В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 19
Текст из файла (страница 19)
й >с дуа а с>у ' прм помоши выражения (14,3) уравнение конвективной диффузии в переменных (ф, О) можно переписать в аиде 1 дс дг . дс> — — = ) >а я!п 0 —, > (а а!п Оо>) —,] . (14,4) и дс' ' а.'1 ' ' дф) Подставляя выражение пс через ф, накопим: ( — ) = 0аз гйпа 0 фгЗУ вЂ”, ()/ф —,). (14,5) Граничными условиями для уравиеиич (!4,5) слу>кзт: с=О при ф= О (па поверхности частицы).
(14,6) с=со при ф- со (вдали от поверхности часпгцы), (!4,7) с=со при 0=0, ф=О. (1 4,8) Послелиее условие имеет весьма простой смысл. Точка 0 = О, ф = О представляет не что ииос, как то>ку иабсгаиия потока >килкости иа сферу. Совершенно очевидио. что в этой точке набегаюпшй поток ие обеднев еше диффузией и его концентрация совпалает с коицеитрацией в объеь>с раствора. Для интегрирования (14,5) прежде всего авелем нову>о переменную 0„., /туз!и Ол "'У д" (Π— аи2,,")+С (НЛ) Тогда получзсм: ф= дф (ф'ф —,'-'„). (14,10), При ршисиии уравнений в частных производных типз (14,1О), "вторые встречаются ишке, мы буаем пользоваться а>столов> иодоб>ся, конвективнля диеетзия в жидкостях 1гл.
и который сравнительно редко излагается в математических руковод. ствах '). Ввиду этого мы кратко изложим идею этого метода. Уравнение (14.10) остается неизменным при преобразовании пере. менных ф-+ лф'. 1 рт', (14, 1!) если произвольные масштабы изменения координат связаны между собой соотношением р =Л'. При преобразовании переменных (14.11) граничные условия (14,6) (14.0) остаются неизменными. Поэтому решение краевой задачи остается неизменным при преобразовании (14,!1), т.
е. имеет место равенство с (ф, Е) = с (Хф, Х 'Ф). Ввиду этого можно пытаться искать решение с(ф, 1). зависяьцее от такой комбинации реременных ф, Ю, которая оставалась бы неизменной при преобразовании (14,11). Такой комбинацией служит: Имеем . очевидно, дс 2ф дс (ч) ш згч ач дс ° 1 дс (ч) дф ГЬ дч Вводя для удобства интегрирования переменную получаем окончательно: — +. — аз — О. дтс 4 дс 3 дл (14, 12) з) Исключение представляет известный учебник А.
Н. Тихонова Я А. А. Самарского, Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1951, си. стр. 252. Подставляя это в (14,10), находим для с уравнение в полных про- изводных диеогзия к пхдыогцей твгглой частице а 141 (~)=С,, / ехр~ ! х~, о (14,1З) гле Постоянные С,, Сх и С, можно определить из граничных условий (14,6) — (14, 8). Условие (14.6) дает С,= О. Из условия (14,7) вытекает: С со ехр ~ — —,— гх~ ас Последний интеграл выражается через гамма-функции. Ои разек о / с ' аз=(ц) з Г(з)=! !5. Наконец, вблизи точки падегапия потока ца частицу 0 = О концентрация с должна быть однозиачиой положительной фуцкциси угла О. При малых значениях 0 для л имеем: Зсг уа а 4 — — ж~' Йля того чтобы а было супоествсипо положительной величиной при малых О, нужно положить С,=О. !1озтому писем окончательно: Зи у.!и 0 оголя с о!и 20 х '" ~0, )" — — ) о с= = г ехрс — — лх(дз.
1!5/ 1 9 о х(иффузионцый поток иа поверхности частицы ."Г::, зс '! Осо ~/:о(7 о!и 0 от/ ду)о о 1,15 г 4Оа~ с о!о 20 хч (' — — ) (14,15) (! 4,16) Иптегрирование (14, ! 2) совергоается непосредствецпо. Имеем, очевидно, 92 конпектпвнля диоотзпя з жидкостях (гл. и Поток на поверхность частицы оказывается пропорциональным концентрации днффунднрующего вещества со, скорости частицы У в степени '/а, аль и а ". а также фУшсцни Угла 6. Последнаа Равна а — в точке 0 = —, н нулю в точке В=я.
В точке 0 =0 в фор. о =2 муле (14.16) получается неопределенность. Раскрывая последнюю, находим, что функция угла в точке 6 = О равна 1. Таким образом, поток вещества имеет наибольшее значение в точке набегания 6 = О, убывает с ростом 6 н обращается в нуль на корме 6 частицы (рнс. 16). Соответствующая эффективная толщина диффузионного слоя имеет вид 1'1616 2 ) а чв ' рнс 16 днффуанон Она растет с углом О, обращаясь в бесконечный пограничный слой порть в точке 0 = я. Само собой разумеется, на поверхности ча- чтот в действительности в точке 6 = к 6 не стнцы.
обращается в бесконечность, а У в в нуль. За- метим, что если бы мы не положили постоянную С, в формуле (14,14) равной нулю, значение о в точке набегания 6 = О оказалось бы бесконечно большим, а поток г' оказался бы разным нулю. что явно абсурдно. В ходе вычислений мы предполагали, что толщинз диффузионного слоя 6 весьма мала по сравнению с радиусом частицы.
