В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 79
Текст из файла (страница 79)
А. )О. Давидов, Теория капиллярных явлений, Ы. 1851; В а хи е 1 Карйаг1гач впд ОЬегбасйепзраппапя, Нзпдо. д. Ехр. РЬуз., Вд. б, 1.рх., 19 Гь) 3. Р. Р!с К е Г 1, Арр!. РЬуз. 15, 523 (1944). 4. С. С. К о з л о в с к н й, Труды Грози. иефт. ии-та, № 7. 1949 ггл а и, 5иг1. сйеяь шдиз1г. йез., № 4, 19л8, сгр. 20. 5. А. И. Фелосов, Каиднлатская зиссертация, М., 1948. б. И. Л. Розе иф ел ьл и К. А.:К ига лова, ДАН СССР 76 (1955). 7. В.
Г. Леви ч, К теории позерхьжтиых явлений, «Сов. нау 1. 8. С. И. Костерин и М. Н. Р баиович, Изв. АН СС л. техн. наук, № 7, 1085 (1949). 9. М. М. Кусаков, Л. Н. Некчтсов, ДАН СССР 119, ) ГЛАВА ЧШ ДВИЖЕНИЕ КАПЕЛЬ И ПУЗЫРЬКОВ В ЖИДКОЙ СРЕДЕ ф 70. Движение капель жидкости в жидких средах Движение капель жидкости в жидкой среле изучалось экспериментально и теоретически, и этому вопросу посвящено значительное количество работ.
Изучение этого процесса позволяет сделать важные суждения о свойствах границы разлела двух жидкостей, а также границы жидкость — газ, если средой. в которой происхолит лвиженне капель, является газ. Изучение закономерностей, определяющих движение капель в жидкой среле, имеет существенное значение лля решения экспериментальных и актуальных технических вопросов.
Сюда относятся разнообразные опыты по движению капель эмульсий, экстрагнрование из жидких капель, распыл и дробление капель при вспрыске горючего в двигателях внутреннего сгорания, лождевание и др. Движение жидких ртутных и других месаллических капель в растворах электролитов характеризуется наличием зарядов на поверхностях этих капель и поэтому будет нами рассмотрено отдельно. С проблемой движения капель жидкости тесно связан вопрос о величине диффузионного потока к поверхности раздела капля— раствор. Нахождение последнего представляет существенный практпческий и теоретический интерес. Вопросы, связанные с диффузней к границе капля — раствор, будут разобраны нами в В 72. Ограничимся сперва рассмотрением лвижения в жидкой среде капель столь малых размеров, чтобы это движение можно было считать язким 1Ке (( 1). Чаще всего приходится изучать падение капель поле тяжести.
В лальнейшем мы будем считать, что движущей глой является поле тяжести. Дэни<ение твердого шара при Ке (( 1 определяется известной ф улой Стокса. асчеты, произведенные Рыбчинским 111 и независимо от него д и ос и с щ нно у и орс д У 394 движение капель и пгзыгьков в жидкой сгнив [гл. чш расчеты, подобные тем, которые произволнлнсь при выводе формулы Рыбчинского — Адамара. поиалобятся нам в дальнейшем, мы приведем здесь полный вывод этой формулы. Рассмотрим падение в жидкой среде капли другой жидкости, не смешивающейся с первой и имеющей отличную от нее плотность и вязкость.
Пусть жидкая среда имеет вязкость р и плотность р. Этн же велич>шы для капли имеют значения р' И р'. Ориентировав ось х вертикально вниз, заметим, что на каплю действует сила тяжести. направленная вдоль оси х и равная г' =(р — р)А'' ч где р — давление и 1 — орт в положительном направлении оси х. Соответственно вагаб р' = р' Ьч'. (70,2) где р' — давление в жидкости внутри капли. Скорости ч и ч' удо- влетворюот уравнению непрерывности б(чч=О, г((ч ч' = О. (70,3' Уравнение (70,!1 удобно привести к виду, тождественному с (70,2', введя вмесчо внешней силы дополнительное эффек:ивное давление )7», г"х я = (р — р') х>х = —. Нетрулно убедиться в том, что если проинтегр>ровать по по> рхностн напряжение трения, включающее эффекти: ное давлени.
то полная <ила, действу>ошая на сферическую капля, будет рав> . как раз силе р. Тогда уравнение (70,1) приобретает вид атас$(р — х) =р ° дч, по форме тождественный с (70,2). где У вЂ” объем капли. Под действием этой силы капля будет падать в жидкой среде с некоторой скоростью (7. При движении капли жидкость внутри капли приобретает скорость ч', а жидкая среда, окружающая каплю— скорость ч. При этом капля в процессе падения остается недеформированной и сохраняет сферическую форму. По прошествии некоторого промежутка времени после начала движения падение капли в вязкой среде приобретает стационарный характер. Уравнения Навье,— Стокса для стационарного двивгения жидкой среды и для жидкост>( внутри капли имеют вил пгаб р = р Ьч+.1(р — р')д', (70, 1) Е 70) движение клпель жидкости в жидких сгедлх 395 д"-и„! д вг 2 дог с!я 6 дог дгв гв дав + г дг гв дз ( — '+- г 2 дпв 2в„2 свя 6 — — — — — — — пв) гв д6 гв гв /дева 1 двов 2 дев р(,—,+ —.— т+ — — + ~ дгв гв двт г дг с!к Ь дев 2 дя„ яв + — —.+ —; —"— гв да г' дз гв в!ив 6/' др дг (70.5) ! др г да (70,5) а уравнение непрерывности— дш ! дяв 2яг яв с!я 6 — -Ф- — — + — + = О.
