С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для замкнутого ориентированного многообразия M n имеемndim HdR(M n ) > 1.Это вытекает из того, что на таком многообразии существует неточная n-форма. Такую форму можно построить, например, пользуясь римановой метрикой. Риманова метрика на гладком многообразии является аналогомевклидовой структуры на аффинном пространстве. Структура евклидова пространства задается скалярнымпроизведением векторов. Риманова метрика на многообразии M n — скалярное произведение векторов в касательном пространстве в каждой точке x ∈ M n (гладко зависящее от точки x). Скалярное произведение — это(положительно определенная) симметричная билинейная функция на векторах, т.е.
тензор типа (0, 2).Определение. Римановой метрикой на многообразии M n называется симметричное положительно определенное тензорное поле gij = gij (x) типа (0, 2) на нем. Римановым многообразием называется многообразие сзаданной на нем римановой метрикой.Теорема 3.9. На любом многообразии существует риманова метрика.Доказательство использует теорему о разбиении единицы.Риманова метрика используется для измерения длин кривых и объемов областей на многообразии. Так,Rbдлина кривой γ = γ(t) (γ : [a, b] −→ M n ) равна a kγ̇(t)kdt, где (в координатах: γ(t) = (x1 (t), .
. . , xn (t))) kγ̇(t)k =pgij (γ(t))ẋi (t)ẋj (t).pЗадача 3.21. Пусть M n — ориентированное риманово многообразие. Доказать, что det(gij (x))dx1 ∧ . . . ∧dxn (x1 , . . . , xn — положительно ориентированная локальная система координат на M n ) является (корректноопределенной) n–формой на M n .pn–форма dV = det(gij (x))dx1 ∧.
. .∧dxn называется формой объема на многообразии M n . (Подчеркнем, чтоформа объема имеет смысл только на ориентированном многообразии.) Объем области V ⊂ M n — это интегралформы объема по ней. То, что форма объема не точна, следует из того, что ее интеграл по всему многообразиюM n отличен от нуля (положителен).26Задача 3.22 (∗ ). Доказать, что для замкнутого ориентированного связного многообразия M n группа когоnмологий де Рама dim HdR(M n ) одномерна.Задача 3.23. Пусть M n — неориентируемое связное многообразие.
Доказать, чтоnHdR(M n ) = 0.kЗадача 3.24. Вычислить когомологии HdR(S 1 ) окружности S 1 .kЗадача 3.25 (∗ ). Вычислить когомологии HdR(S 2 ) двумерной сферы S 2 .kЗадача 3.26 (∗∗ ). Доказать, что группы HdR(M n ) когомологий де Рама компактного многообразия M nконечномерны.4. Ковариантное дифференцирование4.1. Ковариантное дифференцированиеИз курса анализа известно, сколь полезной является операция дифференцирования функций. Функцию можно дифференцировать по направлению вектора (как в аффинном пространстве, так и на многообразии). При∂fэтом f;i = ∂xi является тензором типа (0, 1), т.е.
ковектором. Функция — это тензор типа (0, 0). Мы переходим кописанию операции дифференцирования тензора (точнее, тензорного поля) вдоль вектора. Обычное дифференцирование компонент тензора по (локальным) переменным для этой цели не подходит. Так, если v i = v i (x) —∂v iвекторное поле (т.е. тензор типа (1, 0)), то, как мы знаем, ∂xj тензором не является. Поэтому надо подойти кэтой задаче несколько по–иному. Поскольку тензор — понятие (в определенном смысле) вторичное по отношению к понятию (касательного) вектора, начнем с обсуждения операции дифференцирования векторного поляv = v(x) вдоль вектора w ∈ Tx0 M k на k–мерном многообразии M k .
(Принципиально, что мы обсуждаем производную вдоль вектора, а не вдоль векторного поля. В последнем случае имеется другое понятие производной(так называемая, производная Ли), которое мы сейчас обсуждать не будем.)Производная функции f на многообразии M n по направлению вектора w ∈ Tx0 M k может быть определенаследующим образом. Нужно взять (гладкую) кривую γ(t) такую, что γ(0) = x0 , dγdt (0) = w, и тогда производнаяwf функции f по направлению вектора w равнаwf = limt−→0f (γ(t)) − f (γ(0)).tДля векторного поля v = v(x) аналогичная формула (с заменой f на v) просто не имеет смысла.
