С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Разбиением единицы, вписанным в покрытие {Uα }, называется семейство (гладких) функций{ϕα } на многообразии M n такое, что:1) 0 6 ϕα (x) 6 1 для любой точки x ∈ M n ;2) носитель supp ϕα = {x ∈ M n : ϕα (x) 6= 0} функции ϕα содержится в Uα (через X обозначается замыканиеподмножества X ⊂ M n );3) у любой точки x ∈ M n существует ее окрестность U , для которой количество функций ϕα , не равных(тождественно)нулю на U , конечно;P4)ϕα ≡ 1 (указанная сумма имеет смысл в силу условия 3).αЗамечание.
Хотя априори мы ничего не предполагаем о количестве (мощности множества) элементов покрытия Uα , однако без ограничения общности можно считать, что множество индексов α не более, чем счетно.Более точно, можно показать, что: 1) из любого (открытого) покрытия (гладкого) многообразия можно выбрать не более чем счетное; 2) в любом случае множество тех индексов α, для которых функция ϕα не равнатождественно нулю, не более чем счетно. (Задача: докажите это.)Теорема 3.2. Для любого открытого покрытия {Uα } многообразия M n существует вписанное в него разбиение единицы.
Покажем сначала, что любое многообразие может быть представлено как объединение счетного числакомпактных множеств. Внутренностью Int Y подмножества Y топологического пространства X называетсяX \ X \ Y , т.е. множество точек x, лежащих в Y вместе с некоторой окрестностью U = U (x).Лемма 3.3. Существует такая последовательность Ki (i = 1, 2, . . .) компактных подмножеств многообразияM n , что:1) Ki ⊂ Int Ki+1 ;∞S2)Ki = M n .i=1Замечание.
Если многообразие M n компактно, то можно положить Ki = M n для всех i. Нетрудно показать, что многообразие M n имеет счетное покрытие открытыми областями Wi , каждаяиз которых является открытым шаром (некоторого радиуса ri ) в какой-нибудь из координатных окрестностей(вообще говоря, каждая в своей). (Такое покрытие можно построить, например, следующим способом. Следуетвзять элементы счетной базы открытых множеств многообразия M n , содержащиеся в картах некоторого атласа(зафиксировав свою карту для каждого из элементов базы). Это семейство также является базой открытых19множеств в M n .
В качестве покрытия {Wi } можно взять семейство всех открытых шаров рационального радиусас центрами в рациональных точках в этих элементах базы (в соответствующих картах).) Теперь пусть K1 —замкнутый шар радиуса (1 − 1) · r1 в шаре W1 ; K2 — объединение замкнутого шара радиуса (1 − 21 ) · r1 в шаре W1и замкнутого шара радиуса (1 − 1) · r2 в шаре W2 ; . . . ; Ki — объединение замкнутого шара радиуса (1 − 1i ) · r1 в1шаре W1 , замкнутого шара радиуса (1 − i−1) · r2 в шаре W2 , . . .
, замкнутого шара радиуса (1 − 12 ) · ri−1 в шареWi−1 и замкнутого шара радиуса (1−1)·ri в шаре Wi ; . . . Нетрудно видеть, что построенная последовательностьмножеств Ki обладает требуемыми свойствами. Для каждой точки x ∈ M n выберем окрестность A(x), обладающую следующими свойствами:1) A(x) содержится в одном из элементов покрытия Uα ;2) A(x) является (открытым) шаром с центром в точке x (некоторого радиуса r = r(x)) в некоторой координатной окрестности;3) если x ∈ Ki \ Ki−1 , то окрестность A(x) не пересекается ни с множеством M n \ Ki+1 , ни с множеством Ki−1 .Пусть A′ (x) и A′′ (x) — открытые шары в шаре A(x) радиусов r(x)/3 и 2r(x)/3 соответственно.
Пусть η(t) —бесконечно дифференцируемая функция переменной t, которая принимает значения от 0 до 1, равна единицепри t < 13 и равна нулю при t > 23 (существование подобной функции доказывалось в курсе анализа). Пустьψx — (бесконечно дифференцируемая) функция на многообразии M n , равная η(r/r(x)) в шаре A(x) (r — “растояние” до центра в шаре A(x)) и равная нулю вне A(x). Семейство {A′ (x)} является открытым покрытиеммногообразия M n .
Для любого компактного множества из этого покрытия можно выбрать конечное. Пусть x1 ,kS1 ′. . . , xk1 — такое множество точек (компактного) множества K1 , что K1 ⊂A (xi ); xk1 +1 , . . . , xk2 — такоеi=1множество точек из K2 \ K1 , что K2 ⊂k2S′A (xi ); . . . ; xks−1 +1 , .
. . , xks — такое множество точек из Ks \ Ks−1 ,i=1что Ks ⊂ksSA′ (xi ); . . . Функции ψi = ψxi обладают следующими свойствами:i=11) 0 6 ψi (x) 6 1;2) supp ψi ⊂ A(xi );3) для любой точки x ∈ M n существует такой номер i, что ψi (x) = 1;4) множество Ks+1 пересекается с supp ψi только если i 6 ks+2 ; поэтому у любой точки из множества Ks существует ее окрестность (Int Ks+1 ), для которой количество функций ψi , не равных (тождественно) нулю на ней,конечно.Замечание.
