В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Разлагая выражения для о|о| и о1В в ряд по степеням у/а. находим: Р'1= зи — ', (82, 12) о|= —,и~1 — — )з1НЕ. 3 / ут 2 (82,13) Зная распределение скоростей в потоке идеальной жидкости, можно перейти к определению ч' и р'. Подставляя в общие уравнения гидромеханики (1,1) и (1,2) значения ч н р из (82,4) н (82,5), находим: (чо 8|ай) чо+ (чо ига|1) ч'+ (ч' 8|ай) ч, + (ч' 8тас1) ч' = = — — — — '+.М,+о Ы, Ягод Ро К|ад Р' Р Р |11ч(чо+ч') = О. (82,14) (82,15) Учитывая уравнения (82.6) и (82,7) и опуская член второго порядка малости (ч' 8|ай)ч'.
а также принимая во внимание равенство. справедливое для безвихревого течения идеальной несжимаемой жидкости, получаем: Мо = 8|а|1 81ч чо — го1 |о1 чо = О Величины ч' и р' отличны от нуля в весьма тонком пограничном слое жидкости непосредственно вблизи поверхности пузырька. Поскольку толщину этого слоя можно считать весьма малой по находим после простых преобразований следующие уравнения для величин ч' и Р| (ч 8|ай)ч'+(ч'я|а|1)чо —— — — +" йч ° (82'1 ) Р йчч' =О. (82.17) сравнению с радиусом пузырька, уравнение (82.!6) допускает даль.
нейшие упрощения. Именно, для значения компонентов скорости то. входящей в вы. раженне (82.16), нужно взять приближенные значения (82,12) н (82,13), Далее, можно пренебречь кривизной пограничного слоя н прибляженно рассматривать его как плоский. Тогда. вводя прямоугольные координаты х и у, отсчитываемые вдоль поверхности пузырька н по нормали к ней. и обозначая через яо, и' и оо, и' проекции скоростей на оси х и у, можно переписать' уравнения (82,16) и (82,17) в проекциях ди' ' ди', дно, дио 1 др' д'-и' и — + ио — + и' — + о' — = — — — + ч —, (82, 18) одх ду дх ду р дх дуо ' до' до', доо о дво 1 др' доя' и — + и — + и' — + о' — = — — — + ч —, (82, 19) одх оду дх ду р ду дуо ' ди' де' дх ду —.+ — = О.
(82,20) ди будет иметь вид — = О, ду Граничное условие на поверхности пузырька или. подставляя вместо и = но+и'. т дио ди' — + — =О. ду ду (82,21) Граничное условие (82,8) дает: и'-» 0 при у-осо (82, 22) (поскольку при у-о ею, ио-ч(7). Оценим по порядку величины все члены, входящие в (82,18) и (82,19). Из уравнения (82,20) следует, что Г ди' — — дУ ,7 дх (82, 23) тогда как выражение (82,6) дает: гго = — / — ' ггу Г дио .l дх (82, 24) Поэтому в уравнении (82.18) можно опустить член и' — ', малый по ди' сравнению с членом ио —.
ду ' Оценка уравнения (82,19) показывает (ср. 9 3), что все члены суть величины второго порядка, так что это уравнение сводится к следующему: — = О. др ду (82, 25) Последнее означает. что в рассматриваемом пограничном слое. как и в обычном пограничном слое Прандтля, давление поперек слоя 438 движение копель и пгзыгьков в жидкой сгеде (гл. чно 9 821 движение пузыгькос гмеоенных газмегов 439 постоянно.
Поскольку,- однако, на границе р' = О, вместо уравнения (82,18) мы имеем: ди' да',, дио дчи ио +оо т-и — =ч-- —, дх ду дх =' дуТ (82,26) илп, полставляя сюда значение оо из выражения (82,24), находим окончательно: , дио ди' Г /' дио ч ди' дои' и' — +ио — — ~ ч — г(у~ — =ч —. дх дх ~,/ дх I ду дуч Подставляя значение и нз выражения (82.13) в уравнение (82,27), получаем: 2а При помощи этого выражения можно оценить толщину пограничного слоя оо, Именно, при у Зо вязкие и конвективиые члены в выражении (82,28) должны быть величинами одного порядка. Оценка их дает: дои' и' ду о, и' Уи ч— й Ьо а (82, 29) (ча)Л (82,30) Толщина пограничного слоя мала по сравнению с радиусом пузырька при Ке)) 1.
Граничное условие (82,21) после подстановки значения ио из выражения (82.13) приобретает вид ди' ЗУ вЂ” = — з(пВ при у=О. ду 2а (82,3! ) где через lг обозначена величина За й= —. ЗУ ' (82. 33) Граничное условие (82,31) переходит в условие (дУ'1 ЗУ з(по 0. Юля нахождения решения уравнения (82,28). при услознях (82,31) и (82,22). введем новую неизвестную функцию у'= и'яп О. Тогда уравнение (82,28) приобретает внд ьбп 0 — — соз 0 ° у — =А — „, ЗУ дУ д"-Х да ду дуя' (82,32) 440 движение капель и птзыгьков в жидкой синди [гл. т>п Для интегрирования уравнения (82,32) вводим вместо у новую пере менную ф =уз!и 0.
