В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Поэтому даже в среде, содержащей поверхностноактивные вещества, капли больших размеров падают в условиях свободного движения поверхности. $72. Диффузионный поток на движущуюся каплю Рассмотрение конвективной диффузии у границы раздела двух жидкостей основано на тех же общих принципах. которые были применены нами в главе И для границы раздела жидкость — твердое тело. Вычисленне диффузионного потока на движущуюся поверхность капли нмеет большое практическое значенне в самых разнообразных процессах. Так, промышленный процесс экстрагнровання нз жидкой фавы часто проводяуся нз капель, палаюшнх в некоторой жидкой среде.
При этом экстрагируемое вещество переходит нз падающих капель в раствор. Скорость процесса экстрагнрования в большинстве случаев определяется величиной конвективного диффузионного потока от поверхности капля. Вычисление диффузионного потока на каплю представляет существенный интерес для полярографни. Процесс конвективной диффузия к границе раздела жнлкость— жидкость существенно отличается от диффузии к границе жидкость— твердое тело. Объясняется это. прежде всего, различием гндродинамических услознй на поверхностях раздела фаз. Непосредственно на поверхности твердого тела скорост двнжения жидкости всегда равна нулю. Напротив, на границе разде.
а двух жидких фаз жидкость сохраняет подвижность; на этой границе обращается в нуль только нормальная, но не касательная слагаюша ~ скорости. Конвектнвный перенос вещества дви.кущейся жидкостью к границе раздела жидкость — твердое тело проходит в условиях в известной мере заторможенного потока, так что скорость переноса вещества у поверхности значительно ниже, чем в объеме раствора. Напротив, диффузня к границе жндкосгь — жидкость происходит в более благоприятных условиях незаторя «кенного потока. По этой причине конвективная днффузия вещества к границе раздела двух жидкостей происходит значительно инте~ сивнее, чем к гранин.
жидкость — твердое тело. В дальнейшем мы вычислим днффузионзпй поток к поверхно~ и капли, падающей в жидкой среде П21. Ь'дем считать жндкг гн не смешивающнмися и имеющими различны . плотности. Для знкретпостн положим, что плотность жидкост ~ в капле больше. чем 403 в 721 диватзионный поток нл движюцгюся каплю (72,1) где с — концентрация вещества, диффунлирующего от поверхности капли в раствор. Граничными условиями служат: с=се при г-+со с=с, при 'г=а, где а — радиус капли. са и с, — заданные концентрации. !(ля интегрирования уравнения (72,!) введем функцию тока ф, связанную с нг и оа соотношениями (14,3), дт га!па дг ' г газ!па да ' Перейдем к новым переменным, выбрав в качестве таковых полярный угол 0 и функцию тока ф (ср.
$13). После соответствующего преобразования производных найдем: дс дс дф . ! дат — = — — = — г з!п Оос ~ — ~, дг дФ дг 1дФ )з Поскальку уравнение (72,1) справедливо в пограничном слое вблизи поверхности капли, в нем значение компонента скорости а, нужно брать при значениях г, близких к а. Введем новую переменную у, представляющую расстояние до поверхности капли, положив у=г — а, и будем считатг) что у«а. В уравнении (72,1) выразим г через у и ограничимся членами первого порядка~ малости. Тогла имеем: — =Оа (о,) з!и 0~— дс 7дас 1 дс в-о 1льа)' (72,2) плотность среды, так что рассматриваемая капля падает под действием поля тяжести.
В дальнейшем ограничимся изучением потока, воздействующего на каплю достаточно малых размеров. благодаря чему число Рейнольдса в рассматриваемых случаях будет значительно меньше единицы. Тем не менее, как мы видели на примере твердой частицы ($14).
число Пекле может быть достаточно велико, так что вблизи поверхности капли образуется диффузионный пограничный слой. Распределение концентрации в пограничном слое описывается уравнением (14,1), дс ! де дяс о — +о,— ° — =Π—, "дг г да ага' 404 движание капель и пгзыгьков в жидкой стада [гл. шп Значение (оо)„ (т. е.
значение оо на поверхности капли) опредедоо ляется формулой (70,38). Значение — берется при малых значедфо киях у, когда для ф справедливо выражение ф= — ооауз)паО (72,3) Подставляя значение (оо)„ в (72„2), получаем окончательно: дс о . о дос — = 7)аапо з1п'9 —. дз дф Вводя новую переменную Г=л)аоио / я[пзОИ9=7)азоо~ — — соз 9)+ао (72,4) г оооо а о[ 3 где а, — постоянная интегрирования, находим: до доо дфо (72,3) 'с=со при ф-о со, (72,б' с=с, при ф-о0.
В точке набегания потока на каплю (точка г=а. 9=0) раствор должен быть необеднениым и его концентрация должна быть рглиа концентрации вдали от капли. В переменных (Г, ф) последнее условие может быть зап юано в виде 2 при с=го=а,-- — л)азо. 3 с = со Решение уравиения (72,5), удовлетворяюшь граничным условиям. может быть написано в виде Ф з Ус-~„ с= ~ [ ехр [ — за[ сЬ [-с,: о Подставляя значения ф по (72,3) и Г по (72,4) и переходя к переменным (у, О).
