В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 80
Текст из файла (страница 80)
1 зле/ Из/ Ф/ 2 Лгз ' Ы~~ Лг ' (70,20) Подставляя значение ф в уравнение (70,16), получим: з~/ гз +8ге ' + 8г — — 8 — =0 дга Пг' егз Нг (70.21) Выражение (70,21) прелставляет собой уравнение типа Эйлера. Согласно общей теории интегрирования уравнений этого типа, ищем решение в виде / гч 398 движение капель и пмзыгьков в жидкой савве (гл.
Ч»з» Тогда имеем лля л уравнение и (и — 1) (л — 2) (и — 3) + 8« (и — 1) (л — 2) + 8« (и — 1) — 8« = 0» илн л (и — 2) (л + 1) (л + 3) = О. Корни его суть: лз = + 2: лз = — 1; «з = — 3. «,=0; Поэтому для / находим: У» + +<»з'+а»гг (70,22) Прн подстановке 7' в уравнения (70.20) н (70,19) находим: ь, зз 9 = — — — — бз — 2а,г, 2г ф = —,' -+ 10а,г. зз (70,23) (70,24) Подставляя найденные аначения функций У, р и ф в (70,14), (70,22), (70,248 находим: (70.25) » а, зз оз = '(.— + = — <»з — 2а,гз) з! и О, ('»гз 2г Р = р ( —., + 10а,г) соз О.
(70. 27) (70,26) 70,28) (70,29) Ьз р = <з + соз О. Согласно <70,14) распределение скоростей внутри капли.рлжно быть написано так, чтобы компоненты скорости имели коне~)(ое значение Выражения для домпонентов скорости и давления (?0,25) — (70,27) представляют общее решение уравнений(70,1) — (70.3). Точнотакием ~ выражения могут быть написаны и для распределения скорости З давления внутри капли. Значения постоянных должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись условия (?0,8) — (70,13).
Для то<'о чтобы внешнее решение удовлетворяло условиям (70,8) и (7<99). необхолнмо, чтобы постоянная а, для внешней жидкости была <»авиа нулю. В противном случае т»„оз-+ос» при г-+ оо. Таким образом, внешнее решение должно иметь вид $701 ПВижение 1<Апелъ жидкости В жидких сРедАх 399 прн г = О. Лля этого во внутреннем решении должны быть положены 1 1 равными нулю постоянные при — и — „.
Распределение скоростей н г гэ дзвления внутри капли имеет вид е>„' = (а,га -+ ае) соз 0, о' = — (2а>га+ аа) з1п 0, р' = р.' (10 а,г -+ ав) соя 0. (70,3 1) (70,32) (70,33) В формулах (70,28) — (70,33) содержится пять неизвестных постоянных Ь>, Ь,, Ь,, а,, ае Граничные условия (70,8) — (70,13) содер>кат шесть уравнений для определения этих постоянных и шестой постоянной — величины У.
В ходе вычислений постоянная вхоляшая в (70,33) была приравнена нулю. Этот произвол связан с тем, что определенное значение имеет лишь разность давлений в жидкости. Подставляя значения (70,28) н (70.29) в граничные условия (70,8) и (70,9), находим: (70,34) Подставляя в условия (70,10) — (70.13) значения соответствующих величин т>„, н„, т>м е>„, р. р' и и, находим после элементарных, хотя и нбсколько длинных вычислений 2(р' — Р) еат ><+И> (70,35) ЗР 2И + Зи' Эта формула носит название формулы Рыбчинского — Адамара; она переходит в закон Стокса 2 (Р' — Р)йл' ет= 9 (70,35) если вязкость внутренней жйдкости р''з р. Сравнивая выра>кения (70,36) и (70,35), находим: (7 н+ и' — =3, +, >1.
(70,37) (70.38) ,Этот результат имеет простой смысл: благодаря подвижности повархности раздела градиенты скоростей, сушествуюшие в жидкости, меньше, чем градиенты скорости при твердой границе раздела. Снижение градиентов скорости приводит к уменьшению диссипацин энергии в жидкости. При той же движушей силе (силе тяжести) и меньшей дисснпацни энергии скорость стационарного падения жидкой капли должна быть больше, чем скорость падения твердого шарика. На порерхностн капли жидкость движется со скоростью 400 движаниа кппвль и пнзырьков в жилкой поедя (гл.
чпг При р')) в скорость на поверхности мала и в пределе обращается в нуль (случай твердой поверхности); прн р' р оо —, прн !»))!и' и оо имеет максимальное значение: оо о 2 ° В 71. Сравнение формулы Рыбчинского — Адамара с опытными даннымн Во многих экспериментальных работах проводилось сравнение формулы Рыбчинского — Адамара с опытом. В весьма тщательно проведенных измерениях А. А. Лебедева 141 скорости падения ртутных капель в касторовом масле в точности совпали со скоростями падения твердых шариков. Аналогичные результаты были получены и другими исследователями 15, 61.
