С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 12
Текст из файла (страница 12)
dγ(t)(0) = wq ). Касательное пространство Tx0 M k к подмногообразию M k в точке x0 порождено какdtбазисом векторами∂∂xi=∂y j ∂∂xi ∂y j .Обозначим через Γipq компоненты разложения проекции вектора∂ 2yj∂(x0 ) j∂xp ∂xq∂y∂∂iна подпространство Tx0 M k ⊂ Rn по базису { ∂xi }, т.е. пусть эта проекция равна Γpq ∂xi .
Тогда проекция на подj∂y∂∂iq ∂v iipпространство Tx0 M k производной по t в нуле вектора v i (γ(t)) ∂x=v(γ(t))(γ(t))равнаw+Γv.ipq∂xi∂y j∂xqВ соответствии с нашим описанием этот касательный вектор (в точке x0 многообразия M k ) следует рассматривать как производную ∇w v векторного поля v = v(x) по направлению вектораw на подмногообразииM k .
Мы будем называть вектор ∇w v, i–ая компонента ∇w v i которого равна wq∂v i∂xq+ Γipq v p , ковариантнойпроизводной векторного поля v = v(x) по направлению вектора w ∈ Tx0 M k . Для w =обозначать вектор ∇w v через v;q или ∇;q v;i∇;q v i (= v;q)=∂∂xqмы будем обычно∂v i+ Γipq v p .∂xq∂∂Замечание. Можно показать, что величины Γipq выражаются через компоненты gij = ( ∂xi , ∂xj ) =nPs=1∂y s ∂y s∂xi ∂xjметрического тензора на многообразии M k (индуцированного из стандартного скалярного произведения в пространстве Rn ). Мы получим этот факт позже как следствие более общего утверждения.Прежде, чем перейти к описанию соответствующего обобщения на произвольные многообразия (не обязательно подмногообразия аффинного пространства), сделаем несколько замечаний (некоторые из которых будутиспользованы немедленно, а некоторые — чуть позже).1) При фиксированном w ∈ Tx0 M k ковариантная производная ∇w v является касательным вектором в точке x0 .2) При фиксированном векторном поле v = v(x) ковариантная производная ∇w v линейна по w ∈ Tx0 M k .iСвойства 1) и 2) означают, что v;q— тензор типа (1, 1).2 j2 jy∂ yii3) Поскольку ∂x∂p ∂xq = ∂xq ∂xp , имеем Γpq = Γqp .4) При описанном выше переносе вектора из точки γ(t) в точку γ(0) (t мало) вектор меняется на ортогональный ему вектор, величина которого является бесконечно малой по t порядка не выше 1.
Отсюда следует, чтопри таком переносе скалярное произведение двух векторов меняется (если вообще меняется) только на величину порядка t2 . Этим свойством мы воспользуемся когда будем обсуждать соотношение между (ковариантным)дифференцированием векторов (и тензоров вообще) с римановой метрикой.28Теперь мы можем сформулировать обобщение описанной конструкции на произвольные гладкие многообразия.Определение.
Аффинной связностью (или операцией ковариантного дифференцирования) на многообразии M k называется способ дифференцирования векторных полей v = v(x) вдоль касательных векторовw ∈ Tx0 M k , результатом которого является касательный вектор ∇w v в точке x0 и который в локальных координатах x1 , . . . , xk записывается формулой i∂viqip+ Γpq v ,∇w v = w∂xqгде Γipq — функции от x1 , . .
. , xk (v i и wi — компоненты векторов v и w в координатах x1 , . . . , xk ).i∂viip= ∇∂/∂xq v i = ∂xПоскольку ∇w v i — вектор, линейно зависящий от w, v;qявляется тензором типаq + Γpq v(1, 1).Выясним, как меняются величины Γipq при замене (локальных) координат. Заодно мы сможем понять, являe eı — величины, описывающиеется ли Γipq тензором. Пусть xe1 , . . . , xek — другая система локальных координат, Γpe qeоперацию ковариантного дифференцирования в этих координатах.Теорема 4.1.pqxeı∂ 2 xii ∂x ∂xe eı = ∂eΓ+.Γpqpe qe∂xi∂expe ∂exqe ∂expe∂exqeВ новых координатах имеем:∂veıe eı vepe.+Γpe qe∂exqeiС другой стороны, пользуясь тем, что vq — тензор типа (0, 1), получаем: i eı q∂v∂ex ∂x∂exeı ∂xqip+Γv=veeıqe = vqi i qe =pq∂x ∂ex∂xq∂xi ∂exqe eı eı qip∂v i ∂exeıxeı ∂xq∂∂ex∂ex ∂xip ∂epe ∂xipe ∂x=+ Γpq v=ve+ Γpq ve=qeiiqeqepeipe∂ex ∂x∂x ∂ex∂ex∂ex∂x∂ex∂xi ∂exqe 2 ipq∂ev pe ∂exeı∂ x ∂exeıxeıpei ∂x ∂x ∂e=+ ve+ Γpq pe qe i =∂exqe ∂expe∂expe∂exqe ∂xi∂ex ∂ex ∂xqp∂exeı∂ 2 xi∂eveıi ∂x ∂x+Γ+vepe.=pq∂exqe∂xi∂expe ∂exqe ∂expe∂exqeveeqıe =(1)(2)Сравнивая формулы (1) и (2), получаем требуемый результат.
