С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

(Докажите.) Отношение эквивалентности на множестве отображений (обладающее некоторыми естественными свойствами) индуцирует отношение эквивалентности между пространствами: пространства X и Y эквивалентны, если существуют отображения ϕ : X −→ Yи ψ : Y −→ X такие, что отображение (композиция) ψ ◦ ϕ эквивалентно тождественному отображению idXпространства X, а отображение ϕ ◦ ψ эквивалентно тождественному отображению idY пространства Y . Еслив качестве отношения эквивалентности рассматривается отношение гомотопности, то мы приходим к понятиюгомотопической эквивалентности.Определение.

Говорят, что топологические пространства X и Y гомотопически эквивалентны (X ∼ Y ),если существуют (непрерывные) отображения ϕ : X −→Y иψ:Y −→ X такие, что отображение ψ ◦ ϕ гомотопноidX , а отображение ϕ◦ψ гомотопно idY . (Отображения ϕ и ψ называются гомотопическими эквивалентностями.)Задача 3.13 (∗ ). Докажите, что гомотопическая эквивалентность является отношением эквивалентности(между топологическими пространствами).Пример 7.1.1. Аффинное пространство Rn гомотопически эквивалентно точке.2. Окружность S 1 гомотопически эквивалентна плоскости без точки R2 \ {0}.3.

Прямая R1 гомотопически не эквивалентна окружности S 1 .Следующие утверждения, сформулированные в виде задач, показывают, что гомотопические эквивалентности между гладкими многообразиями могут быть выбраны гладкими.Задача 3.14. Пусть f — непрерывное отображение компактного многообразия M m в многообразие N n .Доказать, что отображение f гомотопно гладкому отображению M m −→ N n.Задача 3.15 (∗ ). Доказать утверждение предыдущей задачи для произвольного многообразия M m .Задача 3.16.

Пусть f и g — гомотопные гладкие отображение компактного многообразия M m в многообразие N n . Тогда между ними существует гладкая гомотопия (т.е. гладкое отображение F : M m × I −→ N n такое,что F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x)).Задача 3.17 (∗ ). Доказать утверждение предыдущей задачи для произвольного многообразия M m .Следствие 3.1. Если гладкие многообразия M m и N n гомотопически эквивалентны, то между ними существуют гладкие гомотопические эквивалентности ϕ : M m −→ Nn и ψ : Nn −→ M m (ψ ◦ ϕ ∼ idM m , ϕ ◦ ψ ∼ idN n ).243.8.

Гомотопическая инвариантность когомологий де РамаТеорема 3.7 (A). Группы когомологий де Рама являются гомотопическими инвариантами многообразий,т.е. гомотопически эквивалентные многообразия имеют изоморфные группы когомологий.Это утверждение является следствие следующей теоремы, которая в определенном смысле является «болееправильной» (или более математически грамотной) формой утверждения о гомотопической инвариантностикогомологий де Рама. Гладкое отображение f : M m −→ N n индуцирует для любого k (линейное) отображение∗∗knkmf = fk : HdR (N ) −→ HdR (M ) групп когомологий де Рама.Теорема 3.8 (B).

Если (гладкие) отображения f0 и f1 многообразия M m в многообразие N n гомотопны,kkто индуцированные отображения f0∗ и f1∗ групп когомологий де Рама HdR(N n ) −→ HdR(M m ) совпадают.Выведем сначала теорему A из теоремы B. Пусть ϕ : M m −→ Nn и ψ : Nn −→ M m — гладкие гомотопические эквивалентности между мноmnгообразиями M и N : ψ ◦ ϕ ∼ idM m , ϕ ◦ ψ ∼ idN n ). Тогда ϕ∗ ◦ ψ ∗ = (ψ ◦ ϕ)∗ = id∗M m = idHdRk (M m ) ,∗∗∗∗∗∗ψ ◦ ϕ = (ϕ ◦ ψ) = idN n = idHdRk (N n ) . Следовательно, (линейные) отображения ϕи ψ являются взаимноkkобратными изоморфизмами между HdR(M m ) и HdR(N n ).

Приступим теперь к доказательству теоремы B. Пусть ft : M m −→ N n (t ∈ I = [0, 1]) — гладкая гомотопия между отображениями f0 и f1 и пусть F —(гладкое) отображение M m × I −→ N n , определяемое формулой F (x, t) = ft (x). Нам надо доказать, что длязамкнутой k–формы ω на многообразии N n формы f0∗ ω и f1∗ ω определяют один и тот же класс когомологийk(элемент группы HdR(M m )), т.е. что форма f1∗ ω − f0∗ ω на многообразии M n точна (равна dη для некоторой(k − 1)-формы η).При доказательстве мы будем использовать схему, широко распространенную в алгебраической топологииии в коммутативной алгебре.

Предположим, что D = Dk : Ωk (N n ) −→ Ωk−1 (M m ) — операторы, определенныеknдля каждого k на пространстве Ω (N ) всех (а не только замкнутых) k–форм на многообразии N n ), для кото∗∗∗—= Dk+1 dk + dk+1 Dk ; здесь dk = d и fi(k)− f0(k)рых имеет место равенство f1∗ − f0∗ = ±Dd ± dD (т.е. f1(k)соответствующие операторы (внешнее дифференцирование и оператор, индуцированный отображением fi ) напространствах k–форм, i = 0, 1. В этом случае для замкнутой формы ω имеем f1∗ ω − f0∗ ω = ±d(Dω), что и требовалось. (Семейство операторов Dk , обладающих описанными свойствами, называется (ко)цепной гомотопией(между f0∗ и f1∗ ).) Мы (явно) построим такие операторы D.

