С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(Семейство окрестностей точки x топологического пространстваX называется базой ее окрестностей, если любая окрестность точки x содержит окрестность из этого семейства.Топология на пространстве X может быть определена заданием базы окрестностей для каждой точки x ∈ X.)Сепарабельность пространства означает, что это пространство «не слишком велико».Определение. Базой (открытых множеств) пространства X называется семейство открытых подмножествпространства X такое, что любое открытое подмножество пространства X является объединением некоторогоколичества (вообще говоря, бесконечного) подмножеств из этого семейства.Определение. Говорят, что топологическое пространство X сепарабельно, если оно имеет счетную базу.Эквивалентно, топологическое пространство X сепарабельно, если в нем имеется счетное семейство открытых подмножеств такое, что для любой точки x ∈ X и для любой ее окрестности U имеется множество изуказанного семейства, содержащее точку x и содержащееся в множестве U .Примером несепарабельного топологического пространства является дизъюнктное объединение несчетногочисла произвольных (непустых) топологических пространств.
(Дизъюнктное объединение топологических пространств Xα (α ∈ Ω) — это объединение (непересекающихся) множеств Xα , наделенное топологией, в котороймножество U открыто тогда и только тогда, когда для любого α ∈ Ω пересечение U ∩Xα открыто в пространствеXα . Более явно описанным примером несепарабельного пространства является множество R2 × R2 , в которомбаза окрестностей точки (u0 , v0 ) состоит из множеств вида {(u, v) : |u − u0 | < ε, v = v0 } (ε > 0).Пространство Rn и любое его подпространство (рассматриваемое с индуцированной топологией) очевиднымобразом хаусдорфовы и сепарабельны. Если при обобщении понятия подмногообразия аффинного пространствамы не хотим зайти слишком далеко, от соответствующего обобщения следует потребовать хаусдорфовости исепарабельности.71.2.3. Абстрактные гладкие многообразияКак мы знаем, в некоторой окрестности любой точки подмногообразия M k аффинного пространства Rn наM можно ввести гладкие локальные координаты (k величин, которые однозначно определяют точку множестваM k ), в качестве которых могут быть взяты некоторые из аффинных координат x1 , .
. . , xn в пространстве Rn .Это свойство мы хотели взять за основу для общего определения (абстрактного) многообразия.Определение. Картой (k–мерной) (U, Ψ) на топологическом пространстве X называется гомеоморфизм(т.е. взаимно–однозначное, взаимно–непрерывное отображение) Ψ : U −→ V открытого множества U ⊂ X наоткрытое множество V ⊂ Rk .kОпределение. Говорят, что карты (U1 , Ψ1 ) и (U2 , Ψ2 ) (Ψi : Ui −→ Vi ) согласованы, если отображения−1Ψ2 ◦ Ψ−1:Ψ(U∩U)−→Ψ(U∩U)иΨ◦Ψ:Ψ(U∩U)−→Ψ11221212121 (U1 ∩ U2 ) — гладкие (т.е. бесконечно–12дифференцируемые).Определение. Атласом на топологическом пространстве X называется система карт {(Uα , Ψα )} на X, каждые две из которых согласованы.Определение. Говорят, что атласы {(Uα , Ψα )} и {(Uβ′ , Ψ′β )} эквивалентны, если любая карта из первогоатласа согласована с любой картой из второго атласа.Нетрудно видеть, что описанное отношение действительно является отношением эквивалентности, т.е.
обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.Задача∗ . Два атласа эквивалентны тогда и только тогда, когда их объединение также является атласом.Определение. Гладким многообразием размерности k называется хаусдорфово сепарабельное топологическое пространство M k вместе с атласом на нем.Примеры объектов, которые (в естественном смысле) являются «гладкими многообразиями», не удовлетворяющими аксиомам хаусдорфовости и сепарабельности, были приведены на предыдущей лекции. Как объяснялось,они (ни в каком смысле) не изоморфны подмногообразиям аффинного пространства.Замечание.
Условие сепарабельности гарантирует (и эквивалентно тому), что из любого атласа на многообразии можно выбрать не более чем счетный податлас. (Задача∗. Докажите это.)Выделение одного конкретного атласа выглядит «не вполне инвариантным». Поэтому часто определениеформулируется чуть–чуть иначе.Определение′ . Гладким многообразием размерности k называется топологическое пространство M k вместес классом эквивалентных атласов на нем.Пример 2.1.1.2.3.4.5.6.любая (открытая) область евклидова пространства;любое открытое подмножество в многообразии;любое подмногообразие области евклидова пространства;n-мерное проективное пространство RPn ;группа SO(n) ортогональных матриц с определителем, равным единице;грассманово многоообразие Gr(n, k) k-мерных линейных подпространств в n-мерном векторном пространствеЗадача 1.4.
Доказать, что RPn , Gr(n, k) и SO(n) являются многообразиями (в последнем случае доказать,что SO(n) является подмногообразием в (линейном) пространстве матриц размера n × n).Замечание. Когда говорят, что что-то (например, RPn ) является гладким многообразием, то подразумевают, что оно является таковым в некотором естественном смысле, т.е. при естественном выборе гладкойструктуры (которая определяется выбором атласа).Замечание.
Если в определении согласованности карт потребовать, чтобы отображения Ψ2 ◦ Ψ−1и Ψ1 ◦1были вещественно– или комплексно–аналитическими (в последнем случае пространство Rk должно бытьзаменено на Ck ), то мы приходим к определению вещественно– или комплексно–аналитического многообразия.Например, проективное пространство RPn является (вещественно) аналитическим многообразием, комплексноепроективное пространство CPn является комплексно–аналитическим многообразием.