Существование последовательности функций ψi , обладающей описанными здесь свойствами,полезно для ряда задач (например, для доказательства вложимости гладкого многообразия в аффинное пространство).Для каждого i выберем α = α(i) так, что A(xi ) ⊂ Uα (тогда supp ψi содержится в Uα(i) ). ПоложимPψi (x)ϕα (x) =i: α=α(i)Pψi (x).iНетрудно видеть, что семейство функций ϕα является разбиением единицы, вписанным в покрытие {Uα }. 3.4. Интеграл формы по многообразиюСуществование разбиения единицы в общей ситуации (для некомпактного многообразия) используется длядоказательства ряда утверждений, таких как продолжимость функции или дифференциальной формы с подмножества на многообразие, вложимость многообразия в аффинное пространство, аппроксимируемость непрерывного отображения гладким, ... Для наших ближайших целей потребуется только существование разбиенияединицы для компактного многообразия.
Такое разбиение единицы конечно, т.е. в него входит конечное числофункций, отличных от нуля.Пусть M n — гладкое n–мерное ориентированное многообразие (с краем или без), ω — дифференциальнаяn–форма на M n . Мы хотим определить интеграл формы ω по многообразию M n . Если подмногообразие M nнекомпактно (например, если M n — аффинное пространство Rn ), возникают трудности, связанные со сходимостью интеграла. Методы преодоления подобных трудностей обсуждаются в математическом анализе и мы небудем здесь на них останавливаться.
Поэтому мы будем предполагать, что многообразие M n компактно. (Безкаких-либо изменений можно предполагать, что многообразие M n произвольно, но форма ω имеет компактныйноситель.)Предположим, сначала, что форма ω имеет «небольшой» носитель в том смысле, что этот носитель целикомпомещается в пределах одной координатной карты (U, Ψ) (из ориентирующего (!) атласа) (Ψ : U −→ V, V —открытое подмножество пространства Rn или полупространства Rn− , supp ω ⊂ U ). В этом случае мы можем20Rдать следующее «определение»: интеграломω формы ω по многообразию M n называется «ее интеграл вMnR−1 ∗соответствующейкарте», т.е. интеграл V (Ψ ) ω.
Если (Ψ−1 )∗ ω = f · dx1 ∧ . . . ∧ dxn , то последний интеграл —R1это V f ·dx ·. . .·dxn . Независимость этого «определения» от выбора координатной карты, в которой помещаетсяноситель supp ω формы ω, обсуждалась ранее.Теперь пусть ω — произвольная n–форма на многообразии M n и пусть {(Ui , Ψi )} (i = 1, . . .
, N ) — ориентирующий атлас на M n .N RRPОпределение. Интегралом M n ω формы ω по многообразию M n называетсяϕ ω, где {ϕi } — разMn ii=1биение единицы, вписанное в покрытие {Ui }.Замечание. В этом определении каждая из дифференциальных форм ϕi ω имеет носитель, содержащийся водной из координатных карт, и поэтому ее интеграл дается предыдущим «определением». Очевидно, что такойинтеграл линеен как функция от формы.В частности,RRRесли ω = ω1 + ω2 , где носители форм ω1 и ω2 лежат водной координатной окрестности, то M n ω = M n ω1 + M n ω2 .Утверждение 3.4. Определение интеграла формы ω по многообразию M n корректно, т.е.
не зависит отвыбора атласа {(Ui , Ψi )} и разбиения единицы {ϕi }. Пусть {(Uj′ , Ψ′j )} (j = 1, . . . , M ) — другой (ориентирующий) атлас на многообразии M n , {ϕ′j } — разбиениеединицы, вписанное в покрытие {Uj′ }. ИмеемM ZXj=1Mnϕ′j ω=M ZXj=1=N ZXi=1MnMnϕ′jNXϕii=1ϕi MXj=1!ω=M XN ZXj=1 i=1ϕ′j ω =N ZXi=1Mnϕ′j ϕi ω =ϕi ω.Mn(Мы воспользовались линейностью интеграла в описанной выше формулировке.) Укажем на некоторые(очевидные)свойстваинтеграла.RRRRR1.
Линейность: M n (ω1 + ω2 ) = M n ω1 + M n ω2 , M n (λω) = λ M n ω (λ ∈ R).2. Аддитивность по отношению к разбиениям области интегрирования. Конечно, такая аддитивность имеетместо по отношению к широкому классу разбиений области интегрирования. Например, область интегрирования может быть разбита на симплексы или на кубы.
Однако, ни симплексы, ни кубы многообразиями с краемне являются и поэтому, формально говоря, интеграл по симплексу или по кубу нами не был определен. Конечно, нетрудно было бы перефомулировать (или, доформулировать) понятие интеграла так, чтобы оно включалоинтегралы по подобным областям. Однако, мы этого делать не будем и поэтому сформулируем свойство аддитивности в самой простой форме. Пусть замкнутое (компактное без края) ориентированное многообразие M nпредставлено в виде объединения двух многообразий с краем W1n и W2n , пересекающихся по их общему краю:M n = W1n ∪ W2n , W1n ∩ W2n = ∂W1n = ∂W2n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
