С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналогом евклидовой структуры на аффинном пространстве является риманова метрика на гладком многообразии.Мы знаем, что на любом многообразии существует риманова метрика.Замечание. Некоторые из последующих утверждений имеют место и на многообразиях с, так называемой,псевдоримановой метрикой. Псевдоримановой метрикой называется симметричное невырожденное (det (gij ) 6=300) тензорное поле типа (0, 2). Положительно определенная квадратичная форма невырождена. Поэтому риманова метрика является частным случаем псевдоримановой метрики.Мы заметили, что перенос векторов вдоль кривой на подмногообразии евклидова пространства обладаетследующим свойством (см.
замечание после соответствующего обсуждения). Если u(t) (аналогично v(t)) — векторное поле вдоль кривой γ(t), полученное переносом одного вектора вдоль этой кривой, то скалярное произ= 0. Если вектора u(t) получены операциейведение (u(t), v(t)) векторов u(t) и v(t) есть o(t), т.е. d(u(t),v(t))dt|t=0перенесения вдоль кривой γ(t) с γ̇(0) = w из одного вектора, то ∇w u(t) = 0 (аналогично для v(t)). (В этомслучае в числителе соответствующего предела, определяющего ∇w v(t), стоит тождественный ноль.) Скалярноепроизведение (u, v) = gij ui v j — это скаляр.
Следовательно, его (обычная) производная (по направлению вектораw) совпадает с ковариантной:0=d(u(t), v(t))j= (u(t), v(t));w = gij;w ui v j + gij ui;w v j + gij ui v;w= gij;w ui v jdt|t=0i(т.к. ui;w = v;w= 0). Отсюда следует, что gij;w = 0. Это является мотивировкой следующего определения.Определение. Говорят, что аффинная связность на римановом многообразии M k согласована с римановойметрикой, если gij;q = 0.Теорема 4.4. На римановом многообразии существует и единственна симметричная аффинная связность,согласованная с метрикой.
Пусть Γipq — коэффициенты связности в локальных координатах x1 , . . . , xk . Имеем:0 = gij;q =∂gij∂gij− Γpiq gpj − Γpjq gip =− Γpiq gpj − Γpjq gpi .q∂x∂xq(0)Пусть Γj,iq = Γpiq gpj — результат опускания индекса у величин Γpiq (Γpiq — не тензор, поэтому и Γj,iq тензором неявляется). Имеет место симметрия Γj,iq = Γj,qi . С учетом этих обозначений уравнение (0) может быть записанов виде∂gijΓj,iq + Γi,jq =.(1)∂xqЦиклически переставляя индексы в уравнении (1) получаем еще два уравнения:Γq,ji + Γj,qi =∂gjq,∂xi(2)Γi,qj + Γq,ij =∂gqi.∂xj(3)Имеем(3) + (1) − (2) = 2 · Γi,jq =∂gij∂gqi∂gjq+−∂xq∂xj∂xi(здесь мы пользовались симметричностью связности).
Таким образом1 ∂gij∂gqi∂gjqΓi,jq =+−.2 ∂xq∂xj∂xiПоднимая индекс у Γi,jq , получаемΓsjqg si(= g Γi,jq ) =2si∂gij∂gqi∂gjq+−∂xq∂xj∂xi.(4)Тем самым единственность связности доказана. В действительности одновременно мы (почти) доказали и еесуществование. Оно вытекает из следующих рассуждений. В каждой карте рассмотрим связность, коэффициенты которой определяются формулой (4). Нам надо доказать, что получается действительно связность, т.е. припереходе от карты (Uα , Φα ) к карте (Uβ , Φβ ) коэффициенты преобразуются требуемым образом. Рассмотримсвязность, получаемую из связности на Uα при переходе от карты (Uα , Φα ) к карте (Uβ , Φβ ) (т.е. — связность наUα ∩Uβ , определённую известными нам формулами преобразования). Относительно этой связности производнаяметрического тензора равна нулю и по доказанному в карте Uβ она единственна и задаётся такой же формулой(4), что и требовалось доказать.
Замечание. Аффинная связность, согласованная с метрикой, называется связностью Леви–Чивита. Нетрудно видеть, что утверждение о существовании и единственности согласованной с метрикой аффинной связностиимеет место и для псевдориманова многообразия.31Ковариантная производная векторного поля v = v(x) по направлению вектора w на подмногообразии M kевклидова пространства Rn (w ∈ Tx0 M k ) определялась через операцию переноса вектора (v(γ(t))) вдоль кривойγ(t) на многообразии M k (γ(0) = x0 , dγdt (0) = w). Если предположить, что вектора v(γ(t)) получены из вектора v(γ(0)) переносом вдоль кривой γ(t), то ковариантная производная ∇γ̇(t) v i равна нулю при любом t (мывоспользовались тем, что результат переноса вектора вдоль кривой γ(t) из точки с t = t0 в точку с t = t1 споследующим переносом из точки с t = t1 в точку с t = t2 совпадает с его переносом из точки с t = t0 в точку сt = t2 ).
Отсюда вытекает, что∇γ̇(t) v i =∂v i dxqdv i (γ(t))+ Γipq v p γ̇ q (t) =+ Γipq v p γ̇ q (t) = 0.q∂x dtdtЭто является мотивировкой для следующего общего определения.Определение. Пусть M k — многообразие с аффинной связностью. Говорят, что вектора v(γ(t)) ∈ Tγ(t) M kполучены из вектора v0 ∈ Tx0 M k (x0 = γ(0)) параллельным переносом вдоль кривой γ(t), если они удовлетворяют дифференциальному уравнению∇γ̇(t) v i =dv i (γ(t))+ Γipq v p γ̇ q (t) = 0,dt(1)v(γ(0)) = v0 .(1) является (линейным) обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешеннымотносительно производной.Следствие 4.3. Для любого (дифференцируемого) пути γ(t) корректно определена операция параллельногопереноса векторов, которая является линейным отображением Tγ(0) M k −→ Tγ(t) M k и гладко зависит от t.Замечание.
