В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 21
Текст из файла (страница 21)
обтекается ламинарным потоком. ф 17. Решение уравнения конвективной диффузии для пластинки при смешанной кинетике') В случае реакции первого порядка по концентрации. идущей со скоростью, сравнимой со скоростью подачи реагентов к поверхности пластинки, граничным условием при у= О должно служить условие (17, 1) Граничное условие на бесконечности остается тем же, что и при чисто диффузионной кинетике, т. е. имеет вид, представленный выражением (9,1), с-+се при у-+со. (1 7,2) а) содержание этого н следующего параграфа основано нз работе 121!. $17! уеапиеппГ копят>(тип>юй лпеямзпп лля пластинки 161 Для решения ззлзчи пеобхолимо валять лополиигсльиое условие, соответствующее начальному условп>о в урзвиспии лпффузип.
! !мс>шо в плоскости х = О, в которо!1 лежит точка иабсгапия иотокз из пластинку. должно пыпол>шться гслош>с с= — с„при х=О, к=О. Полученное раисе решение (!5,8) автоматически уловлстпоряло послелиему трсбоваишо. Для иахпжлеиия распрслслсиия коппгптршпш при смсшзипоя кинетике необходимо и лостаточио найти рсш:иис ураш>сипя (15,1), удовлетворяющее указанным граничным условиям )211. В этих Ослах, т. е. лля получения решения ураписиия (!5,1) с попыми гршпшиыми условиями, введем псрсмсииыс 1 3 ' Тогда урапиеиие (15,!) примет пил дс 1 д"с д:- т дгз' (17,4) Это выра>кение является урависиием, схозиым с урзвисписм тсплопроводиости, с той лишь разииией, >то в псм коэффиписит лиффувии зависит от перемеппоя сп Вырюксишо (17Л) можно придать более улобный вил, вводя новую псрсмеииу>о а = — р '.
Х Тогда указанное урзвиеиис (17, 1) булст иметь слслующий вил: д"с 1 дс дс с>->+ 3 д- г>"-.' (17,5) Уравнение (!7,5) было полросшо псслсловзио в работе Сэгтпиа 122), в которой рассматривалось иссколько более об~пес урявиспис дес 1 — >р дс дс дс" а дг г>! ' (17,6) При р = '/> из (17,6) пол> >зстся (17,5), при р=юз †обычн травление теплопрополиости. Для интегрирования ураписпия (17,6) Сэттпипм бьш рззвпт общий метод.
аиалогичш>й теории интегрирования урзшгппш тсплопровод- ности, прелложепиоп Гурса. Отсылал зз полробиостщш к орншишльиы» рзботзм Гурса и Сэт- тона. ограничимся лишь самым оелцпм описанием этого метода из примере урзвиеиия (17,5), Прелставим па<оку>о фуиглппо с (л, !) = .ч 5 (1, ), 102 (гл. и конвяктивнля дньфгзня в жидкостях Тогда 5(Е, г) должна удовлетворять уравнению дз5 1 д8 1 д5 дге г дг 9гз дЕ ' — + — — — — 5= —. (! 7,7) Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решениями служат. например, функции где Л и р — произвольные постоянные, а гел — функции Бесселя индекса +-'/з').
На основе этих функций, являющихся решеннямн уравнения (17,7), можно построить два фундаментальных решения уравнения (17.7). Для выбора фундаментальных решений удобно воспользоваться свойством инвариантности уравнения (17,7) относительно преобразо- вания / 1 Е-+ — —; г-+ Š— е' Е ' ! — г ! г 5'-+ . е ей-м 5! — —, Š— 'Е 1 Š— Р' Š— Р)' Это означает, что если 5(Е, г) является решением уравнения (17,7), то функция 5' = — е а и-М ° 5 ! — —, — ! также является Š— р ( Š— р'Š— р) решением этого уравнения.
Выберем в качестве функции 5 одну из функций: 51 — — ехр ( — 4 ) 79„(2() . 5г=ехр( — 4 )У .ь(2Е), где Л вЂ” произвольное число и )яд — функция Бесселя мнимого аргу. мента индекса -~- '/,. Тогда мы получим два решения уравнения (!7,5), которые в дальнейшем будут именоваться фундаментальными реше- ниями этого уравнения: У+У ХПЯ(Е, г; Л, Р)= 2(Е Е) е г! !*Л'! 2(.
