В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Приравпи./ дг вая изменение числа частиц в объеме числу частиц, в пего приходящих, имеем: / — ' Лт = — ~) г)8, Преобразуя интеграл правой части уравпсиия по формуле Гаусса— Остроградско~о, ичесч: - — ~Ю == — ~ П'1Ч) ГГ'г'. дс дг (8,3) Ввиду произвольности объема из выражения (8,3) следует, что дс д1 -- = — гйч), (8,4) или дс )1 — = Йя (О шЛ с) — Йч сч. (8,5) 1)гя(0 гзйс) =-Ог)1Т гзг! с=- Оде Далее, сйк(си) =(т гзй) с+ с 11)т ч. Пренебрегая зависимостью коэффициента диффузии от коппсйтрации и считая его постоянным, можно паписатьс 58 конвективнля диееьзия в жидкостях [гл.
и В силу несжимаемости жидкости д[ч ч = О. Поэтому окончательно уравнение (8.5) можно представить в виде — -+ (ч кгаг[) с = с) йс. дс (8,6) Уравнение (8,6) и является общим уравнением конзективной диффузии. В координатном представлении его можно за. нсать слелующнм образом: дс дс дс дс Г дес дгс дев з — + — + — + — = () ~ —,, + — „+ — „~. (8,» дГ ' л дх я ду 'да адле дуз ог"-г' Скорость течения жидкости ч, входящая в уравнение копвективпой диффузии, является, вообще говоря.
функцией координат. Поэтому с математической точки зрения уравнение конвектнвной диффузии представляет собой уравнение с частными производными второго порядка и с переменными коэффициентами. Как известно из теории уравнений с частными производными, задания уравнения, которому должна удовлетворять искомая величина — в данном случае распределение концентрации с(х, у, з, у), — недостаточно для полной формулировки задачи. В дополнение к уравнению должны быть указаны граничные и начальные:условия, которым должна удовлетворять функция с(л, ч. з, Г). Задача об определении функции, удовлетворяющей уравнению и системе граничных и начальных условий, называется краевой аадачей. Для некоторого класса граничных и начальных условкй может быть доказана теорема единсгвенностн, согласно которой данная краевая залача имеет одно и только одно решение.
Характер граничных и начальных условий зависит от характера физико-химических процессов, в которых мозкет принимать участие растворенное вещество. Различные примеры граничных условий будут рассмотрены в дальнейшем. Пока же мы будем предполагать, что совокупность должного числа граничных и начальных условий задана. Уравнение конвективной диффузии существенно упрощается, если распределение концентрации с можно считать ие изменяющимся во времени. Законность такого допущения обычно становится ясной нз анализа физических условий процесса. Если с не зависит от времени, де так что — = О, то вместо (8,6) получаем для распределения кондг центрацин уравнение (ч дгад) с = 0 Ьс.
Другое существенное упрощение уравнения (8,5) имеет место в случае неподвижности жидкой среды. В этом случае ч = О и уравнение (8,5) превращается в обычное уравнение молекулярной диффузии дс — = 05с. дг (8,9) коивгктияивя дияэгзия в жи>>костях откуда = — сй>ч) + б>», дс г)г или дг -Р!э дпб) с = В ли -1- Я,. д> (й>,10) г!собходимо подчеркну>ь, по г>ч — всличила, пмс>о>иля объсмпый характер. ')зстипы, исчезающие и.>и возникающие >и игшсрхнос>и реакции, учитываются >т> и,ко грани'щыми условнямп.
11аги>чис источников или стоков пз грющчной поверхности пс мо.кст отрз>кзгься непосредственно пз урал>~сими диффузии, тзк как оио отражает баланс числа частиц л об ьсчс раствора. Уравнение конвектппной диффузии по существу и по форме схадио с ура>щщпщм п>дродииамики Навьс — Стокса. 11ослслис с выра, каст бзлавс количества дни;>.опия, переносимого в я,и.>кости, в то время кзк первое выражает балапс В отличие »т уравиения кш>всктивиой дифф)'зип, в котором содержатся коэффициенты, зависящие от коордипат — компоненты скоРости т>м, в„ и о„ вЂ” УРавиение молскУлЯРиой диф>1>тзии пРедсгавлает уравнение с частными производными второго порядка с постоюшыми коэффициентами, Решения последисго уравнения при рз>иообразиых граничных и начальных условиях летально изучены в мзтсчапщсской физике в связи с задачами теории тсилоиередащ.
