В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2А А ЬВз . А(А»+Вз) а 2а" баз Точно так же можно получить формальные разложения, удовле. творяющие уравнениям и граничным условиям при малых с в виде Р=а," — — — — дзз.+ .... 6~ 1 2 3 0 = ! (-(»1 -)- ! а(з -(- .... 3 Н= — а(г ( !з ( 1 3 получающимся при подстановке определений о„, о и оз в уравнения Навье — Стокса и уравнение непрерывности, а также в граничные услсз(»а вия.
Постоянная а = =а подлежит определению. У.— '- Исходя из граничных условий вдали от диска и на его поверхности, можно построить формальные разложения для функций Р', 0 и Н, удовлетворяющие приведенным уравнениям и граничным условиям. Характер этих разложений при больших значениях 1(аснмгзтотического разложения) подсказывается граничным условием для У.з. Именно, поскольку асимптотическое значение Н(1) есть Н вЂ « — а при Е -» со, а функции Р и 0 малы при ! -« оо, в уравнении (11,1 1) можно опустить квадратичные члены и переписать его в виде — Р'а Ра при 1 -+ ос. Интегрируя это уравнение, мы находим асимптотическое вырыжение для Р Решеннг углвиения конвектиз!юй днегузии $111 Постоянные А, В, а, Ь! и а подлежат определению.
Именно оия доджны быть полобраны тзк, чтобы функции Г, 6, Н и производные гс~ и Ос были непрерывны. Тоглз из уравнений движения будет следовать непрерывность дальнейших производных. Численное интегрирование приволнт к значеюшм а=0,51, Ь= — 0,62, а=0,89, А=0,93, В=1,2!. Распределение давления Р может быть найлено автоматически. Мы в дальнейшем булсм пользоваться значением о в первом приближении т!„— 0.89 ~l жя при у — + со, (11,17) нк — — 0,51 )сс — уз при у кк- ~77 —.
(1 ! 18) Графики функций Г, 0 и Н нрнвслены на рис. 1О. Из пила этих графиков, экспоненциально спадающих с ростом '„вытекает слслуюшая картина распределения скоростей: при зизчсниях 1 что отвечает значению где = з,а, со у=!с, оо оо (!1,19) зчецня, и з!щ- нжаето знзо.! !.,=8,51/ — ' скорость о, лостигягт зн равного 0,8 нредельног чения. Скорость оь сп ся до 0,05 от сво! г чения на поверхности диска. Можно поэтому условно с !и о оу го сз го д5 ЗО З5 ! ! 15 тать 8„, опрсдслшшое но фор- с-( ) а муле (11,19), тол!циной гилродинамического погрзничного Рис. 1О. Графики функций ", б н 7!'. слоя на поверхности диска. В пределах пограничного слоя отличны от нуля рзднзльпый и тзнгенцнальный компоненты скорости; вне этого слоя имеется только аксиальное движение (Рис.
1!,а). На рис. 11, б изображена фактическая картина линий тока у поверхности лиска (метод ее получения булет разъяснен к 8 59). 91ы пренебрегаем эффектом краев диска. Это закошш, гслп толпища иограничпого слоя !„мала по сравнению с радиусом дискз Й. Перейдем тснсрь к формулировке диффузионной задачи !17!. Уравнение конвсктивной диФФузии в цилиндрических координатах имеет вцд дс о, дс дс /дес, дгс 1 дс ! д"с 74 коизектизняя диФФузия В жидкостях (гл и. Граничными условиями служат с = се при у -+ оо, (11,21) где се — концентрация в объеме раствора.
В случае режима предель. ного потока на поверхности диска имеет место условие с=О при у=О. (! 1,22) Случай смешанной кинетики будет рассмотрен в следующем пара. графе. Будем пытаться искать решение уравнения (11,20), удовлетворяющее граничным условиям (11,21) и (11,22), в виде с=с(у), (11,23) т. е. считать концентрацию зависящей только от расстояния до поверхности диска, но не зависящей от г и ф. При этом мы заведомо пренебрегаем эффектами краев диска, | у которых решение вида (11,23) не может иметь места'). Рнс.
1!. Распределение линий тока жидкости около поверхности вращающегося диска. а-схеме; б — емиии треееемие ие ереиеемитемее еисее. В предположении (11,23) уравнение (!1.20) приобретает вид ор (у) — „= с) —,„ ерс аис (11,24) з) Подчеркнем, что в отсутствие конвекции, т. е. в случае неподвижного диска бесконечно большой поверхности, диффузионная задача ие имела бы стационарных решений при неограниченном об ьеме «инакости (т. е. граничном условии (11,21)).
В поле тя'иестн наряду с вынуткдениой конвекцней в растворе может возникать естественнзя конвекцня (см. й 23). 75 $11) РЕШЕНИЕ УРАННЕННЯ КОНВГКТИЯНОИ ДНФФУЗНИ Интегрирование уравнения (11,24) лает: -„— = а, ех р ( — / оя (г) г(е ~. ау ' ( 71,/ (11,25) Повторное интегрирование дает: я ( ! с = а, ~ ех р — ~Ч, (е) а'е ~ ат + а,. 1 (11,26) о о Пля нахождения постоянных а, и ае воспользуемся грош!чными 'условиями (11,21) и (11,22). Последнее сразу лает ая=О, так как при у=О интеграл в (11,26) обращается в нуль.
