С.Б. Гусейн-Заде - Курс лекций по дифференциальной геометрии и топологии (1124097), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Доказать, что T ⊗ S действительно является тензором.Задача 2.6 (∗ ). Дать определение тензорного произведения T ⊗ S в терминах полилинейной функции отвекторов и ковекторов.Задача 2.7 (∗ ). Выяснить, какими из следующих свойств обладает тензорное произведение (доказать илиопровергнуть):1) (T1 + T2 ) ⊗ S = T1 ⊗ S + T2 ⊗ S;2) T ⊗ (S1 + S2 ) = T ⊗ S1 + T ⊗ S2 ;3) (S ⊗ T ) ⊗ R = S ⊗ (T ⊗ R);4) T ⊗ S = S ⊗ T .Задача 2.8 (∗ ). Доказать, что любой тензор типа (p, q) является суммой (тензорных) произведений тензоровтипов (1, 0) и (0, 1).2.
Свертка. Тензоры типа (1, 1) естественным образом отождествляются с операторами на рассматриваемомпространстве. (Задача∗. Опишите это отождествление.) Операторы имеют такой инвариант, как след. Следоператора Tji — число Tii . Числа можно рассматривать как тензоры типа (0, 0). Тем самым, по тензору типа(1, 1) строится тензор типа (0, 0). Аналогичная операция применима и к тензорам более высокого ранга.
Пустьi ...iT — тензор типа (p, q) (p > 0, q > 0) с компонентами Tj11...jqp и пусть зафиксированы номера p0 и q0 (1 6 p0 6 p,1 6 q0 6 q).Определение. Сверткой тензора T по выбранным индексам называется тензор Tb типа (p − 1, q − 1), компоненты которого определяются формулой:i ...i −1 kip0 ...ip−1i ...ip−1= Tj11...jqp0−1Tbj11...jq−1kjq ...jq−100(как обычно, здесь подразумевается суммирование по верхнему и нижнему индексу k).Задача 2.9 (∗ ).
Доказать, что свертка Tb действительно является тензором.Задача 2.10. Дать определение свертки в терминах полилинейной функции от векторов и ковекторов.Задача 2.11 (∗ ). Доказать, что результат свертки зависит от того, по какой паре индексов производитсясворачивание.Задача 2.12 (∗ ). Пусть T — тензор типа (1, 0), S — тензор типа (0, 1). Что такое свертка их тензорногопроизведения?Задача 2.13. Пусть 1 6 q1 6 q2 6 q,i ...ipTbj11...jq−2=nXi ...iTj11...jqp1 −1 kjq1 ...jq2 −2 kjq2 −1 ,...,jq−2k=112.Доказать, что Tb тензором (никакого типа) не является.Свертку, естественно, можно проводить по нескольким («непересекающимся») парам верхних и нижнихиндексов. При этом результат не зависит от порядка «обработки» пар, по которым производится свертка.nPijiiЗадача 2.14 (∗ ).
Пусть Tkℓ— тензор типа (2, 2), Tbkℓ =Tkℓ. Доказать, что Tbkℓ тензором не является.i=1ijijji3. Перестановка индексов. Пусть, например, T — тензор типа (2, 2) с компонентами Tkℓ. Пусть Tbkℓ= Tkℓ.bНетрудно видеть, что T — тензор (докажите: задача∗). Говорят, что он получен из тензора T перестановкой двухверхних индексов. Точно так же можно переставить два нижних индекса. Если индексов (верхних или нижних)больше чем 2, то при перестановке двух индексов надо зафиксировать их позиции.
Можно также подвергнутьвсе верхние или нижние индексы произвольной (фиксированной) перестановке.Задача 2.15 (∗∗ ). Пусть Tbij = T kj . Показать, что Tb, вообще говоря, тензором не является.kℓiℓЗадача 2.16 (∗ ). Доказать, что Tb из предыдущей задачи является тензором тогда и только тогда, когдаT = 0.Определение.