Е) ~ где индекс 1 отвечает верхнему, а индекс 2 — нижнему знаку бес- селевой функции. Фундаментальные функции Х1 я определены фор- мулой лишь для Е > р. Сэттоном показано, что при Е (р. г) О обе эти функции равны нулю. Фундаментальные функции Х,,(Е, г; Л, р) удовлетворяют урав- нению (17,5) при любых значениях параметров Л, р и в этом смысле могут рассматриваться как функции четырех переменных — перемен. $7) углвие1п1Г коивсктпвпоп дпеаузпп лля пллстппки 1оз нвыс (», а) и параметров (Л, р). Построение фупдаментзльиых функцн)а 7(г я для уравнения (17,5) пе является чем-либо специфическим может быть зиалогичпо проведеио для общего урзвпепия (17,6), Более того, при р=')з можно аиалогичиым образом построить фундаментальное решение урависция теплопроводпости, если при этом воспользоваться свойством бесселевых фуикций Уы„, которые выражая>тся через гиперболические спп>'с п косинус.
При этом получается: о-ь)' 4 й — и ул +у.а= =. „° Я>Р. ! 1:(".— р)" С помощью фуиламсптяльпых фуикций у, з можпо построить решение краевой задзчп, связанной с урзвпсписм (17,5), т. е. найти решение уравпепия (17,5), удовлетворяющее некоторой системс грзннчных условий. Именно, построим функцию С(Е, а) = / (Л(>., р) ул+В(>., р) т,,) [Р(Л, р) с1>. +Г)(Л, р) г)р), (! 7,8) Ь А (>., О) Р(>., О) = Л "Л(>,) В(Л, О) Р(Л, О) =Лч (а(>.), фУнкции У,(>) и )з(>) ОУлсм дла пРостоты счптзп пспРсРывпыми и ограничеииымп при >, — ь -о. Тогдз иаходим: с (с, а) = с, (с, д) + с, (), -) = = / -' —, .-- --схр > — - —,.— ~ .!ч (,.:)и>.
+ в р 7 (>> Х е" 1 з" >л 1 г>с> / -- — ' 1 = 1-ч~ l ' (! 7,'1) где;(г и у — фупдзмсктзльпыс решения уравнения (17,5), а Л, О, Р и Я вЂ” функции параметров Л, р, интегрирование вслстся по некоторому контуру в полуплоскости >..л. О. Вь|бпрая кои гур интегрирования и функции Л, Ро Р п Я> должиыы образом, получаем решеине краевой зала ш, удовлетворяющее уравнению (17,5) и залзппой системе граничных >.словий. Общий л1етод решения мы применим здесь к формулироваипой выше системе граничивших условий.
Лругой пример использовация этого метода булст дзи ипже. >Лпзлогш|иос решение краевых залач для теории тсплопроволпости могкпо пзйтп у Гурсз. Выберем в качестве пути интегрирования прямую р.=-О и положим 104 конвективнля диеетзия в жидкостях [гл. Н где с,(Е. г) н с,(Е, г) определяются первым и вторым слагаемым соответственно. Покангем, что можно так определить неизвестные функции Л(Е) н Уе()), чтобы удовлетворить граничным и начальному условиян (17,!) — (17.3). Тем самым задача будет полностью решена.
Прежде всего, заметим, что в перелгенных (г, Е) будем иметь: р(дс) 1, О(дс(Е, г))деду 2-'Ура, 1,в (гч до<1, г)) Поэтому система граничных и начальных условий перепишется в виде 2 ~~)лЕ д Иа (гт " 1=4 Ив с(Е, г), ("7 1') (17,2') Ив с(Е, г)=с, г+ со Иа с(Е, г) =со. ге+о Ив с, о(Е, г)=1(г). 1-~+о Ив с, з(Е, г) = Иа 7(г) !!в с, (Е, г) = 0 оьа СО Иа ~гт* "д"'~= — Е '~ Л(24~'Ер)е-гоар СО Иа са(Е, г)= 2 / Л(2)7Ер)е-Рр Н гор Игп ~гт ' (=0 И. (Е > О).