Из формулы (14,17) следует, что при некотором значении О, сравнительно близком к к, толщина диффузионного слоя достигает значения, сравнимого с радиусом частицы а. В этой области углов изложенная выше теория неприменима. Ясно. однако. что область углов 0 — к не вносит заметной доли в полный поток л вещества на частицу; он равен л= ~!г)з=2яаа ~ г'з)п0 с0 = о Усоа'" Г 6У 2 аж Оа'6 Вычисление последнего интеграла дает: 1 = У,96соУ лУ 'а ь. (14, 19) Полный поток вещества на твердую частицу, движущуюся в растворе с малыми скоростями, оказывается пропорциональным со. Уь и а". дияяузия к падл>о!Бай тавгдой частица Интересно отмстить, что диффузионный поток на чзстицу пе прямо пропорционален 1Э, как это имеет место в неполвижной среле, а содержит В в более низкой степени.
Это обстоятельство ие является особенностью рассмотренной толы<о что часююй задзчп, а имеет общий характер. В неполвижпой срсле изменение ко>щентращщ происходит в облзсти порялка размеров тела. При конвектпвпой диффузии вещество подносится лвижущсйся жилкостью ближе к поверхности тела, и это чзстично компенсирует малое зпа >ение !Э. Аналогичный расчет может быть проведен лля диффузии к частице палочкообразной форл>ы (см. 8 43), Несколько позднее, но независимо от автора этой книги, вопрос о диффузии к поверхности сферы был рассмотрен Г. Л. Лксельрудом [! 9), который пользовался приближенным методом интегрального баланса вещества в пограничном слое с послелу>ощпм представле>щем концентрации в виде полинома.
Вго результаты в общем хорошо согласуются с нашимп. Для полного потока на сферу получается выражение, отличакицесся от (14,19) числовым множителем 8,2 вместо 7,98. Нужно, олизко, отметить, что это согласие ло известной степени является случайным, и па его разборе можно яспо увилеть недостатки метода полипомов. Послелпий зщслючастся в том, что распределение концентрации записывают в ниле полипома по степеням —. и подбором определяют коэффициенты так. чтобы удо- У з влетворить грзиичпь>м условиям: = с, ~ —,У вЂ” 2 ( —.'-) + ( — Д, с),29) где 8л представляет толщину лиффузионпого слоя. При у = ол с=с.
Для толщины о„Лксельрул получает выражение почти вдвое большее, чем наше зпачсщш 8, Олнако блзголаря полбору коэффициента в полипоме (!4,20) поток нз поверхность рзвен 7Э (дс ) О 2сс Для г' Лксельруд получает значение, совпзлающсс с точностью ло нескольких процентов с !14,16). Смысл полученных противоречий заключается в том, что приближение полнномзми лзет существенную погрешность в распрслелепии концентраций, ио срав>пггельио правильно передаст наклон кридс вой — при ьшлых значениях у. ду Если размер частипы настолько мзл, что число Пекле становится меньше единицы, то копзсктишшя лпффузия уже не играет замепюй Роли в г>срсносе веп!сства.
В этом случае мо кпо опустить конвскТивный член в уравнении (8,8) и опо приобретает вил УЭЛС = О. конввктивная диееязия в жидкостях [гл. и с=ее~1 — — ). Диффузионный поток на поверхность сферы () [ дс ),Осе (14,21) Поток на поверхность частицы равен соответственно 1 = 4я 1)а ес. (14,22) При числах Ре, меньших единицы, можно написать интерполяционную формулу 7 = 4п 0ез а (1 + 0,64 Ре ь), (14,23) которая переходит в (14121) при Ре-+О и в (14,19) при Ре)- 1. 9 16. Диффузионный поток иа поверхность обтекаемой пластинки Рассмотрим теперь случай, когда поверхностью реакции служит гладкая пластинка, обтекаемая потоком жидкости [17[.
Здесь мы будем рассматривать случай ламинарного течения в пограничном слое. Предположим, что скорость течения жидкости вдали от пластинки равна (7 и пуст~ Ь вЂ” длина, Ь вЂ” ширина пластинки. Мы будем предполагать, что ширина и длина пластинки весьма велики по сравнению с толщиной гидродинамического пограничного слоя. Тогда пластинку можно считать полубескоиечной, т. е. занимающей правую полуплоскость у=О (х) 0), где х — расстояние. отсчитываемое от переднего края пластинки, и у — расстояние по нормали. Обтекание полубесконечной пластинки кратко уже было рассмотрено в $3. Считая распределение скозостей известным, перейдем к рассмотрению диффузионной задачи. Распределение концентрации вещества в растворе будет зависеть от координат х и у, но мож т считаться не зависящим от координаты х.
отсчитываемой поперек пластинки. Уравнение конвективной диффузии в ламинарном пограничноы слое на поверхности пластинки имеет вид дс дс дзс о — +о — =е) —. з дх+ я ду дуя' (15, 1) Решение уравнения диффузии к сфере, могущее, очевидно. зави сеть только от радиальной координаты г и удовлетворяющее гра. ничным условиям с=О на поверхности частицы и е= ее вдали ог нее, имеет вид диеялгзиоииый поток кл повггхпость огтяклгмой пллстипки 95 дзс )) правой части этого уравнения опущен члсп —, кзк мзлый по сравдх' ' дтс вению с д, (ср. (10,6)!. Компоненты скорости о„п тя определяются разло>ксииялли (3,39) в (3.40).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