(Свойства вещественно–и комплексно–аналитических многообразий существенно отличаются от свойств обычных (гладких, т.е. C ∞ )многообразий. Например, на аналитическом многообразии отсутствует (аналитическое) разбиение единицы.)Если же потребовать, чтобы эти отображения были класса гладкости C r (т.е., чтобы их компоненты имелинепрерывные частные производные до порядка r включительно), получаем определение многообразия классагладкости C r (при r = 0 — топологического многообразия).Ψ−1281.2.4. Отображения гладких многообразийОпределение. Говорят, что функция f : U −→ R, заданная на области U гладкого (или аналитического)многообразия M k гладкая (соответственно — аналитическая), если для любой карты (Uα , Ψα ) (из атласа, задающего гладкую структуру на M k ) функция f ◦ Ψ−1α является гладкой (соответственно — аналитической)функцией (на области Ψα (U ∩ Uα ) аффинного пространства Rk ). (Для того, чтобы определение аналитическойфункции на многообразии было корректно, необходимо, чтобы само многообразие было аналитическим.)Говоря менее формально, функция f гладкая (аналитическая), если в любых локальных координатах оназаписывается как гладкая (аналитическая) функция от этих координат.Задача 1.5 (∗ ).
Доказать, что в предыдущем определении слова «если для любой карты (Uα , Ψα )» могутбыть заменены на «если для любой точки x области U для некоторой карты (Uα , Ψα ), содержащей точку x».Задача 1.6 (∗ ). Можно дать другое («максимально инвариантное») определение гладкого многообразия.Предположим, что для каждого открытого подмножества Ω хаусдорфова, сепарабельного топологического пространства X в пространстве непрерывных функций на Ω выделено (линейное) подпространство C ∞ (Ω) (называемое пространством гладких функций на Ω) так, что:1) если Ω′ ⊂ Ω и f ∈ C ∞ (Ω), то ограничение f|Ω′ функции f на (открытое) множество Ω′ также является гладким (т.е. принадлежит пространству C ∞ (Ω′ ));S2) если открытое подмножество Ω представлено в виде объединения Ω = Ωα открытых подмножеств Ωα иαограничение функции f : Ω −→ R на каждое из подмножеств Ωα является гладким, то и сама функция f является гладкой (т.е.
принадлежит C ∞ (Ω)).Два топологических пространства X1 и X2 с такой структурой изоморфны, если существует их гомеоморфизмF : X1 −→ X2 такой что для любого открытого подмножества Ω ⊂ X2 естественный гомоморфизм (в действительности — изоморфизм) F ∗ алгебры (непрерывных) функций на Ω в алгебру функций на F −1 (Ω) (F ∗ h = h ◦ F )осуществляет изоморфизм между C ∞ (Ω) и C ∞ (F −1 Ω) (т.е. отображает C ∞ (Ω) на (!) C ∞ (F −1 Ω).
На любомоткрытом подмножестве U аффинного пространства Rk естественным образом определена такая структура:пространство C ∞ (Ω) состоит из бесконечно дифференцируемых (в обычном смысле!) функций на Ω. Теперьсамо определение: топологическое пространство X с описанной структурой называется гладким k–мерным многообразием, если оно локально изоморфно аффинному пространству Rk , т.е. у любой точки x ∈ X имеетсяокрестность, изоморфная открытому подмножеству аффинного пространства Rk . Доказать, что это определение эквивалентно приведенному выше.Задача 1.7 (∗ ). Если на топологическом пространстве X определена описанная структура, а Y — подпространство в X, то на Y также можно определить описанную структуру: функция f на открытом подмножествеΩ пространства Y считается гладкой, если у любой точки y ∈ Y имеется окрестность U в пространстве X такая, что ограничение f на U ∩ Y является ограничением некоторой гладкой функции F , определенной на U :f|U∩Y = F|U∩Y .
Пусть Y — график функции |x| на плоскости (в обычных декартовых координатах). Доказать,что с описанной структурой (пространствами гладких функций на его открытых подмножествах) пространствоY гладким многообразием не является.Пусть f : M k −→ N ℓ — отбражение гладких многообразий (размерностей k и ℓ).Определение. Говорят, что отображение f : M k −→ N ℓ гладкое, если для любой точки x ∈ M k , любойkкарты Ψ : U −→ V ⊂ R (из атласа, задающего гладкую структуру на многообразии M k ), содержащей точку x,и любой карты Ψ′ : U ′ −→ V ′ ⊂ Rℓ , содержащей точку f (x), отображение Ψ′ ◦ f ◦ Ψ−1 : Ψ(U ∩ f −1 (U ′ )) −→ V′является гладким.Иными словами, отображение гладкое, если его запись в любых локальных координатах — гладкая.
(Отображение области аффинного пространства в аффинное пространство гладкое, если все его компоненты являютсягладкими функциями.)Задача 1.8 (∗ ). Доказать, что в этом определении слова «любой карты» могут быть заменены на «некоторойкарты» (2 раза).Определение. Отображение f : M k −→ N ℓ называется диффеоморфизмом, если оно гладкое и имеет гладкоеобратное (т.е. существует гладкое отображение g : N ℓ −→ M k такое, что g ◦ f = idM k , f ◦ g = idN ℓ ).
Говорят, чтоkℓмногообразия M и N диффеоморфны, если между ними существует диффеоморфизм.Из курса анализа известно, что гладкая функция f (x1 , . . . , xn ) n переменных определяет (в каждой точке) вектор — ее градиент grad f (x) = (∂f /∂x1 (x), . . . , ∂f /∂xn (x)). Однако, этот вектор корректно определенлишь постольку, поскольку на пространстве Rn зафиксированы координаты (или, по крайней мере, евклидоваструктура). Пусть x1 , . . . , xn и xe1 , . . . , xen — две системы координат на области U гладкого n–мерного многообnразия M , f — функция на U .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
