В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 76
Текст из файла (страница 76)
дгт а дзС1 — — — ~з!и 8 — )+ — — ~ Ог. з1п 0 Н дф. з!аз дз ! дз) Ып Одфз! Требование минимума свободной энергии приводит к выражению для капиллярного давления Формулы (65,13), (65,17) и (65,20) часто записывают в виде р,=о( — + — ), 1 1 (65,21) 1О1 1От ' где Я, и )сз — радиусы кривизны поверхности. Формула (65,21) носит название уравнения Лапласа. Можно показать. что при малых кривизнах (больших радиусах кривизны) выражения для суммы радиусов кри- У визны совпадают с указанными формулами.
В простых геометрических условиях уравнение (65,15) может быть проинтегрировано до конца. Пусть, например, жидкость соприкасается с одной стороны с плоской вертикальной стенкой (рис. 68). Через у обозначим высоту меписка, через Ь вЂ” его толщину. а через 0 — краевой угол, образуемый жидкостью Рнс.
08. Мениск у вертикальной со стенкой. Направим ось у верти- "ласт""к" кально вверх, выбрав поверхность жидкости за плоскость у= О. Давление в газе рз постоянно и может быть принято за начальное для отсчета давлений. Давление в покоящейся жидкости р, = сопз1 — р йу. (65. 22) Одни нз радиусов кривизны, например )с,, равен нулю. Поэтому условие (65,21) дает: а — р йу = — + сопя!.
Р1 [гл. чгй 378 клпиллярноя лвижвнив Для радиуса кривизны можно написать: лад ('+(~=")я)" Принимая сопзР в выражении (65,23) равной нулю, имеем: ЖИ Лха р ях (65,24) (65,25) ('+(Вя)' й(х)= — р/ — аглаей 2 у — + ~ — ~г 2 — — +сопзц а / а / йа / ряха РА' — и — „г (65, 26) Постоянная определяется здесь величиной краевого угла'). Наряду с нормальным давлением на поверхность жидкости при известных условиях мбгут действовать тангенциальные силы. Если поверхностное натяжение жидкости изменяется от точки к точке. то наряду с нормальным давлением на поверхности появляется дополнительная сила, направленная та~ генциально к поверхности. Эта сила, аналогичная объемной силе, возникающей в среде с переменным давлением, определяется грядке~ том поверхностного натяжения.
Тангенциальная сила, отнесенная к единице поверхности, (65,27) Ра=бгаба. Знак плюс перед градиентом означает, что сила р, стремится привести поверхность жидкости в лшжение в направлении от мест с меньшим к местам с большим п~ зерхностным натяжением. ф 66. Капилляр, ое движение Наличие поверхностного натяж~ ния па свободной поверхности жидкости может в некоторых случь1х существенно сказываться на режиме движения жидкости. Такие саучаи движения ркидкости, прн которых поверхностное натяжение играет существенную роль, часто объединяют термином капиллярная гнлродинамика. Наличие поверхности раздела жилгчих фаз может. как ясно из предыдущего, влиять на движение жидкости в двух случаях: когда поверхность раздела обладает конечной кривизной н когда погра- а) Примечание пря корректуре.
В язящв1й работе М. М. Кусакова н Л. Н. Некрасова [9! было рассмотрено капнлх рное поднятие в капиллярах произвольной формы. Двукратное интегрирование уравнения (65,25) дает выражение, опре- деляющее форму поверхности 379 клпиллягиое движении пичное натяжение является переменным от точки к точке на поверхности жидкости. В обоих случаях в поверхностном слое жидкости возникают силы, влияющие. вообще говоря, на ее движение. Формально влияние поверхностного натяжения на движение жидкости сказывается в том, что изменяется система граничных условий на поверхности раздела соприкасающихся жидкостей.
Напишем систему граничных условий на поверхности раздела двух жидких фаз. Как было указано в 9 1. на границе раздела двух жидких фаз имеют место следующие условия: 1) Тангеициальная слагающая скорости на поверхности жидкости должна оставаться непрерывной о1» о<з> с > ' (66,!) Условие (66,1) показывает, что молекулярное взаимодействие часгиц в обеих фазах исключает скольжение между ними. 2) Нормальные слагающие скорости на границе раздела несмешивающихся фаз обращаются в нуль ~„» = о>» = О. (66,2) Наличие пограничного натяжения не сказывается на граничных условиях (66,1) и (66.2). Помимо этих кннематнческих условий, на границе раздела должны выполняться условия динамические. 3) Нормальные слагающие силы, отнесенные к единице площади раздела фав (нормальные слагающие тензора напряжениЯ), должны оставаться непрерывными (66, 3) Рпп+Ра = Рич.
Условие (66,3) представляет непосредственное обобщение условия (65,13) и выражает баланс нормальной слагающей сил. действующих на поверхность раздела фаз. 4) Касательная слагающая силы. отнесенная к единице плошади, должиа оставаться непрерывной. Это условие выражается непрерывностью таигенциальных слагающих тензора напряжений Рм+ Р> = Ра. (66, 4) В эти гРаничные УсловиЯ входат величины Р, и Рн зависащке от поверхностного натяжения.