Следствие 4.1. Коэффициенты связности Γipq преобразуются как компоненты тензора при аффинных заменах координат.Следствие 4.2. Разность Γipq − Γiqp является тензором.Тензор Γipq − Γiqp называется тензором кручения аффинной связности. Связность называется симметричной,если ее тензор кручения равен нулю.Перейдем к (ковариантному) дифференцированию тензоров произвольного порядка. Для того, чтобы выяснить, как дифференцируются тензоры различных типов, сформулируем некоторые требования к ковариантномудифференцированию тензоров. Все эти требования можно рассматривать как следствия некоторых (естественных) требований к операции переноса тензоров из точки в (близкую) точку (например, результат переносатензорного произведения двух тензоров равен тензорному произведению результатов их переноса и, вообще,перенос тензоров согласован с тензорными операциями).
Из–за недостатка времени мы на не будем обсуждатьтребования к операции переноса, а сразу сформулируем свойства ковариантного дифференцирования, которыми мы будем пользоваться. Эти свойства (или требования) — следующие.1) Операция ковариантного дифференцирования линейна.2) Ковариантная производная функции (т.е. тензора типа (0, 0)) — это обычная производная (по направлениювектора).i3) Ковариантная производная векторного поля v в локальных координатах определяется формулой v;q=∂v i∂xq+ Γipq v p .4) Ковариантная производная удовлетворяет правилу Лейбница дифференцирования произведения: ковариантная производная тензорного произведения U ⊗ V тензоров U и V (произвольного типа) дается формулой(U ⊗ V );q = U;q ⊗ V + U ⊗ V;q .295) (Ковариантная) производная свертки тензора (по двум его индексам) равна свертки производной (по соответствующим индексам).Из этих свойств вытекают формулы для ковариантных производных произвольных тензоров.Теорема 4.2.
Пусть ξi = ξi (x) — ковекторное поле. Тогдаξi;q (= ∇;q ξi ) =∂ξi− Γpiq ξp .∂xq Пусть v i = v i (x) — векторное поле. Величина ξi v i (значение ковектора ξ на векторе v) является скаляроми поэтому дифференцируется «обычным образом»:(ξi v i );q =∂(ξi v i )∂ξi i∂v i=v+ξ.i∂xq∂xq∂xqС другой стороны, в соответствии с перечисленными свойствами имеем: i∂v∂v iiiiiipi(ξi v );q = ξi;q v + ξi v;q = ξi;q v + ξi+Γv=ξv+ξ+ ξp Γpiq v ii;qipq∂xq∂xq(1)(2)(в последней части равенства мы поменяли местами индексы i и p, по которым производится суммирование).Сравнивая (1) и (2), получаем∂ξipi−Γξξi;q v i =iq p v .∂xqПокольку это равенство имеет место для любого векторного поля v, получаем требуемую формулу. Пусть Tij , Tij и T ij — тензоры типов (0, 2), (1, 1) и (2, 0) соответственно.Теорема 4.3.∂TijTij;q =− Γpiq Tpj − Γpjq Tip ,∂xqiTj;q=T;qij =∂Tji+ Γipq Tjp − Γpjq Tpi ,∂xq∂T ij+ Γipq T pj + Γjpq T ip .∂xq Докажем это утверждение для тензора типа (0, 2).
Любой тензор типа (0, 2) представим (по крайнеймере локально) в виде суммы тензоров вида ξi ηj , т.е. тензорных произведений ковекторов. Поэтому утверждениедостаточно доказать для тензора Tij = ξi ηj . Имеем∂ξi∂ηjppTij;q = (ξi ηj );q = ξi;q ηj + ξi ηj;q =− Γiq ξp ηj + ξi− Γjq ηp =∂xq∂xq=∂(ξi ηj )∂Tij− Γpiq ξp ηj − Γpjq ξi ηp =− Γpiq Tpj − Γpjq Tip ,q∂x∂xqчто и требовалось доказать. Задача 4.1 (∗ ).
Доказать указанные формулы для тензоров типа (1, 1) и (2, 0).Задача 4.2 (∗ ). Написать и доказать аналогичную формулу для ковариантной производной тензора произвольного типа.4.2. Метрический тензор и ковариантное дифференцированиеОбсуждение ковариантного дифференцирования тензоров на произвольных многообразиях мы начинали (используя в качестве модельного примера) с (ковариантного) дифференцирования векторов (или, точнее, векторных полей) на подмногообразиях аффинного пространства.
В действительности, описанная нами конструкцияимела смысл не в произвольном аффинном пространстве, а в евклидовом: существенной частью конструкциибыло рассмотрение (ортогонального) проектирования на касательное пространство к подмногообразию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