Вектора v(γ(t))и v(γ(0)) являются элементами разных пространств (Tγ(t) M k и Tγ(0) M k соответственно) и их нельзя вычитать.(Даже если многообразие M k вложено в аффинное пространство Rn (см. ниже) и вектора, касательные к M k ,могут рассматриваться просто как вектора из Rn , то в результате вычитания мы получим вектор, ни в какомкасательном пространстве к подмногообразию M k , вообще говоря, не лежащий.) Возникает идея, что для определения производной векторного поля вдоль вектора нужно (или, по крайней мере, можно) определить правилопереноса вектора вдоль кривой (из точки γ(t) в точку γ(0)). После такого переноса вектора будут лежать водном пространстве (Tx0 M k ) и предел их разности, деленной на t, будет лежать в том же пространстве, т.е.будет (касательным) вектором (конечно, если этот предел существует).Мы подчеркивали, что понятие многообразия является (не слишком далеким) обобщением понятия подмногообразия аффинного пространства.
Поэтому сначала обсудим как можно (а, в действительности, и какнужно) переносить касательные вектора на подмногообразии M k аффинного пространства Rn . Для определения производной нам требуется научиться переносить вектора в близкие точки (понятие производной являетсялокальным). Локально подмногообразие в Rn может быть задано либо семейством уравнений, либо с помощьюпараметризации. Второе описание в каком-смысле ближе к общему определению многообразия при помощилокальных карт и поэтому есть надежда, что результаты, полученные с его помощью проще обобщить (илипереформулировать) для общего многообразия. Пусть x1 , .
. . , xk — локальные координаты на подмногообразии M k ⊂ Rn (в окрестности точки x0 ). Вложение M k в Rn определяет аффинные координаты y 1 , . . . , y n впространстве Rn как функции от x1 , . . . , xk : y j = y j (x1 , . . . , xk ) (j = 1, . . . , n).∂nБазис касательного пространства Tx0 M k образуют вектора ∂xравныi (i = 1, . .
. , k), которые как вектора в R∂y j ∂i ∂iik∂xi ∂y j . Поэтому векторному полю v = v ∂xi (v = v (x)) на многообразии Mj∂kv i (x) ∂y∂xi ∂y j (это векторное поле определено только на подмногообразии M ).nв пространстве Rn соответствуетВо всем аффинном пространстве R имеется естественный способ переноса векторов: касательные пространства к Rn во всех точках естественно отождествляются друг с другом (и с самим пространством Rn ). Вектор(как «материальный» направленный отрезок) переносится параллельно самому себе, т.е. «без применения силы»27(точнее, без приложения «крутящего момента»). Подобные соображения можно применить и для определенияпереноса касательных векторов вдоль кривой на подмногообразии аффинного пространства Rn .При таком переносе нам бы «не хотелось применять силу».
Однако, вектор должен оставаться касательным к подмногообразию. Следовательно, на него должна действовать «реакция связи» — сила, ортогональнаякасательному пространству к подмногообразию. В этой ситуации изменение вектора тоже будет ортогональнокасательному пространству к подмногообразию. Поэтому перенос вектора на малое расстояние вдоль кривойγ(t) (а именно это нам нужно для определения производной) в первом приближении должен осуществлятьсяследующим образом.
Мы берем (касательный к подмногообразию) вектор v = v(γ(t)) (t мало) в точке γ(t),переносим его в точку γ(0) в пространстве Rn (т.е. просто рассматриваем его приложенным к другой точке)и проектируем на касательное пространство Tx0 M k к подмногообразию M k в точке x0 . При таком описаниипереноса производная (в описанном смысле) векторного поля v(x) вдоль вектора w равнаlimt−→0prTx0 M k v(γ(t)) − v(γ(0))t,где prTx0 M k : Rn −→ Tx0 M k — проекция на касательное пространство Tx0 M k к многообразию M k в точке x0 .Поскольку проектирование PrTx0 M k — линейный оператор, этот предел равенv(γ(t)) − v(γ(0))dv(γ(t))= Pr.Prlim→0tdtTx0 M k t−Tx0 M kj∂Производная по t в нуле вектора v i (γ(t)) ∂y∂xi (γ(t)) ∂y j равна i∂v∂y j∂ 2yj∂pwq(x)(x)+v(x)(x)0000∂xq∂xi∂xp ∂xq∂y jq(т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