(82, 30) Прп атом (дз)„=(да)ф+дф >В дг" дУ вЂ” = — з!п 0; ду дф Позтому получаем: (дз) = и з!п 0 Соответственно из уравнения (82,34) получаем: В уравнении (82,36) удобно ввести вместо 0 новую 1 = 1 — сов 0. Тогда находим окончательно: дУ дзУ вЂ” =ив дт дфз (82,36) (82,37) переменнув> (82, 38) '!дфтт-о 2а в (82,39) Условие (82,22), определяющее поведение и' на бесконечности, теперь запишется в виде (82,40) у-+О при ф-+со. Кроме того, условие симметрии задачи требует, чтобы У=О при !=О.
(82,4!) Поправка к скорости имеет вид >- овз 4 з>я а 12ка (1 — соз З вЂ” г( д о В частности, на поверхности пузырька при ф = 0 в-сов З 3 ГЗ(>о '!Чв !' (1 — (г — 1)в[ Д 4з>па !2ка > ./ [1 — соз 6 — з[Д о (82. 44) Последнее означает, что в точке разветвления набегающего потока 0 = О скорость и' чь со. Выражение (82,38) представляет обычное уравнение типа теплопроводности.
Общее решение его имеет внд 1-еов З У(ф, О) = — ! — "!' в~ ' е вв!с-зов з> еЫз (82 42) 4 !2ка) [! — соз 0 — я[и о $82) движении пузыгьков вмененных влзмаяов 441 В силу сделанного нами допущения выражение (82,44) должно приводить к значениям и'(( им Выражение (82,44) показывает, что скорость и'(О, О) обнаруживает весьма резко выраженную угловуяэ зависимость: при 0 -+ О и'(О. О)-+сопз1 =(((У; Тгйе прн 0-+и и' (О, О) -+ — ( )У л сГл — -ь со. 1 У' 1 а1п З,У а!я В ч (82.45) (82, 46) (82,47) Таким образом, вблизи точки набегания н вплоть до весьма больших углов 0 поправка скорости очень мала по сравнению со скоростью основного потока (потока идеальной жидкости). Однако при 0 к значение касательной составляющей скорости резко увеличивается. В соответствии с уравнением непрерывности в той же области резко увеличивается также и нормальная слагающая скорости в пограничном слое.
Появляется течение жидкости, направленное от поверхности пузырька в объем, причем скорость этого течения велика по сравнению го скоростью из. Это означает, что при 0 тг на поверхности пузырька наступает явление отрыва. В области отрыва возникает турбулентное течение и в кормовой области пузырька пвявляется турбулентный след. Для рассмотрения явления отрыва можно воспользоваться методом, предложенным Л. Д. Ландау 1221. Заметим. что в той точке, где и' неограниченно возрастает. неогранич0нно возрастает и о'. Это значит, что течение отклоняется от поверхности раздела и уходит в глубь жидкости. Обычные условия отрыва, которые имеют место на поверхности твердого тела, неприменимы к жидкой поверхности.
ди так как на ней равенство — =О выполнено автоматически на всей ду поверхности. Используя метод Ландау, можно написать условия отрыва на жидкой поверхности в виде ду ' дуа Положение точки отрыва может быть вычислено. Ясно, однако. что угол О„при котором и' становится величиной порядка (У, т.
е. размер области отрыва, весьма мал. Этот угол может быть найден нз условия и'(О, О) (У. Подстановка в эти условия значения скорости (У из формулы (82,44) дает: .— 0 1 ((1. 3' ке Поэтому подавляюще большая часть плошади пузырька занята безотрывным течением. Вдоль поверхности пузырька от 0 = О до 0 = 0 ь 442 ДВИЖЕНКЕ КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ В )КИДКОй СРЕДЕ [ГЛ. ЧПГ Полная сила сопротивления, действующая на всю поверхность пузырька, слагается из двух частей: силы сопротивления, действуюацей на поверхность пузырька до места отрыва, и силы.
действующей в области турбулентного обтекания. В первой области сила сопротивления имеет вязкий характер. Для нахождения ее проще всего вычислить диссипируемую энергию. дЕ Согласно формуле (1,15) диссипируемая энергия — — равна иг — — =р. ( !го1)))ад(г+)ь,( д да+2)) ~ (тго1т)л)з, (82,49) где п — 'направление внешней нормали к обтекаемой поверхности и р — вязкость. Согласно формуле (82,4) )г =те+я'. В области вязкого обтекания отклонение от скорости идеальной жидкости ю'((Оз и им можно пренебречь при подстановке в выражение (82.49).
Скорость невозмущенного потока является безвихревой. так что формула (82.49) существенно упростится. и перейдет в следующую: )) / ~ (о)о))г + — (О~о))г~ 2лаз з1п 0 г(0 = г л дг дг) р ) дно) =р. 4ла' 1 Оз — ьйпбд0= — 12ла()зр. ду (82Х))) распределение скоростей течения жидкости мало отличается от распределения скоростей в потоке идеальной жидкости, обтекающей непроницаемую сферу.
Сравнивая эту картину с изложенным в 9 5, мы, видим, что механизм обтекания пузырька, а следовательно, и закон сопротивления существенно отличаются от того, что имеет место при обтекании твердого шара. В последнем случае область отрыва занимает почти всю кормовую часть шара при числах Рейнольдса порядка нескольких сотен и значительную ее часть при меньших числах Рейнольдса (но все же ббльших единицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