дг г д6 г г (70.7) Аналогичный вид имеют уравнения движения внутренней жидкости. Йля формулировки граничных условий удобно перейти к системе координат, движущейся вместе с центром тяжести падающей капли. В этой системе отсчета капля как целое считается неподвижной. а внешняя жидкость — находящейся в движении (как целое) в сторону, противоположную направлению фактического лвижения капли со скоростью ( — и). (и — скорость лвижения капли). Таким образом, вдали от падающей капли распределение скоростей в вкидкой среде имеет вид „=и.
е, в)ри г-в оо. .„= — импе (70,8) На поверхности раздела жидкострй остаются непрерывными компоненты тензора вязких напряжений — нормальный компонент р„. и Тождественность уравнений, описывающих движение внутренней и внешней жидкостей, позволяет несколько сократить промежуточные выкладки. Для нахождения распределения скоростей я и я', а также давлений р и р' необходимо решить систему уравнений (70,!) — (70,4) с учетом соответствующих граничных условий.
Симметрия задачи указывает на целесообразность перехода к сферическим координаталв (г, Е, э) с началом, помещенным в центре капли. Угол Е будем отсчитывать от точки набегания потока против часовой стрелки. Поскольку движение капли обладает симметрией относительно оси х, направленной по вертикали, скорости движения внутренней и внешней жидкостей не будут зависеть от угла у, т.
е. булут иметь компоненты о,(Е, г), ов(г. Е), о,'(г, Е) и ов(г, Е). Уравнения Навье — Стокса в сферических координатах илвеют внд 396 лвиженив клпзль и пгзыгьков в жилкой сгвдв 1гл. чш касательный р,+ В сферических координатах нормальный и касательный компоненты тензора напряжений имеют вил до„ дг ' (70,9) Давление, входящее з нормальную слагающую тензора напряжений р„, представляет полное давление в жидкости. В наших обозначениях во внешней жидкости полное давление равно (р — 1г).
Поэтому граничные условия для напряжений на поверхности капли при г =а запишутся в зиле — (р )+.2р( ') = р .+2р'1 — '~, (70,10) ( дг Г а 1 дг / г а 1 д„до, о Х 11 до„дгЧ оь ,+ ) „~~ ° + ~ . (70,11) (,г да дг г)г „(г да дг г )г а Кроме того, на поверхности капли скорости внешней и внутренней жидкостей должну удовлетворять следующим условиям: 1) нормальные ком~оненты скорости движения внешней и внутренней жидкостей должны обращаться в нуль: о, =о,'=0 при г= а.
(70. 12) Действительно, поскольку капля является недеформируемой н ее поверхность не совершает каких-либо пульсаций (при больших скоростях движения зто не тзк, см. 9 79). а внешняя и внутренняя жилкостн не смешиваются, внешняя поверхность жидкой капля в отношении радиального компонента скорости ничем не отлнчаетс1 от непроницаемой поверхности твердой частипы. 2) Граничное условие для касательных компонентов скоростей иа жидкой поверхности раздела существенно отличается от граничного условия на твердой поверхности. На поверхности разделг двух жидкостей касательные слагающие скорости обеих жидкостей должны оставаться непрерывными, т.
е. о,=-о,' при г=а. (70, 13) Требование непрерывности касательной слагающей скоростей на границе раздела живностей непосредственно следует из хорошо известного экспериментально жидкости относительно лруПоследним условием, к жидкости внутри капли, (70,8) лля скорости ви компоненты скорости о,', о,'„ о факта — отсутствия скольжения одной й на поверхности разлела. орому должна удовлетворять скорость ляется условие, ааменяющее условия шней жидкости.
Оио гласит, что должны оставаться конечными зо всех $70) лвиженик капель жидкости в жидких сввдлх 397 точках внутри капли и, в частности, в центре капли (в начале координат): о,', о„' конечны при г=О. (70, 14) Решение уравнений (70.1) — (70,4) с учетом граничных условий (70,8) — (70,14) позволяет найти распределение скоростей и давлений в жилкости. Приведенные граничные условия на бесконечности (70,8) показывают, что решение уравнений (70,1) — (70.4) следует искать в виде ог=/(г)соз 0; из = о(г) з(п О, р = рф (г) соз й (70, 15) и аналогично о„'=/'(г)соей; о'=о'(г)з(пО.
р' = р'ф' (г) соз 8. Подставляя этн решения (70,15) в уравнения (70,5) н (?0,6), находим: Фе/ 2 Ф/ 4 (/+ т) Иф — + — —— лге г ег гя лг ' л'т 2 лт 2(/+ т) Ф Иге г Йг г' г' — + — = О. 2(?+т) л'г (70, 18) (70, 17) Аналогичная система уравнений получается для внутренней жидкости. Выражения (70.16) — (70.18) представляют систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, решение которой может быть без труда получено. А имейно, из уравнения (70,18) имеем: г Ф/ "= — — — — /. 2 ег (70, 19) Подставляя значение о в уравнение (70,17), находим: — = —,(- — +/)+- — (-, — — /) — — —, Ф и' г л/ 2 и г е'/ 1 и/ ф= —,г' —,+Зг — + 2 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