Граничное условие (11,21) лает: (1' ( со= а, / ехр ( — / оу(е) !(е ! Л. (11,27) 7 =- (( е х р — ~ оя (а) г(е 1 г(Г = о о = / е хр — / о, (г) о(е 1 !(Г+ / ехр ( —., / оя (г) г(г ) Й = л! + ум Ь Йля ./! полу !асм с помшцью (! 1,18), пренебрегая в о, старшими членами раз!!оженил по степеням у, о /' / 7,= /-р "', >,Г. 5,8811.' '-' 1 Лля вычисления послелпсго интеграла разобьем яао область интегрирования на две части: от нуля ло о, и от оо до бесконечности, где о, опрелелеиное но формуле (11,19), прелставляет область пограничного слоя.
Впе пограин шаго слоя оя дается формулой (11,17), Внутри пограничного слоя нл изменяется по сложному закону. Однако, как это указывалось в Ч 10, при болыппх числах Пра!Рдтля (т. е. пРи Ос~~ У) основнУРФ Роль игРает область маль!х по сРавпсп!Но с оо расстояний до твердой поверхности. В области у (бо для о, можно воспользоваться формулой (11,18). Ниже мы вместо ок подставим аначение из (11,18) и проверим спранелливость этой онерании в ходе вычислений. Итак, писем: [гл. а конввктивн*я диеегзия в жидкостях Вводя новую переменную . чг и=, и' 5,88 Р'лч'л (11,27'1 находим: 3л 3/ 6Р лчл вь о ч При — )) 1 верхний предел в интеграле существенно больше Р единицы, и, поскольку подынтегральное выражение весьма быстро убывает при значениях аргумента больших единицы, его можно заменить на бесконечный.
Тогда 18!Р ьчд l о Мы видим, что благйдари быстрой сходимости интеграла при «))Л в разложении оа'можно действительно ограничиваться первым членом. Основной вклад в У, дают лишь малые и. Интеграл в ./, выражается через а гфункцию и равен е "'"и= ' 1е """'= з Г( — ')=Г(1+ З)=Г(з)=089. о о Поэтому окончательно У,=1,б1 —, ез ~ сю ( $ ~ о» / ~ 7.
( ~ 1 ~ ~г 7. ~ 68917чиь Р 1 0,89 1' юа ~~ Р -з(о) При «))Р значение интеграла ./е весьма мало по сравпени~с с l,, и он может быть отброшен. Тогда У l,. и из (11,27) находим, что сз а =— 1 г Лналогично вычисляется интеграл уа: (» ) 181Р лаби г / е-"' г(и.
„Чг о % 111 Решенне уРАВнения конвективной лиФФузии 77 Поэтому окончательно лля распрелеления конпеитрации, которое удовлетворяет уравнению коивективпой диффузии и граничным условиям, имеем: с =. — ' / ехр ( — / тя (л) с/а ) дг = — / ехр 1 —, / и (г) г/г ) г/Г. (! 1,28) Для того чтобы представить себе хол с с расстоянием у ло поверхности диска у=О прп мазь~к (по сразиенило с Ьа) у, подставим в (11,28) вместо та его выражение по (11,18). Тогда Выралкеиие с для распределеиия коицеитрапип (при у ( да) можно записать в спмметри шелл виде: Е "дм 050 с =- с —, (11,29) Г-" -и* д, 020— о где и опрелелено по-прежиел~у формулой 11,27') и через г' обозначено отношение л, (,о 0 05 40 Сл - —.У У.
Рис. 12. Зависилюсль концеитрации раствора от расстояния ло диска. Формула (11,29) показывает, что при мачых у концентрация весьма быстро (быстрее, чем по экспоненте) вбзрастает с расстоянием у, Уже при У) 1, т. е. Ири у) —,1Л вЂ” / 8, ВВИЛУ быстрой схо- 2 ч димости интеграла можно заллеипть г' иа бескопечпость и формула (1 1,29) приволит к аиачепшо концеитрации, ралшому са (т. е. кон- центрации в объеме раствора). с На ..
12 изображена зависпл~ость — от у, давасллая (11,29), со Дифференпируя (11,29), паходилл плотность потока частлщ па поверхности лиска д у (д у де 1 Осл Оса (ч/ 1' = 0,620 "ч чч1 "са. (11,3(Л) конвективнля диоотзия в жидкостях [гл. и 78 Формулы (11,29) и (11,30) находятся в полном согласии с общими положениями, развитыми в 5 10. Роль толщины дифАузнонного пограничного слоя играет величина о, определяемая как и!н ня ° пони я и полном «н лгн нн г Форм»лнй ! !и. !5), ! соксрягнг н о! чнчш о! ! 10, 10! енйч ю л~ енг!! пкчнншп янгффшцшнт.
и облтстп т»нпцнонп -б и!ннкхолнг нсе оснонпоа изменение концентрации. При обычных значениях коэффициента диффузии /) 1О ' еже/сек в нодо и» 10 ежа/сек толщина диффузионного пограничного слоя о сос~авлает около 5о,'о от толщины гндРодинамического погРаничного слоя оо. Это полностью оправдывает сделанное в ходе вычислений упрощение, состоявшее в использовании формулы (11.18) для о„ вместо полного выражения, справедливого при всех значениях у. Существенной особенностью диффузионного пограничного слоя на диске является то, что его толщина не зависит от расстояния до оси вращения диска н постоянна по всей его поверхности, за исключением краев дискж у которых все рассмотренное неприменимо. Область краевых эффекто$ простирается, по-видимому, на расстояние порядка оо от края диска. Формула (11,30) показывает, что плотность диффузионного потока на поверхности диска пропорциональна коэффициенту диффузии растворенных частиц О в степени е/з, вязкости » в степени ( — '/,) и угловой скорости вращения в степени '/,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