На основании этих данных был сделан общий вывод о неприменимости формулы Рыбчинского— Адамара для характе!!!истики падения капель в реальных условиях. 2(ля объяснения этого противоречия теории с экспериментом Буссинеск 171 выдвинул гипотезу о существовании вблизи поверхности раздела жидкостей тонкого слоя повышенной вязкости. Гипотеза о существовании поверхностной вязкости в тонком, но макроскопическом слое жидкости вблизи граничной поверхности получила весьма широкое распространение.
Более подробно эта теория будет рассмотрена ниже. По расчетам скорость падения капли выран<ается формулой 2е 2 р — р' !~+да (г'= — р р лаа 3 р,, 2» 2И+ Зр.»+в а (71,!) е представляет здесь коэффикиент поверхностной вязкости н в~,ражает отношение поверхностного натяжения к скорости измег анин поверхности жидкости. Из формулы (71,1) видно.
что при больших значениях р,диуса капли поверхностной вязкостью можно пренебречь по сра ~нению с объемной. Напротив. для малых радиусов поверхностная ~,(зкость имеет очень большое значение. Бонд 181 установил, что капни достаточно больших 22азмеров падают со скоростями. близкими к скоростям. даваемым формулой Рыбчинского — Адамара. Напротив, маленькие капли ~гдают. как твердые шарики. Указанный автор пытался ннтерпретн~онать полученный им результат как эффект изп енения поверхнос" ного натяжения капли, которое препнтствует танг нциальному двип опию поверх- где оо — абсолютная величина скорости на экваторе капли он= — . ° (г 2 и+и" (70,801 й 71) свлвнение еогмялы гызчинского — лдлмлгл с опытом 401 ности раздела жидкостей.
Однако подобное объяснение вызывает недоумение: никакого изменения поверхностного натяжения при падении капли в чистой жидкости не происходит. Время установления равновесия между поверхностью и объемом чистой жидкости весьма мало. Поэтому практически всегда можно считать, что поверхность и объем жидкости находятся в состоянии статистического равновесия. Однако изменение состава равновесных фаз и обмен молекулами между ними не может приводить к изменению свободной энергии. В частности, обновление молекул, находящихся в поверхностном слое капли, при движении последней не может приводить к изменению величины поверхностного натяжения.
Поэтому резкий переход режима падения капли от падения ее как твердого шара (по закону Стокса) к падению капли с подвижной поверхностью (по закону Рыбчинского — Адамара) при переходе радиуса капли через критическое значение а=а„р, наблюдавшийся в опытах Бонда, отнюдь не был следствием измейения поверхностного натяжения. Ниже будет показано.
что результаты этих опытов могут быть вполне объяснены и без гипотезы о существовании значительной поверхностной вязкости по Буссинеску, В противоположность приведенным выше работам, измерения скорости падения капель расплавленного свинца в расплаве Ве,О,. проведенные М. П. Воларовичем и А. А. Леонтьевой [9). показали, что скорость Падения капель в полтора раза превышает стоксовскую, что и следует из формулы Рыбчинского — Адамара при р )) р.'. Аналогичный результат был получен в работе А.
Н. Фрумкина и И. А. Багоцкой ~!ОБ установивших. что падение ртутных капель в весьма чистом глицерине, специально очищенном от поверхностно- активных веществ. происходит со скоростями, точно отвечающими формуле Рыбчинского — Адамара. Из сказанного вытекает, что данные измерений скоростей падения капель зачастую противоречили гидродинамической теории Рыбчинского — Адамара, но, вместе с тем, вследствие большой разноречивости результатов не могли вполне однозначно служить для доказательства правильности гипотезы Буссинеска. Все.это побудило автора настоящей книги совместно с А.
Н. ФрумкиныМ заняться изучением вопроса о влиянии поверхностноактивных веществ на движение капель 111). В 'этой работе, а также в специальных исследованиях, поставленных для проверки предложенной теории, удалось выяснить механизм влияния поверхностноактивных веществ на движение капель. Оказалось, что в некоторых случаях поверхностноактнзные вещества могут тормозить движение поверхности капли (когда капля мала), в результате чего последняя начинает двигаться, как твердый шарик. В других же условиях движение капли строго подчиняется закону Рыбчинского — Адамара.
В дальнейшем анализу причин этого явления будет уделено особое внимание, теперь же рассмотрим вопрос 4О2 движения капель н пгзыгьков в жидкой сведя 1гл. чн~ о днффузионном потоке на каплю, играющем существеннейшую роль в Разработке теории движения капли в присутствии поверхностно- активных веществ. При обсуждении области применимости выражения для диффузионного потока следует иметь в внду, что как будет показано в З 78, поверхностноактивные вещества не могут тормозить движение поверхности капель сравнительно больших размеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
