В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Величина и распределеиие и>лродипамических и диффузцогнтых потоков будут су>цествсиио зависеть от геометрических условий, в чзстиости от формы и характера распопов;еиия и> верхиости реал. ции. Б простейшем случае, когда поверхиость реакции представляет гладкую пластинку, рзсположепиую вертикально в поле тяжести, оказывается возможиым провелсиие количественного расчета днф. <!>у>ионного потока к ее поверхности. Зиа и>тельно более сложнык является слу >ай горизоитальпого расположения поверхности рсзкыип, )! э>ом случае ззлача расчета диффузионного потока еще иь р шснз, и приходится ограничиваться использованием аналогии между днффузисй и тсплоперслзчей. расс>>отри>> всртшсальиую пластинку, попс>цепную в поле гшк сти, иа которой происходит некоторая гстерогешия химическая роз>сына.
Предио»о>кил>, что скорость собстве>шо химического иреврзщения весьма великз по сравиеиию со скоростью переноса вещества и копцситрашш реагирующего вещества иа поперхиости плзстиикп раппа нулю. )!ои>зеи>рш>и>о вещества впали от пластинки обоз>ш шм, как обычно, сз. Плотность рзствора зщшсит от его коицеитрзш>и. Соответственно этому плотность раствора вдали от пластинки и вблизи исс будет различиой. Таким образол>, если плотность раствора вдали от пластинки равна ! (сз), то у се поверхности оиа раппа р(0). Если ') Тепловая залачп о сстсствсипой коипекппи вблизи всртикзльвои властии>си раисе п>у >»»зсь мпопши иссзезовзт.л ~мп )3"). В тепловом:>зла М число !!репа>ля считалось равным сзкпице.
Ззмсв>м тзк,ке, по рзссмзтрк. взсмая здесь зздз ш сов>ветс>вуьт задаче о тепловой коввскцкп вблизи горя щи пластинки, охлз кдзсмой потоком холодной жидкости. й 23) диеж'зиоипый поток пги естгствшп>оИ коивекцип 133 плотность раствора мало зависит от его концентрации, можно приближенно написать: дг р(со)=р(О)+ '-со, дс дпс. до д "пм Г (со) — а (с) —: — +в д . я дг д>л Г(со) дох до„ дх ду (23,2) где р(с) — плотность раствора в произпольпой точке раствора и р(со) — плотность впали от г>ластип>ги (пз бесконечности), жс и Я>я — тангепциальныИ и поРмальпый компоненты скоРости жидкости.
Распределение концентрации раствора в лиффузиопиом пограипчвом слое определяется ре>левием уравнения копвсктивпой диффузии дс дс дсс (23,3) заля сов>>естпого решения уравнений (23,1) и (23,3) примем, прежде всего, что изменение плотности раствора с изменением его копцецтрации достаточно мало, так что можно приблпжсипо изппсзть лля коицеит>рации раствора в произвольноИ то >ке выражение >' до'> Р(с) — (>(со)+( д,.) (с — со) (23,4) Из весьма об>цих сообра>копий, связаппых с пзвестпой теоремой Цьеркиеса, можно ожилать, чго в жидкости возникает коивскппя: поверхности равной плотности >кплкости ориептировапы перпендикулярно к поверхностям равного давлсшн. Примем поверхность плзстипки за поверхность у=О, пзпрзвпв ось у в раствор и ось х вертикально вверх.
Нивский край пластпики отвечает значению х = О. Напишем уравнения лв>окекия жидкости. Возникающего пол лействпем силы та>кости. Сила, деИствую>нзя па единицу объема жидкости, равна, очсвидпо, р)) и в силу сказанного изменяется от точки к точке в растворе. Концентрация, а с пей и плотность рзствора зависят как от расстояния ло пластинки у, тзк и от коорли~>агы елозь и'шстппки х. Естественно, однако, прсдполож>пъ, чго осповпос пзмспеппс коппсптрации раствора происхолпт в весьма то~псе» слое, пепосрелствепно прилегающем к поверхности рсакпип — лш)>фузпопиом слое.
Это изменение коицецтрацип представляет слш>сжшппу>о прпчипу, побуждаюгдую жидкость прийти в движение. Поэгому естественно считать, что и движение жилкости также происходит в агом слое. Таким образом, к движению жилкости при естсствспиоИ копвскцпи применимы соображения теории гидролипамического пограничного слоя.
ПослелпиИ совпадает в этом случзе с днффузио>шым слоем. Уравнения лвижепия >килкости в пограничном слое в поле тяжести имеют вил 136 конвективнля диееузия в жидкостях (гл. и Подставляя это приближенное значение р(с) в уравнение (23,1), имеем.-. до~ дос дсо~ д (сс — с) г др ч — — + — '= —;, + ( — ) . (23,6) дх и ду дус р(с ) 1 дс) ,= „=о. ~ ~р = 1, ,-с,) (23,8) у=о. (23,9) (23,6) и (23,7) безразмерную Будем пытаться найти решение системы уравнений при граничных условиях (23,8) и (23,9), вводя новую переменную и функцию тока 'т'= 4т(4 с) хн'.Г(т)). В новой переменной компоненты скорости имеют вид (23,! 0) (23, 11) 1ь о =4 (~, ) 7'(т)), (23, 12) у где функция / удовлетворяет уравнению 7" -+ 377'с — 2 Ц')з+ ~р = О. (23, 14) В новых переменных уравнение для безразмерной концентрации (23,7) (23, 13) Для дальнейших рассуждений удобно ввести в уравнения (23,6).