Говорят, что тензор T симметричен (соответственно, кососимметричен) по паре индексов(верхних или нижних), если при их перестановке он не меняется (соответственно, умножается на (−1)). Говорят,что тензор полностью симметричен (или просто симметричен) по верхним (аналогично — по нижним) индексам,если он не меняется при перестановке любых двух из них.
Говорят, что тензор полностью кососимметричен (илипросто кососимметричен) по верхним (аналогично — по нижним) индексам, если при перестановке любых двухиз них он умножается на (−1). (При произвольной перестановке верхних (соответственно — нижних) индексовтакой тензор умножается на знак перестановки.)Пусть T — тензор типа (0, 2).Утверждение 2.1. Тензор T представим в виде суммы симметричного и кососимметричного, причем единственным образом.T −TT +T Такое представление можно написать явно: Tij = ij 2 ji + ij 2 ji . Единственность представления докажите сами.
Задача 2.17 (∗ ). Верно ли, что любой тензор типа (0, q) представим в виде суммы (полностью) симметричного и кососимметричного?Задача 2.18 (∗∗ ). Придумать аналог приведенного утверждения для тензоров типа (0, q).T +T3. Симметризация и альтернирование. Выше по тензору типа (0, 2) мы построили два тензора: ij 2 ji иTij −Tji. Аналог этой операции существует для тензоров любого типа. Пусть T — тензор типа (p, q) с компонен2P σ(i1 )...σ(ip ) bPi ...ii ...iσ(i )...σ(ip )тами T 1 p . Пусть Tb 1 p = 1T, Tb = 1sign σ · T 1, где Sq — группа перестановок qj1 ...jqj1 ...jqq!σ∈Spj1 ...jqq!σ∈Spj1 ...jqэлементов, σ = (σ(1), .
. . , σ(q)) — перестановка из Sq , sign σ — знак перестановки σ.bbЗадача 2.19 (∗∗ ). Доказать, что Tb и Tb — тензоры. Доказать, что тензор Tb симметричен, а тензор Tb кососимметричен по верхним индексам.bЗадача 2.20 (∗ ). Имеет ли место равенство T = Tb + Tb?bОпределение. Говорят, что тензор Tb (соответственно, Tb) получен из тензора T симметризацией (соответственно, альтернированием) по верхним индексам.Аналогично определяются операции симметризации и альтернирования по нижним индексам.Поведение тензоров при отображениях.Известно, что (линейное) отображение векторных пространств H1 −→ H2 индуцирует отображение двойственных пространств (т.е.
пространств ковекторов) H2∗ −→ H1∗ в обратном направлении. Гладкое отображениеF : Mn −→ N m определяет линейное отображение dF (x) : Tx M n −→ TF (x) N m касательного пространства в точкеnmx ∈ M в касательное пространство в точке F (x) ∈ N . Поэтому оно индуцирует отображение кокасательныхпространств в обратном направлении: dF (x)∗ : TF∗ (x) N m −→ Tx∗ M n . Линейное отображение H1 −→ H2 индуцирует также отображение пространства тензоров типа (0, k) на пространстве H2 (т.е.
полилинейных функций наH2 × . . . × H2 ) в пространство тензоров того же типа на H1 и отображение пространства тензоров типа (k, 0)на H1 (полилинейных функций на H1∗ × . . . × H1∗ ) в пространство тензоров того же типа на H2 . Следовательно, то же самое имеет место для тензоров на касательных пространствах Tx M n и TF (x) N m . Однако, если мырасматриваем не тензоры в одной точке, а тензорные поля, ситуация несколько меняется. Именно, отображениеF : Mn −→ N m , вообще говоря, не определяет отображение пространства тензорных полей типа (k, 0) (в частности, векторных полей) на многообразии М n в пространство тензорных полей на многообразии N m .