Кзк известно, рзспрсдглсиие температур в неподвижной среде удовлетворяет такому же урзвпешпо, что и распределение концеитрзции, в котором только вместо коэффициента диффузии фигурирует тсмпсратуропроводность срглы. Несколько краевых задач в иелодвижиой среде будут рассмотрены ниже в связи с их физико-хими >сскимп прилоя<спнями. а также для сравиеиия решений диффузионной задачи в пеподви>кной и движущейся среде. В некоторых слу>аях приходится изучать распределение концентрации вещества, которое изменяется в результате хили>- ческих или иных процессов, например в результате рекомбинации или иоиизапии, происходящих во все>> объеме жидкости, или некоторой объемной хими>еской реакции, в которой учзству>от растворенные частицы.
11 этом случае уравнение копвектпвиой лиффузии должно быть дополнено членом, учитывающим появление или исчезновение частиц в обьеме жидко,-ги (источников или стоков). 11угть в некотором элсмсите Лг, находящемся н объеме жидкости, возпикает или исчезает вещество. Обозначим чсрсз Я,(г)>)>> число юстиц, возникающих я 1 сск в объеме г>>>, изходюцсмся покр) г точки г, Величина Г,)в носит название к>о~цвести исто'шика.
Если истицы исчезают, а ие возникают, то Д, отрицательпо. Вводл Г>вг>)Г в баланс частиц в обьеме 1', имеем вместо >'й,З)> 60 конвзктивнля диооязия в жидкостях [гл. и вещества. Поэтому в рассматриваемом случае вполне лопустнмо использование тех же методов решения, какие применяются к уравнению Навье — Стокса. Приведем уравнение конвективной диффузии к безразмерному виду, введя характерный размер ь'.
на котором происходит основное изменение концентрации, и характерную скорость движения (У . Рассматривая сперва случай стационарного процесса, мы можем на- пнсатон эя де еч до я, дс Р ( доо дое дог 1 + 1й, у + ~.й, л Ц,(о ~ + го+ "-! од од о д д д Е й ув !.о Сор Ш~ г. Безразмерное отношение Ре= — ' (8, 12) носит название числа Пекле. Вводя в уравнение (8,11) число Пекле, можем написать его в виде дС дС дС 1 г'доС доС д"С1 ~ дХ+ "д!'+ 'д.о Ре (дХ +д)'о+дЮ)' Левая часть уравнения конвективной диффузии характеризует конвективный перенос вещества вместе с жидкостью, правая часть— молекулярную диффузию. Очевидно, что все безразмерные члены, входящие в уравнение (8,13), имеют, вообще говоря, порядок единицы. Поэтому соотношение между конвективным и диффузионным переносом вещества характеризуется единственным числовым параметром — безразмерным числом Пекле.
Оно играет для процесса конвективной диффузии ту же роль, что число Рейнольдса для течения жидкости. Если число Ре мало, то выражение, входящее в левую часть уравнения (8,13), имеет старший порядок малости по сравнению с членами, стоящими в правой части. Поэтому члены, входящие в левую часть уравнения, как имеющие старший порядок малости, следует опустить и лишь после этого приравнять члены. стоящие в правой части, нулю. Это означает, что распределение концентрации определяется в основном процессом молекулярной диффузии.
