграл (почти) корректно определен: он не меняетсяпри любых заменах координат с положительным якобианом. Таким образом, если ориентировать область K,т.е. зафиксировать класс систем локальных координат с положительным якобианом перехода от одних к другим,определенный нами интеграл формы ω по области K будет корректно определен.Определение, которое мы обсуждаем, пока имеет смысл для областей, находящихся в пределах одной координатной окрестности.

Если мы хотим интегрировать n–форму по всему n–мерному многообразию, нам нужнорешить следующие проблемы:1) Поскольку, как уже обсуждалось, область интегрирования должна быть ориентированной, надо дать определение ориентации на гладком многоообразии.2) Мы хотим иметь возможность обсуждать интеграл формы по ограниченной области (в частности, для того,чтобы сравнивать интеграл по области с интегралом по ее границе). Для этого мы введем понятие (гладкого)многообразия с краем.3) Наконец, в настоящий момент мы имеем определение интеграла n–формы по области, находящейся в пределаходной координатной окрестности. Наиболее естественный переход от такого «локального» определения к определению интеграла формы по гладкому многообразию (с краем или без) состоит в разбиении многообразия на16части, интегралы по которым уже определены (т.е.

Характеристики

Список файлов лекций