Результат параллельного переноса из точки γ(0) в точку γ(t0 ), вообще говоря, зависит от путиγ(t), а не только от концов γ(0) и γ(t0 ).При движении материальной точки по подмногообразию в евклидовом пространстве (скажем, по поверхности в R3 ) сила и, следовательно, ускорение ортогональны к касательному пространству к подмногообразию. Втерминах ковариантоного дифференцирования это означает, что ковариантная производная вектора скороститочки вдоль ее траектории (т.е. вдоль того же вектора скорости) равна нулю. Такое описание создает основудля следующего определения.Определение. Кривая γ = γ(t) на многообразии M n с аффинной связностью называется геодезической,если∇γ̇(t) γ̇(t) = 0.(∗)Утверждение 4.5. Если γ(t) — геодезическая на римановом многообразии со связностью, согласованной сримановой метрикой, то kγ̇(t)k = const.
Пусть в локальных координатах γ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). Тогдаd(γ̇(t), γ̇(t)) = gij (γ(t))ẋi (t)ẋj (t) ;γ̇(t) =dt= ∇γ̇(t) gij (γ(t)) ẋi (t)ẋj (t) + gij (γ(t)) ∇γ̇(t) ẋi (t) ẋj (t) + gij (γ(t))ẋi (t) ∇γ̇(t) ẋj (t) = 0,т.к. ∇γ̇(t) gij = 0 (поскольку связность согласована с метрикой) и ∇γ̇(t) ẋi (t) = 0, посколькуγ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))является геодезической. Следствие 4.4. Длина геодезической γ(t), t ∈ [0, t0 ], равна t0 kγ̇(0)k.Уравнение геодезических (*) может быть переписано в видеpqd2 xi (t)i dx (t) dx (t)+Γ= 0.pqdt2dtdt(∗∗)Таким образом уравнение геодезических является обыкновенным дифференциальным уравнением, разрешенным относительно старшей (т.е.
второй) производной. Теорема о существовании и единственности решениядифференциального уравнения гарантирует существование (и единственность) решения уравнения (**) прификсированных начальных условиях (γ(0) = x0 , γ̇(0) = v ∈ Tx0 M n ) для достаточно малых значений параметраt. Решение уравнения (**), вообще говоря, может быть не определено для всех значений t от −∞ до +∞, поскольку оно «может уходить на бесконечность за конечное время». Пример такой ситуации — геодезические напроколотой (т.е. с удаленной точкой) стандартной евклидовой плоскости.32Пусть x0 — фиксированная точка многообразия M n .
Для вектора v ∈ Tx0 M n пусть xv = γ(1), где γ(t) —геодезическая (т.е. решение уравнения (*)) с начальными условиями γ(0) = x0 , γ̇(0) = v. Мы говорили, чторешение уравнения (*) определено, вообще говоря, только для достаточно малых значений параметра t. Однако,имеет местоУтверждение 4.6. Точка xv корректно определена для всех векторов v из некоторой окрестности нуля вкасательном пространстве Tx0 M n , т.е.
для достаточно малых v решение уравнения (*) определено для всех t от0 до 1.Это вытекает из того, что для v = 0 решение уравнения (*) очевидным образом определено для всех t.Соответствие v 7→ xv определяет отображение окрестности нуля в Tx0 M n в многообразие M n . Это отображение называется экспоненциальным и обозначается через exp (или через expx0 ): exp(v) = xv , exp : (Tx0 M n , 0)−→ (M n , x0 ).Утверждение 4.7. Экспоненциальное отображение expx0 является изоморфизмом окрестности нуля в касательном пространстве Tx0 M n на окрестность точки x0 в многообразии M n . Это сразу вытекает из того очевидного утверждения, что дифференциал d exp(0) отображения exp внуле является тождественным отображением T0 (Tx0 M n ) ≡ Tx0 M n в Tx0 M n . Следствие 4.5.
Если M n — риманово многообразие, то для любой точки x0 ∈ M n существует такое ε =ε(x0 ), что для любой точки x из некоторой окрестности точки x0 существует геодезическая длины меньше ε,соединяющая x0 с x (т.е. такая, что γ(0) = x0 , γ(1) = x), и при этом только одна.4.3. Тензор кривизныМногообразие с римановой метрикой, вообще говоря, локально не изоморфно евклидову пространству, т.е.в нем не существуют локальные координаты, в которых метрический тензор имеет компоненты gij , равныеδij (символ Кронекера).
Мы приступаем к построению тензорного инварианта, позволяющего, в частности,распознавать римановы многообразия, локально не изоморфные евклидову пространству.Рассмотрим (тензорное) выражение [∇;k , ∇;ℓ ]v i = (∇;k ∇;ℓ − ∇;ℓ ∇;k )v i . В евклидовом пространстве оно тождественно равно нулю. В декартовых координатах это следует из того, что ковариантное дифференцированиесовпадает с обычным, а (обычные) дифференцирования по разным переменным коммутируют друг с другом. (Вдругих координатах также получается тождественный ноль вследствие тензорного характера рассматриваемой∂v ii pвеличины).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