имеем: с== — [ е- да+со 2 (со — о,) /' .у-.,l Таким образом. в результате замены переменных мы пришли к классическому уравнению теплопроводности. Граничные условия,' выраженные в новых переменных, приобретают вид 406 лвнжвнив копель и птзыгькоз в жидкой сикав (гл. тш получается из выражения (72,7) интегрированием по всей поверхности капли 1=2каз /7ьбпйа6=2 У~Зкао! — ~о) / з!п6оГО(со — с). Вычисление интеграла дает: 7 = 8 (со — с,) У вЂ” ~~ — ~) ао. 3 1а (72,9) Перепишем формулу (72,9). заменив в ней скорость движения жидкости на поверхности по скоростью падения капли (7 по формуле (70,39).
Тогда выражение (72,9) примет вид 1ь Вводя в эту формулу безразмерные величины Ке = — и Рс. можно Уа определить безразмерный диффузионный поток на поверхность капли Хн 4оаю (фо — оВ т' 6в чо+ р.'/ Интересно сравнить выражение (72,9). пол) ченное для /, с выражениеп для полного потока вещества Г на позер оность твердой сферы, даваемого формулой(14,18). Мы видим, что выражение (72,9) содержит число Прандтля в более высокой степени, чем формула (14,!8). При одинаковых числах Рейнольдса диффувионный поток на каплю оказывается ббльшим, чем на твердую частицу. Это связано с более благоприятными условиями размешивания вблизи поверхности капли.
чем у поверхности твердой частицы. Выведенные выражения для полного по-ока l характеризуют последний, только когда числа Рейнольдса Ке (( 1. При числах Рейнольдса Ке ) 1 распределение скоростей вб,тизи поверхности капли изменяется, а при достаточно больших скоростях падения капля теряе сферическую форму. Теория движения капли при Ке ) 1 не разработана. Тем не мен~о, можно предполагать, что общий вид зависимости 1 от Ке и Рг, дав!емый формулой (72,!О), имеет место и при числ ах Рейнольдса, су !(ественно превышающих единицу (но при которых движение еще л 7иинарное).
Действительно, если на поверхности частицы сущес дует некоторый диффузионный пограничный слой, тс толщина его 6 йшкет быть найдена (по порядку величины) из соотношения по ")= ° '72,12) оа оо' Формула (72,!2), аналогичная (10.13), показь лает, что и расстоянии 6 от поверхности капли диффузионный член в урае ~енин кон- 407 пллвнив. клпвль в жидких сгедлх 3 731 вективной диффузии (72,1) имеет тот же порядок величины, что и конвективный. Каково бы ни было распределение скоростей у поверхности капли при Ке ) 1, не вызывает сомнений, что тангенциальная скорость у поверхности ов по порядку величины равна скорости движении капли О. Поэтому иа формулы (72,12) находим: (72, 13) 3 )/ и соответственно 0 (со — ст) 4саэ (72, 14) В безразмерном виде формула (72,14) приводит к той же критериальной зависимости Хи, что и (72,11).
но с неопределенным числовым коэффициентом. В том случае, когда позади капли образуется турбулентный след, положение существенно усложняется и формула типа (72,11) в кормовой части неприменима. Экспериментальная проверка подтвердила правильность формулы (72,11) в тех условиях, в которых движение на поверхности капли можно считать незаторможениым поверхностноактивными веществами (см., 3 115). ф 73. Падение капель в жидких средах в присутствии поверхностноактивных веществ Если в скидкой среде, в которой происходит падение капли.
находятся растворенные молекулы поверхностноактивных веществ, они будут адсорбироваться иа границе раздела обеих жидкостей [!!1. В согласии с общими положениями о влиянии поверхностноактивнь|х веществ на движение жидкости, изложенными в Э 69, можно предполагачь, что адсорбция этих веществ на поверхности капли будет оказывать заметное влияние на ее движение. 1(ействительно, в передней части капли поверхностная плотность молекул адсорбир9ванного вещества из-за постоянного растяжения поверхности будет меньше. чем в состоянии равновесия с исходным раствором. Напротив, в кормовой части капли поверхностная плотность будет превышать равновесную. Лвижением жидкости молекулы поверхностно- активных веществ, находящихся на поверхности капли, будут сноситься к кормовой части капли.
Скопление поверхностноактивного вещества будет понижать поверхностное натяжение в кормовой области капли. При этом возникнет сила, действующая вдоль поверхности капли, которая будет стремиться затормозить поверхностное движение последней и теы самым предотвратит дальнейшее накопление поверхностно- активного вещества в кормовой части капли. 408 движение клпвль и пхзыгьков в жидкой сгвде (гл. юп / Ф г 1 доо до! оат, ! доо з Г о! — а)) Р=!ь~ + ~' (73'2) ( г да дг г 7 г ~ г дв дг г / ' где Р, — капиллярное даваение и р, — тангенциальная сила, действующая на 1 ежа поверхности капли, неравномерно покрытой поверхностноактивным веществом. При отсчете угла 0 против часовой стрелки имеем: 2а Р =— а (73,3) ! да Ря = а да' (73, 4) В отсутствии поверхностноактивных веществ поверхностное натяжение о = сопя!, так что Р, = О, а капиллярное давление сводится к несущественной постоянной, поскольку радиус падающей капли остается неизменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