(Е > О). 1Н. (Е > О). (Е > О). Н!. (Е > 0). НИ. Последние четыре свойства сразу получаются, если рвало>кито /Хг т н ряды 7е и ! — ) и подставить в интегральные йыраження для с,(Е, г) н ся(Е, г). Как было показано !Сэттоном, функции с,(Е, г) н са(Е, г) обла. дают следующими свойствами: $ !7! твлвиеипп коьшгигтппьюй диев тань/ для плхстпьпги 100. Свойства 1 и 11 показы//вьет, что йпь с(1, .) =./ь (д)+ 1,(е) = с„ 1 -ь.,ь 11пь с (!, е) = йш /ь (-) + !1ш /в (е) = с„. Таким образом, услошш (17,2') и (17,3г) будут улоплстнорепы, если положить ./'е ().) =- е, — (, (Л), Остается полобрать 1,(),) твк, чтобы удовлетворить, оставшееся условие (17,1').
Подставляя в (17,1') аиачсьшя вхолящих в исто величии, у штывая свойства !Н вЂ” НП и у пьтывая (!7,2'), находим: ° / Е '* / Л(2)/Гр)е-"г1р = "',, / (ее — уь(27"гр)~е "р '/'а'р. (17,10) Иа этого соотношения легко определить ььсььаььсстььуьо функцию Л()). Положим — 1, (2)1 /) = р (1); тогда 2ль ( — ~) 0 Интегрируя слева по частям и полагая о(0)=0, получим: "Р(-'Т) -„ — — — / р'(1) е "'/11 = )1 (ев — р(1)! е "1 " /11, 2/гр( —,.) в е откуда следует, что искомая фушаьпя гр(1) является решением дпфференциалыього урапиеьиш , (2') — ~ (1) =-(.— '(1))1-~ч 2/ Р— ) удовлетворяюшим начальному услоюпо о(0) =О. Легко найдем, что 106 (гл. ° конязктивнля днФФузня В жидкостях где (3)' 2вГ ( — ) Функция облегания 3 !в) л(г)= р('— ,')= .[1 —.
' ' '1. згч« йщ с(Е,г)= е Гь ~ е 'ч е-!!ге-т«Ж. «.«е !' ( ) илп з !пп с(1,г)= ~ «~ е зч !' е-гр-'л!(р. е ( Г~~)„ Переходя к потоку на пластинку !' и координатам (х, у), получим: «/ 1'(х, О) = — ' / е !' е гг 'Ь!(г, '! 3)" (17,11) где для краткости введена безразмерная величина Т 3 'Г13) а» ' Т (17. 12) Разлагая подынтегральный множитель е-!'д в ряд, мы получни для 7(х. О) выражение в виде ряда по степеням Т, сходящимся пря всех значениях Т. Однако этим разложением имеет смысл пользоваться только в области малых Т. записывая / в виде У(х.
О)= [Рн — Г( — ) т, +ГИТ вЂ” — т — йз1, (17,13) где СО / ~ 4 + 4 5 О Подставляя значение 7«(г) в полученное выражение, найдем значение функции е(1, г), удовлетворяющей уравнению (15,3) и начальному н граничному условиям (17,1), (17,2). Из свойств 7! и функции га следует, что 108 конвективнля диееязня в жидкостях и вырагкения для 7(лч О) в формуле (1?.13) следует, что при 7 (( 1 толщина пограничного слоя равна 1'(3)то г (=,-) л (17, 16) ф 18.
Релаксация диффузионного процесса Важное значение для выяснения сущности процесса копвектнвпой диффузии в зкидкостях представляет изучение таких диффузионных задач, когда разные части реакционной поверхности обладают раз. личными свойствами. Подобного рода задачи, как будет указано При больших 7 дяя о пз (17,1) н (17,15) следует: = 3 (3) а что совпадает с выражением о, данным в 8 15 для случая предельного потока (т. е. л-+ со). Сравнивая формулы (17,16) и (17,17), видим, что отношение коэффициентов при — равно около 0,7.
Иными словами, толщина Т л пограничного диффузионного слоя изменяется по различным законам на различных участках пластинки и зависит от значения отношешзя —. т л Различие в законе для изменения Ь связано с различием в роли конвективной подачи вещества вдоль и перпендикулярно к пластинке на разных ее участках. В рлементарной теории Нернста теория диффузионного слоя считалась характерной величиной, зависящей в крайнем случае от скорости движения жидкости. Как было показано выше, элементарная теория Нернста оказалась несостоятельной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
