В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 77
Текст из файла (страница 77)
При больших значениях Г процесс приобретает квазистационарный характер. Поэтому формулой (67,3) можно пользоваться только при больших значениях г. а именно при Г )) †. рге Эксперименты С. С. Козловского [4[ с трансформаторным маслом подтвердили применимость формулы (67,3) к капиллярному подргэ нятию жидкостей в стеклянной трубке при г)) —. 5 68. Термокапиллярное движение В качестве второго примера капиллярного движения можно рассмотреть движение жидкости под действием переменного поверхностного натяжения.
Изменение поверхностного натяжения от точки к точке приводит к появлению на поверхности жидкости тангенциальных напряжений, определяемых формулой (66,27). При этом причина. по которой изменяется поверхностное натяжение жидкости, является несущественной. В дальнейшем на многочисленных примерах мы покажем, что причиной изменения поверхностного натяжения могут служить нанесения поверхностноактивных веществ на поверхность жидкости с концентрацией, изменяющейся от точки к точке, переменный электрич.скип заряд на поверхности жидкости и т. п. 6 681 тягмоклпиллягнов движения да дТ габ з = — игам Т. (68,1) Поверхность жидкости примем за плоскость у=О, дно кюветы— за плоскость у=в.
Для всех жидкостей температурный коэффициент поверхностного /д~ а натяжения ~ — 1(0, т. е. а уменьшается с ростом температуры ~дТ; Однако простейшей причиной, вызывающей изменение поверхностного натяжения на поверхности жидкости, может служить изменение температуры последней. Предположим, что жидкость помещена в сосуд, стенки которого имеют различную температуру. Тогда и температура самой жидкости будет переменной от точки к точке. В частности, будет меняться от точки к точке температура на поверхности жидкости.
Ввиду того, что, как мы установили выше, поверхностное натяжение жидкости зависит от температуры, оно в различных точках поверхности жидкости в этом случае также булет различно. Под действием тангенциальных сил, действующих на поверхность жидкости, в ней начнется движение, которое можно назвать капилляриой конвекцией.
Разумеется, различие з температуре стенок сосуда вызовет в жидкости параду с капиллярной конвекцией также и обычное конвективное движение. Одндко в некоторых случаях можно ожидать, что последнее будет играть сравнительно малую роль. Именно. если поверхность жидкости достаточно велика по отношению к ее объему, например если жидкость налита в весьма мелкую широкую кювету, то можно ожидать, что обычная тепловая конвекция будет прпволить к скоростям движения, являющимся малымн по сравнению с теми, которые будут вызываться капиллярной конвекцией. Действительно, в этом случае поверхностные эффекты должны быть велики по сравнению с объемными, поскольку величина поверхности относительно очень велика, а силы поверхностного натяжения весьма значительны по сравнению с гравитационными, пропорциональными крайне малым изменениям плотности жидкости.
Количественный расчет подтверждает эти качественные соображения (51. Рассмотрим движение жилкости, налитой в мелкую кювету глубиной Д, две стенки которой имеют температуры Т, и Т,, причем Т, ) Т,. Предположим, что можно пренебречь .обычным тепловым конвективным размешиванием и считать градиент температуры постоянным вдоль кюветы. Ниже мы проверим. в какой мере это предположение можно считать фактически оправданным. Найдем закон изменения величины поверхностного натяжения вдоль поверхности жидкости.
Направим ось х вдоль градиента температуры, а ось у перпендикулярно к поверхности жидкости. Очевилно, изменение поверхностного натяжения будет определяться фор- мулой 1гл. мп 384 клпиллягнов движвнив жидкости. В первом приближении можно считать градиент темпера- туры постоянным по длине кюветы, так что а = а (Та) + ( — ) (68,2) Поверхностное натяжение жидкости будет изменяться от точки к точке вдоль поверхности жидкости так, что поверхностное натяжение будет наибольшим у более холодной стенки кюветы, уменьшаясь по линейному закону по направлению к более нагретой стенке. Согласно выражению (65,27) на 1 сма поверхности жидкости будет действовать сила, равная да /дад Р,= — „=1 — 18 дт.
дх ~дУ' ) (68,3) (68,4) Так как глубина кюветы очень невелика по сравнению с остальными ее раамерами. производная дп /дх будет весьма мала по сравнению с производгзй до /ду. Исходя из этого, мы можем в уравнении (53,4) прея бречь членом д'п„)дх' старшего порядка малости. Тогда получим: др дав„ дх ду"- (68,5) Ввиду небо. ьшой глубины кюветы можно считать, что давление не зависит от . оординаты у. Это видно, в частности, и из уравнения для у ком ~онента скорости, которое имеет вид (68,6) Поэтому в 'равнении (68,5) давление р можно считать функцией только от кс с адинаты х.
Систему ,авнений (68,5) и (68,6) следует дополнить уравнением непрерывное,1. Последнее в нашем случае удобно выразить через полный поток жидкости в кювете, приравняв его нулю. Действи- Определим движение жидкости, вызываемое этой силой. Так как глубина кюветы весьма мала по сравнению с остальными ее размерами и сделано допущение, что обычная конвекция не имеет места, в уравнения гидродинамикн можно внести весьма существенные упрощения. Поскольку градлента температуры поперек кюветы нет, не будет н движения жидкости Ьяэтом направлении. Далее, в отсутствие конвекцни, связанной с изйенением плотности жидкости при ее нагревании, не будет никаких сил, действующих в направлении оси у.