и (23.3) новую безразмерную концентрацию м= с . Тогда вти сс уравнения будут иметь внд о.с +о =" ° +йчпр дх Я ду нуе (23,6) о — +о — =0— дт дт д"т х дх в ду ду. ' (23,7) Граничные условия для уравнений (23,6) и (23,7) таковы: на поверхности пластинки, при у = О, скорость жидкости обращается в нуль. Кроме того, в силу сказанного концентрация реагируюьцего вещества на поверхности реакции также равна нулю. Из определения безразмерной концентрации р следует, что при у = 0 у = 1, так что окончательно граничнь(е условия будут иметь в данном случае вид до 23) диаехзиопиый поток пги естественной копвзкцпи 137 приобретает вид < / ехР1 — 3 Рг ~ УЛЧ 1ЛЧ ! . ! (23, 18) — 1— ! ~ схр' — Зрг / удач ~ лч о 1 о В формуле (23,18) функция 7 епге не опрелелепа. Для ее определения воспользуемся тем, что благодаря чрезвычайно большому значению числа Прапдтля интегралы в формуле (23,18) сходятся очень быстро.
Поэтому при малых значениях персмеппой о) значение интегралов опрелелястся главным образом значением фупкппп Г. Напротив, при больших чпачепиях о) попелспис функции 7 пс оказывает заметного влияния иа распрслелепие концентрации вблизи пластинки. Ввиду этого без большой ошибки моя<по заменить граничное условие на бесконечности па новое граничное условие которое должно выполняться иа некотором конечном расстоянии от пластинки.
Дальше от пластиыки жидкость неподвижна и ие переносит вещества. Иными СлОвами, мовгпо вяссти такУю гол~гоипУ погРзпичпого слов о)о, что вне погРапичпого слол, пРи о1 ) о)о, скоРость окидкости 6Удет Ровна нУлю, а иа его гРанице, пРи т) = о1о, выполиитса Условие 7' =-О, о) = йо. (23, 19) р=О, Значение толппшы погРаничного слоЯ о1о пока пе известно и должно быть определено из дальнейшего решения. Ввиду быстрой сходимости интегралов в выражении (23,18) для функции 7' при о1 с. о)о можно Написать разложение в ряд по степеням тп взяв из этого ряда лишь первые члены.
В силу граничного условия (23,16) разложение 7 в ряд по степеням о) будет иметь вил .7= —.', ~з+ ~~ 1" + (23,20) Члены с пулевой и первой степенями т1 лолжиы отсутствовать. Коэффициенты ряда (23,20) пока еще ие опрелелены. +3 Рг (е'= О, (23, 15). Наконец, для грзцп'ппох условий задачи полу ~им выражение (=7"=О, ~ о) = — О, (23, 16) э=1, ) =О, о) — э сэ. (23,17) р=О, Дли решения уравнений, как всегда, воспользуемся тем, что число- Праидтля весьма велико. Напишем формальное решение уравнения (23,15) в виде [гл.
138 конвектиенхя диееязия в жидкостях Подставляя в решение (23,18) полученное выражение для фунхе ' ции г' (23,20) и ограничиваясь в первом приближении только однааай членом, находим: (23 21) вечный и написать [ ехр( — Го)Л р=[ — =О. 6 I рргх'й ,Напротив, если ( — ) х[(! 'х 2) (звг ь (1 — гв -1- .. р — 1 3 (3) то можно приближенно положить: (%)ш (Т)чч 1— =1— () (23,22) При помощи формулы,'23,22), дающей распределение концентрации внутри пограничного слоя, и граничного условия (23,19) можно .найти толщину пограничного слоя на пластинке ("~')'" о 0,89 откуда толщина пограничного слоя 0,89 (23.2 3) о[о (8рг)гв чв ) ехр ( — р Рг —, ~ дЧ о ~р — 1— Г "р(-8" В" о 'Вводя новую переменную интегрирования 1=( — Рг) л, находим: ехр ( — Гх) лг о 3 (3) !8ргФ Из формулы (23,21) следует, что если ( — ) т[) 1, то, учитывая 2 ) быструю сходимость интеграла, можно заменить его предел на беско- ф 23) диеямзиоппып поток пгн гстсствеппой копвскцип 139 выражение (23,23) входит еще олив пеизвсстпая величина 3.
Знамение последней мг»кет быть иайлеио следующим образом. Г!одставдня распределение коццеитрацип, опрслслясмое формулой (23,22), уравнение (23,14), приходим к слслующеь>у прцбли>кспвому урзвнению: Решение уравнения (23,24) может быть полу'юпо мстолом последовательных приближений. Поскольку цас интересует только младший член в разложении 7 в ряд по степеням >1, можно при нахождении решения ограничиться низшими степенями >>. 14мспио, приближенное решение (23,24) можно иаиисать в и>лс Ч„>,> ~ 2) 0 '24 г>,'вп ' Величина 1) может быть найдена из грани шого условия (23,19) (31>г)'ь У' = 'ч — -'.-+ 2 б ОЬ> 7 =о=-1)ч — -',-"+ „' о 2 б ° 0,69 (23,20) Подстаповкл п выра>ксцис (23,26) значения >)„даст возможность определить, накопсп, 13> 123,27) Ргл Таким образом, лля характеристичеагого уравнения диффузионного потока при сстествеццоИ копвекциц вблизи всртикальпоИ пластинки, при попущении, что движение >килкости происходит в прпстеночпом слое копс шой толщины >1, моя<по паИ>и вес иепзвсстпые постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