Очевидно, что именно в условиях (66.3) и (66,4) сказывается влияние пограничного натюкения. При этом нужно заметить, что если условие (66,3) может быть выполнено на поверхности неподвижной жидкости, то условие (66,4) в статических условиях выполнено быть не может. действительно, в покоящейся жидкости нормальная слагающая тензора напряжений согласно (1.5) сводится к обычному давлению н (66,3) совпадает с (65,13). [гл. чп 380 капиллягнов движзнии (66,6) или / дрл Считая безразмерную пр~ взводную — имеющей поряд ж еди- дХ иицы, мы видим, что члено ь содержащим поверхностное натяжение, можно пренебречь, если д! Дл'! йУ ~ (66.9) (66,7) или Напротив, по определению (1.5) касательная слагающая тенаора напряжений обращается в нуль для покоящейся жидкости.
Поэтому в покоящейся жидкости граничное условие (66,4) не может быть уаозлетзорено, поскольку рм — Рг г = О, а Р,Ф О. Наличие переменного поверхностного натяжения всегда приводит жидкость в движение. Второе общее замечание, которое можно сделать по поводу граничных условий (66,3) и (66,4), состоит в следующем: влияние поверхности жидкости не может сказываться на движении крупного масштаба.
Исходя из граничных условий (66,3) и (66,4), можно оценить диапазон такого влияния. Пусть. например, движение происходит в поле тяжести. Из условия (66,3) следует, что капиллярным давлением можно пренебречь, если выполнено неравенство Ро 1 ((РФ где ).— масштаб движения.' Иными словами, если масштаб движения Л велик по сравнению ' а1д с капиллярной постоянной 1 — ), поверхностные силы не влияют ~РК на движение.
Так. например. как будет показано в Я 93, поверхностное натяжение существенно определяет волновой процесс на поверхности жидкости только для волн, длина которых ) меньше, чем ( — ) В общем виде вопрос о влиянии переменного поверхностлого натяжения на движение жидкости со свободной поверхностьк или граничащей с другой жидкостью можно рассмотреть следуг дцим образом. Приведем граничные условия, например условие ('~6,4). к безразмерному виду. С итая сперва, что движение жидкости 1иеет характер вязкого движения, можем написать по порядку ве.
1,чин: нУ д1' 1 дч н У 31г .ь д1 ! дХ Е дУ э 67! с«огость капиллятного ~однятия 381 При этом число Рейнольдса, по предположению о вязкостном режиме движения жидкости, должно быть мало по сравнению с единицей. Поэтому критерий (66,9) можно записать в виде ~дк ! р,т ~~ (66 10) Иэ (66,10) следует, что влиянием переменного поверхностного натяжения на движение жидкости можно пренебречь при изменении поверхностного натяжения ф 67. Скорость капиллярного поднятия В качестве простейшего примера капиллярного движения рассмотрим поднятие жидкости в цилиндрическом капилляре. Капиллярное поднятие жидкостей часто встречается на практике и в природе. играя большую роль при движении жидкостей в пористых средах.
На поверхность жидкости, заполняющен вертикальный капилляр, действует капиллярная сила, равная р, 5, где р, — капиллярное давление и 5 — открытая поверхность жидкости. Капиллярное давле2а ние р, равно, очевидно, р,= —. Столб жидкости, высотой Ь, оказывает гидростатическое давление, равное рйд. Поэтому на жидкость будет оказывать воздействие разность давлений, равнав Ьр =р, — рд7а.
Под действием этой разности давлений жидкость придет в движение. скорость которого можно без труда вычислить. Поскольку градиент давления вдоль капилляра †постоянн, для определения скорости поднятия можно воспользоваться формулой Пуазейля и написать: гт лр О= — = —— да Ви Л' (67,1) где о — скорость поднятия под действием разности давлений. Подставляя значение Ьр, находим: а в л( рви) (67,2) В маловязкой жидкости и в слое, достаточно большой толщины пре небрегать действием поверхностных сил, связанных с изменением поверхностного натяжения от точки к точке в жидкости, можно да лишь при весьма малых значениях ~ — ~. дх Разумеется, значение Е не может быть чрезмерно большим, поскольку число Рейнольдса должно оставаться малым по сравнению с единицей.
382 [гл. чп клпиллягное движение Интегрируя это уравнение, получаем: (67,3) г~рл ~ "о д * Лля упрощения последнего выражения мы обозначили в нем через ла равновесную высоту капиллярного поднятия, определяемую 2а соотношением — — РА Да — — О. Г Из последней формулы следует, что, хотя время, требующееся для поднятия жидкости на максимальную высоту, бесконечно велико, фактически жидкость за сравнительно небольшое время достигает высоты, весьма мало отличающейся от максимальной. Аналогичные элементарные выкладки для горизонтального капилляра приводят к следующему выражению для времени, в течение которого жидкость проходит путь [ по капилляру, При выводе формулы (67,3) мы пользовались законом Пуазейля (67,1), справедливым ' пля стационарного течения; в действительности же капиллярное поднятие не является строго стационарным процессом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
