С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Вычислим [∇;k , ∇;ℓ ]v i для симметричной аффинной связности. Имеем: ∇;ℓ v i = ∂xℓ + Γpℓ v . Поэтому(используя правило ковариантного дифференцирования тензора типа (1, 1)) получаем: p ip∂Γipℓ p∂ 2 vi∂v∂vp spii ∂viis∇;k ∇;ℓ v =+ Γpℓ k +v + Γpk+ Γsℓ v − Γℓk+ Γsp v .∂xk ∂xℓ∂x∂xk∂xℓ∂xpОтсюда (учитывая симметричность связности) имеем:"#∂Γipℓ∂Γipkqqiiip[∇;k , ∇;ℓ ]v = v−+ Γqk Γpℓ − Γqℓ Γpk .∂xk∂xℓОбозначим"∂Γipℓ∂Γipk−+ Γiqk Γqpℓ − Γiqℓ Γqpk∂xk∂xℓ#iiiчерез Rp;kl. Поскольку (для любого векторного поля v p ) v p Rp;klявляется тензором, Rp;kl— тензор типа (1, 3).iТензор Rp;kl называется тензором кривизны.

Поскольку он равен нулю для евклидова пространства, имеемiСледствие 4.6. Если тензор кривизны Rp;klне равен тождественно нулю, то риманово многообразие M nлокально не изоморфно евклидову пространству.Задача 4.3. Вычислить тензор кривизны для двумерной сферы S 2 (например, в координатах ϕ и ψ, вкоторых метрический тензор имеет вид (dψ)2 +cos2 ψ(dϕ)2 ) и тем самым показать, что двумерная сфера локальноне изоморфна евклидовой плоскости R2 .Задача 4.4. Доказать утверждение предыдущей задачи (о неизоморфности S 2 и R2 ) без использованиятензора кривизны.4.4.

Свойства тензора кривизныiiiТеорема 4.8. 1) Тензор кривизны Rp;klкососимметричен по индексам k и ℓ: Rp;kℓ= −Rp;ℓk.iii2) Rpkℓ+ Rkℓp+ Rℓpk= 0 (тождество Якоби). 3) Если (симметричная) связность согласована с метрикой gij , то33iпри фиксированных k и ℓ величины Rp;kℓявляются матричными элементами кососимметричного (относительноmрассматриваемой метрики) оператора. Это свойство удобно формулировать в терминах тензора Ripkℓ = gim Rp;kℓiтипа (0, 4), получаемого из тензора кривизны опусканием индекса. Кососимметричность оператора Rp;kℓ (прификсированных k и ℓ) означает, что Ripkℓ = −Rpikℓ .

4) Для симметричной связности согласованной с римановойметрикой Ripkℓ = Rkℓip .Замечание. В действительности свойства 1 и 3 выполняются и без предположения о симметричности связности. Однако тензор кривизны несимметричной связности мы здесь не обсуждаем.Замечание. Из описанных свойств вытекает, в частности, что для двумерного риманова многообразия (поверхности) все ненулевые компоненты тензора Rijkℓ отличаются друг от друга только знаком. Таким образомвсе они определяются одной, например, R1212 .i Свойство 1 очевидно (см.

формулу для Rp;kl). Свойство 2 также проверяется непосредственно. Длядоказательства свойства 3 достаточно проверить, что для любого векторного поля ξ имеет место равенство∂([∇;k , ∇;ℓ ]ξ, ξ) = 0. Имеем (вследствие согласованности связности с метрикой) ∂xℓ (ξ, ξ) = ∇;ℓ (ξ, ξ) = 2(∇;ℓ ξ, ξ).Поэтому1 ∂2(ξ, ξ) = (∇;k ∇;ℓ ξ, ξ) + (∇;ℓ ξ, ∇;k ξ).(1)2 ∂xk ∂xℓМеняя местами k и ℓ, получаем1 ∂2(ξ, ξ) = (∇;ℓ ∇;k ξ, ξ) + (∇;k ξ, ∇;ℓ ξ).2 ∂xℓ ∂xk(2)Вычитая из формулы (1) формулу (2), получаем требуемое равенство Свойство 4 является формальным следствием свойств 1–3 (докажите самостоятельно или посмотрите в любом учебнике).

34.

Характеристики

Список файлов лекций