Причинадовольно прозаична. Точка многообразия N m может иметь несколько прообразов при отображении F , а может13и не иметь ни одного прообраза. В первом случае образы соответствующих векторов в точках–прообразах могутне совпадать, а во втором такой вектор вообще отсутствует.Для тензорных полей типа (0, k) подобная проблема отсутствует. Гладкое отображение F : M n −→ Nm∗определяет отображение dF пространства тензорных полей типа (0, k) (в частности, ковекторных полей) намногообразии N m в пространство тензорных полей того же типа на многообразии M n . Определение этогоотображения: если T — тензорное поле типа (0, k) на многообразии N m (т.е.
(гладко зависящая от точки y ∈ N m )полилинейная функция на Ty N m × . . . × Ty N m ), v1 , . . . , vk — векторы из касательного пространства Tx M n ,то dF ∗ T (v1 , . . . , vk ) = T (dF v1 , . . . , dF vk ). При этом симметричные тензоры отображаются в симметричные, акососимметричные — в кососимметричные.2.3. Кососимметрические тензоры типа (0, k)Пусть M n — гладкое n–мерное многообразие, x1 , .
. . , xn — локальные координаты на нем. Эти локальные∂∂nк многообразию M n в точке x икоординаты определяют базис ∂x1 , . . . , ∂xn в касательном пространстве Tx M1n∗ni ∂двойственный базис dx , . . . , dx в кокасательном пространстве Tx M : < dx , ∂xj >= δji .Определение. Внешним произведением dxi1 ∧ . . . ∧ dxik называется кососимметрический тензор типа (0, k),равныйk! dxi1 ⊗ .
. . ⊗ dxik Alt .(Здесь [•]Alt — альтернирование тензора •.)Замечание. В некоторых учебниках коэффициент k! перед [•]Alt в этом определении не ставится. Формально говоря, выбор между этими двумя возможными определениями не принципиален. Само по себе определениетензора dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (т.е. его значения на наборе из k касательных векторов) не используется ни в одном содержательном утверждении. Кососимметрические тензоры типа (0, k) важны постольку, поскольку ониучаствуют в теории интегрирования по многообразиям или по подмногообразиям.
Определение же интегралатакого тензора по многообразию не использует его определение: величина интеграла от этого определения независит. С другой стороны, наличие коэффициента k! дает более удобное (психологически) значение тензораdxi1 ∧ . . . ∧ dxik на наборе из k базисных векторов.
Так, в соответствии с нашим определением, на (стандартной)∂∂и e2 = ∂yравно 1 (придвумерной плоскости значение тензора dx ∧ dy на паре базисных векторов e1 = ∂xотсутствии коэффициента k! = 2! оно равно 1/2).Утверждение 2.2. Внешние произведения dxi1 ∧ . . . ∧ dxik с i1 < · · · < ik образуют базис в пространствекососимметрических тензоров типа (0, k) на касательном пространстве Tx M n в точке x.Мы рассматриваем кососимметричные тензоры типа (0, k) в какой-либо точке a многообразия M n . Как мызнаем, выбор локальных координат x1 , . . . , xn в окрестности этой точки определяет базис ∂/∂x1 , .
. . , ∂/∂xn вкасательном пространстве Ta M n к многообразию M n в точке a и (двойственный) базис dx1 , . . . , dxn в пространстве Ta∗ M n . Кстати, кокасательное пространство Ta∗ M n и есть пространство кососимметричных тензоров типа(0, 1) в точке a просто потому, что все тензоры типа (0, 1) кососимметричны (а заодно и симметричны). Какизвестно из линейной алгебры, базис в пространстве векторов Ta M n определяет и базис в пространстве в пространстве кососимметричных полилинейных k–форм на нем. Чтобы его описать, введем следующее определение.Пусть T и S — кососимметричные тензоры в точке a типов (0, k) и (0, ℓ) соответственно.Определение. Внешним произведением кососимметричных тензоров T и S называется тензор T ∧ S типа(0, k + ℓ), компоненты которого определяются формулой(T ∧ S)i1 ,...,ik+ℓ =X1·sign σ · Tiσ(1) ,...,iσ(k) · Siσ(k+1) ,...,iσ(k+ℓ) ,k! · ℓ! σгде суммирование ведется по всем перестановкам σ элементов 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