Поэтому компонент скорости обратится в нуль. Уравнение для л компонента скорости будет согласно выражению (1,2) иметь вид 9 68) 385 тетмоклпиллягное движения тельно, течение жидкости у поверхности. приводимой в движение поверхностными силами, сопровождается возвратным ее течением в остальном сечении кюветы. Последнее происходит за счет градиента давления вдоль кюветы, фигурирующего в уравнении <68,5). Таким образом, уравнение непрерывности можно в рассматриваемом случае записать в виде ~ п,г(у=О. а (68, 7) Напишем теперь систему граничных условий для уравнений (68,5) — (68,7ь На дне кюветы скорость жидкости должна обращаться в нуль, так что здесь мы имеем: (68, 3) (и )а а=О. На свободной поверхности жидкости должно удовлетворяться условие непрерывности касательной слагающей тензора напряжений, т. е.
условие равенства вязкого напряжения н поверхностной силы. отнесенной к единице поверхности жидкости. Имеем, следовательно, п1 ду ) (68,9) р.(д ) =д,— т 8 бт. дп да дУ я , ду (68,10) Интегрируя уравнение (68,5) и учитывая, что давление зависит только от координаты х. находим: и =а+-Ьу+ —,— — у'.
1 1 др и 2 и дх (68. 11) Граничные условия (68.8) и (68.10) дают для постоянных а и Ь: 1 да 1 др п = — — Ь вЂ” — — Ьа. и дх 2идх 1 да Ь= — — —. и дх) В качестве примера практически важного явления, в котором термокапиллярное движение играет основную роль, рассмотрим перенос вещества через тонкую пленку жидкости.
Перенос вещества (кислорода) через тонкие слои жидкости играет важную роль в механизме коррозии металлов, покрытых пленкой электролита. Последняя соприкасается с атмосферой и на ее внешней поверхности устанавливается равновесная концентрация. Быстрота коррозионного процесса будет существенно зависеть от величины потока кислорода к поверхности металла.
Учитывая значение рп граничное условие на поверхности можно записать в виде 386 1гл. чп клпиллягноа лвижениа Уравнение конвективной диффузии в тонкой пленке будет иметь вид дс дгс и — =0 —, дх дуя ' где и определяется формулой (68.11). Считая, что диффузионное сопротивление лежит в области малых скоростей (т. е. что толщина диффузионного слоя мала по сравнению с толщиной пленки), можем написать для и выражение о ау', где у' — вертикальная координата у' 1 де верхности подложки, и а= — —. 2н дх ' запишутся в виде =у — й, отсчитываемая от поПри этом граничные условия $/' -ь Оо, У=о.
с -+ сэ при с=О при Таким образом, получаем: 1 дч 1 др (и у) ' (л уе). и дх 2и дх (68, 11') Интегрируя уравнение для градиента давления, находим распределение давления в жидкости р= р, + — [с(х) — с(0)1. 3 (68, 12) Постоянная рэ является неопределенной постоянной дав~ения. Используя выражение (68,12) для градиента давления, приходим к окончательной формуле распределения скорости: и = — — (Зу' — 4ЬУ+!га) —.
1 дг дТ 4Л1 дТ дх ' (68, 13) Максимальная скорост жидкости на поверхности равна 1 дс дТ (и) = — — л 4И дТ Лх' (68,! Она возрастает с величиной градиента температуры и тох цин и слоя жидкости в кювете. Последнее имеет место только для тонких слоев жидкости. Если глубина кюветы становится достаточно боа» шой, полученное решение теряет силу, поскольку оно выведе'(1 в предположении, что ьыполняется неравенство дех дге. о — х (т — ', адх дуя' Подставляя это вырржение для скорости в уравнение непрерывности, получаем: др 3 дч дх 2ддх ' 387 8 681 тяямоклпиллягнов лвижвниа т. е.
при допущении, что толщина слоя жилкости /гг мала по сравнению с — . Используя выражение (68,14) получаем в качестве !в„! ' условия применимости нашего решения неравенство (68, 15) Скорости, приобретаемые жидкостью пол действием поверхностной силы, довольно значительны. Например, лля воды при )раг(Т(=0,1 град/см в кювете толщиной /г=0,03 см, учитывая, что — = — 0.15 эрг/смг ° град, находим: дг дТ (и )„=0,1 см/сгк. Эти скорости сугцественно превосходят те, которые приобретает жилкость пол действием обычной конвекпии, вызванной различием в плотностях жидкости у обеих стенок.
Нужно еще иметь в виду, что формула (68.14) выведена в предположении о малом значении числа Рейнольдса. Эта формула может применяться лишь при условии (пж)в яа ! дз дТ Ре= " = — — — йз((1. ч 4рР дТ дх (68, 16) Последнее неравенство совпалает с общим условием (66,10) ° Лиффузионная задача оказывается идентичной с задачей о диффузии во входной части трубы, рассмотренно/1,в $ 20. Пользуясь формулой (20,11), можем написать для потока вещества сгЯВ ч 1 да /,„44-06 о '( — — ) * тле 5 — площадь пленки и /.— ее длина (больший размер). Поток вещества оказывается не зависящим от толщины пленки при услОвии, что последняя велика по сравнению с толщиной лиффузионного слоя, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