Перенос вещества конвекцией имеет при достаточно малом Ре пре- и . яя Вводя безразмерные компоненты скорости У = — ', У = — и *=и, я=и. У, = — и безразмерные координаты Х= —, г'= — и л = —, во л 0о А' Е С' с а также безразмерную концентрацию С = —, тле со — постоянная оо ' концентрация в толще раствора, имеем: дС дС ~ дС В ! доС доС доС~ У вЂ” + У вЂ” -(т У вЂ” = — ( — + — +: ! . (8,1 ! ) дХ и дУ, оЫ и,(ЛдХ д Ы)' конввктивнля диевузия в жидкостях й 81 небрежимо малое значение.
Из определения (8,12) числа Пекле слсдует, что такая ситуация имесг л>осто (при данном [)) при достаточно малой скорости лвнжения жидкости и в областях малого масштаба. Напротив, если число Ре велико, то вырзжение в правой части уравнения (8,13) мало. В этом случае распределение концентрации опрелелястся в основном конвектнвным переносом и молекулярной диффузией можно пренебречь. Следует тут же подчеркнут!о что послелнее рзссужденнс может оказаться несправедливым в той области жидкости, в которой имеет место резкое изменение концентрации и где производные от концентрации по одной из коорлннат имеют особо большое зна >синс.
В этом случае члены, которые содержат указзнныс производные, будут 'иметь младший порядок мзлости, дзжс если онн умцожсцы на малый числовой м>ннк>пель. С таким слушсм мы г>ке сталкивались при рассмотрении теории пограничного слоя Прзндтля. Составим отношение шола Пекле к числу Рейнольлса. Это безразмерное отношение носит название числа Прзндтля Рг: [.>„б, [>„б Рг = Рс [(е =-'".-' — "--'= [> " 4 IЭ (8,14) Правд>ля лля диффузионных процессов имен!чот числом >) Иногда число Шмидта Бс. т) Закоп (8,!5) О взаимоо>н>ошснии имеет прияли>кснн>яй характер. Более полровно вон[юс ком[к!>ициен>ои днФФУзии и вязкости см. в % 1!. Число Прандтля ') нс зависит от скорости течения и характерных размеров и определяется исключительно л>зтеризльными константамн, характеризующими перенос импульса и вещества чисто л>ог>екулярным механизмом.
При значении чнслз Г!рзцдтля, равном единице (т. е. когда ч = О), имеет место подобие между переносом нмпульсз и венгества. В той области жидкости, гле преобладает молекулярный механизм переноса импульса, будет доминировать такнсс и молекулярнь>й механизм переноса вещества. Подстановка численных значений коэффициентов диффузии и вязкости в вь>ражсние (8,14) делает очевидным различие чисел Прандтля для газов и жидкостей. У газов числовое значение коэф4>ициента диффузии и вязкости одного порядка вели >ины, так что Рг 1, Иначе обстоит дело у жидкостей. Вязкость подвижных жидкостей — д типа воды составляет около э, 10 ' смз/сс>г.
Коэффициенты диффузии молекул и ионов в водных растворах рваны но порядку величины О . 10 ' с.цз[свк; у макромолекул О=. 10 ' с.пЦсс>с. Поэтому у воды и сходных с ней >килкостсй Рг: 10'. При >цорастании вязкости жидкости коэффиписнт диффузии ул>еньшастся но закону з) сопи 0 = — -'-.
(3,15) 62 конввктивнля диеэгзия в жидкостях 1гл, я Поэтому число Пранлтля растет с увеличением вязкости пропорционально квадрату последней. В вязких жидкостях число Прандтля достигает значения порядка 1Оз и более. Большое значение диффувионного числа Прандтля физически выра>кает тот факт. что уже при весьма малых скоростях перенос вещества в жидкости конвекцией преобладает над переносом его при помощи молекулярной диффузии: молекулярная диффузия вещества в жидкойтях происходит столь медленно, что для увлечения вещества движущейся жидкостью достаточно самых медленных течений. Можно утверждать по. этому, что в движущейся жидкости процессы конвективного переноса растворенного вещества играют большую роль, чем в газах. Важнейшим вопросом является вопрос о взаимоотношении между процессами переноса вещества и тепла в движущейся жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