(В действительности у нас знаки ± в соответствующих формулах будут отсутствовать: f1∗ − f0∗ = Dd + dD.)Пусть ω — k-форма на многообразии N n . Рассмотрим ее обратный образ F ∗ ω (при отображении F : M m × I−→ N n ) на многообразии M n × I. k-форма Ω на декартовом произведении M m × I имеет видXXΩi1 ...ik dxi1 ∧ . . .

∧ dxik +Ω′i1 ...ik−1 dt ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik−1 ,i1 <...<iki1 <...<ik−1где x1 , . . . , xm — (локальные) координаты на многообразии M m , t — (естественная) координата на отрезкеI = [0, 1]. Отсюда следует, что форма Ω однозначно представима в виде Ω1 + dt ∧ Ω2 , где формы Ωi не содержатдифференциал dt координаты t (коэффициенты форм Ωi , конечно, являются функциями как от x1 , .

. . , xm , таки от t; Ω1 — k–форма, Ω2 — (k − 1) — форма). Пусть F ∗ ω = ω1 + dt ∧ ω2 — такое представление для формы F ∗ ω.Определим Dω формулойZ 1Dω =ω2 dt.(1)0Здесь под интегралом понимается интеграл формы по параметру t, т.е. форма, коэффициенты которой равныинтегралам от соответствующих коэффициентов формы ω2 . После интенрирования по t коэффициенты формыбудут функциями только от x1 , . .

. , xm , т.е. Dω является (k − 1)–формой на многообразии M m . Для проверкиравенства f1∗ ω − f0∗ ω = Ddω + dDω вычислим f1∗ ω − f0∗ ω, Ddω и dDω.Пусть it : M m −→ M m × I — вложение, переводящее x ∈ M m в (x, t) ∈ M m × I. Имеем F ◦ it = ft ,ft∗ ω = i∗t ◦ F ∗ ω = i∗t (ω1 + dt ∧ ω2 ) = ω1 |t=const (т.к. i∗t dt = 0). Поэтомуf1∗ ω−f0∗ ω= ω1 |t=1 − ω1 |t=0 =Z0Из (1) следует, чтоdDω =Z1∂ω1dt.∂t(2)1dx ω2 dt,(3)0где через dx ω2 обозначен внешний дифференциал формы ω2 по x-координатам (сумма мономов формы dω2 ,не содержащих дифференциал dt). Для вычисления Ddω надо написать представление формы F ∗ dω в виде25Ω1 + dt ∧ Ω2 .

Имеем F ∗ dω = d(F ∗ ω) = d(ω1 + dt ∧ ω2 ) = dx ω1 + dt ∧ (∂ω1 /∂t) − dt ∧ dx ω2 , откудаDdω =Z01(∂ω1− dx ω2 )dt.∂t(4)Формулы (2), (3) и (4) вместе дают требуемое равенство f1∗ ω − f0∗ ω = Ddω + dDω. Поскольку аффинное пространство Rn гомотопически эквивалентно точке, имеем:Следствие 3.2.(0 при k 6= 0,knHdR (R ) =R при k = 0.kИз тривиальности групп HdR(Rn ) когомологий де Рама аффинного пространства Rn вытекает:Следствие 3.3 (Лемма Пуанкаре). Любая замкнутая k-форма на аффинном пространстве Rn точна.То же самое утверждение имеет место для любой области в Rn , гомотопически эквивалентной точке, например, для шаровой окрестности точки.PЗадача 3.18.

Пусть ω =ωi1 ...ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik — замкнутая k–форма на пространстве Rn . Написатьi1 <...<ikявную формулу, определяющую (k − 1)–форму χ, для которой dχ = ω.0Задача 3.19 (∗ ). Доказать, что HdR(M n ) — линейное пространство, размерность которого равна количествуnсвязных компонент многообразия M . (Говорят, что две точки x и y лежат в одной компоненте связностимногообразия M n , если их можно соединить путем, т.е. если существует (непрерывное) отображение f : I−→ M n отрезка I = [0, 1] в многообразие M n такое, что f (0) = x, f (1) = y.)nПусть M n — замкнутое (т.е.

компактное без края) ориентированное многообразие, a ∈ HdR(M Rn ). Пусть ω —n(замкнутая) n–форма на многообразии M из класса смежности a: [ω] = a. Покажем, что интеграл M n ω зависиттолько от класса формы ω в группе когомологий де Рама, т.е. от элемента a. Действительно, пусть ω ′ — другая′′′n–формаизR класса смежности: [ω ] = a. Тогда ω − ω — точная форма: ω R− ω = dη.R Следовательно,R того жеR′M n ω = M n ω + M n dη, а последний интеграл равен нулю по теореме Стокса: M n dη = ∂M n η = 0 (т.к.n∂M n = ∅). Тем самым определено (линейное) отображение int : HdR(M n ) −→ R.Замечание. Требование, что многообразие M n ориентированно существенно: интеграл n–формы по неориентированному n–мерному многообразию не определен.Задача 3.20 (∗ ). Доказать, что int — отображение на.Следствие 3.4.

Характеристики

Список файлов лекций