В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Оценим порядок величин в уравнении (8,7) при значении у 8, где 6 — толщина диффузионного слоя. Имеем, очевидно (ср ч 3). (гл коняективнля днееузия в жидкое ях )(ля компонента о„ можно подставить его значение вблизи тверд поверхности по формуле (3,40). Тогда находим." дс Мс о аду аз (1ОЛ) Лалее, имеем дс а с с дс х *дх а,х аа =' яду ° (10,19) так как из уравнения непрерывности имеем а дп пя (10,111 Наконец, дас Вс дуя ае ' (10,1!! При значении у) Ь диффузионный член в выра>кении (10,7) мм жет быть опущен; при у = е он ле. лается сравнимым о копвективныа, Поэтому, сравнивая выраженгя (10,9) и (10.!2) при у=о, находиа; 3 — —., (1О, ! 3) с Вс -3 аа ео откуда толщина диффузионного слог р~9 Ргл Такиы образом, при Рг 10а тоа.
Рнс. 9. Толщина диффузионного шина лиффузионного пограшщнога и гидродииамического погравич- слоя составляет примерно лес>пув ных слоев. часть пранлтлевского слоя (рис. 9), Поэтому касательная слагающая ско. рости движения жидкости на границе диффузионного пограннчнога слов составллет около 1Оо>>а значении скоРости вдали от твеРлоа поверхности. Из выражений (10,14) и (3,38) без труда находим: 3= В'".'л „/ — ". г Уа (10,15) Мь> видим, что толщина диффузионного пограничного слоя окз' зывается обратно пропорциональной корню квадратному из скорости ()> ! набегающего потока жидкости, растущей как корень из расстояна4 !Гх от точки набегания потока жидкости на тело, а также зависЯ' щей 1рт вязкости жидкости и.
коэффициента диффузии частиц. % 101 озшзя тгог!'я кои"кти"иой и->3'и в гид>(остях 69 Расчеты показива>от, что в пределах дпффузиоипого пограиич„ого слоя концентрации раствора быстро изменяется. В первом приближении заков изменения копцсптрацип мс»кко считать линейным. Поэтому выражение лля диффузиопного тока можно прпблпжснио представить в виде гзс я >>и яз = —:— т. в.
в таком жс зиле, как и теории Нсрпстз. Однако в данном случае й является зполнс определенной фупкцией свойств жилкости и скорости ее лип>кения, а такжс коэффициента диффузии. Более точно распрелслеиис концентрации и всличипы тока может быть найдено из точного рсшсиия уравнения (!0,7). Это решение может быть провсдсио лишь тогда, когда гсомстрпчсскпс условия особенно просты. Здесь уместно булет прояссти срзвпеппс попятив лиффузиоииого пограничного слоя, опредсляемого формулой (!0,15), с понятиями диффузионного слоя Нсрпста и пленки. Введенный изми пограничный слои припципиззьпо отличается от слоя Нериста и от пленки.
Лейстпительцо> 1) и пем учитывается движение жидкости и вь>зывземый им конвективный перенос ве>нества, тогда как в слоя Нсрпста жидкость считается исподвиагиой; 2) в диффузионном погрзпичпом слое рзссматривастся коивективиая и молекулярная диффузия, идуп>зя как попсрск слоя, так и вдоль него (в э 17 будет показано, что коивсктивиая диффузия вещества в танга>шпальном направлении играет суи>ествспиую роль в псреиосе вешестт>з). В тсорпп Нериста и плсиочиой теории диффуэпей в таигенцизльпом направлении полностью прспсбрсгают и прсдползгзют, что толщина слоя одиизкопз пз вссй повсрхиостп тсла. В действительности, благодаря тзпгенцпзльиому пгрсцосу часгиц толщина диффузионного слоя су>цсствсицо различна ца разных точках поверхности. Поэтому тсорпя Неристз и пленочная теория могут привести к зизчнтсльпым погрешностям; 3> толщина слоя Нсриста илп приведенной пленки считалась при лзцпом рсх<и»с лвп>ксппя фиксированной.
Между тсм дифф!>узиоциый пограничный слой пе облзласт четко выраженной грзппцей, Г.г нрслсгзвляет область паиболее рсэкого измепспия коппсптршцш всщсствз. Прп этом, как видно из формулы !10,!0), толиопш лпффузпопного слоя заш>спт пс только от свойств раствора и скорости сго тсчсния, ио также и от коэффициента лиффузпп. Это озпа шст, что толщппз погрзшшного слоя оказывастся зззпсянцси от природы лиффунлиру>ои>его всшсства.
)>зждому нгщсст>ш, иишопц чг шип>ос >иш гшпц ко> !»)н>цпеитз лиффузии. от>ц ч>:г с>ч и пог!ьппп>~п >И слоИ. В слу ыс. ю>гл> дпффгпю>руст Одпопргмещщ >юсщоп,ко вс>цсстп, прп данных услозпях р>>чсшизаИия одцоврсмсипо сущсствуст несколько пограни щых слосз. 70 1'л, и конввктивнля диовкзия в жидкостях В 11. Решение уравнения конвективной диффузии к поверхности вращающегося диска о до, до о„о, — — +о.— + — + г дт г дг г и д», 1 др у 2 до„о„т — ~= — — — +т(бо + — — — —;;г1, ду гг дт 1, ч+ г~ дт г'-') ' (11,2) ов дои дои до, 1 др — — -+о„— + о — = — — — -+ ибо, г дт " дг и ду я ду и Ь, „д„ вЂ” — + — +. — -+ —" = О, г ду дг г ду (1 1,3) (11, 1) где о„ о„ и ои — радиальная, тангепциальпая и акснальная компомспты скоростй; дз 1 д ! дз дз дгл + г дг + гз доз + дуя Уравнения конвективной диффузии имеют наиболее простой вид тогда, когда поверхностью реакции служит поверхность вращающегося диска.
Вращающийся диск используется в электрохимии и удобен для изучения химической кинетики в лабораторных условиях. Решение задачи о движении жидкости, увлекаемой диском, вращающимся вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости, было дало Каряганом (15), а позднее Кочрэном (1 6). Проведенное последним точное решение уравнений гидродинамики приводит к следующей картине движения жидкости.
Вдали от вращающегося диска жидкость движется вертикально в направлении к диску; в тонком же слое, непосредственно прилегающем к поверхности, она приобретает вращательное движение, причем угловая скорость его увеличивается по мере приближения к диску вплоть до значения, равного угловой скорости самого диска. Наконец, благодаря центробежному эффекту жидкость приобретает также и радиальную скорость.
Приведем основные:, моменты решения задачи о распределении скоростей. Заметим, что эта задача представляла особый интерес для гидро- динамики, поскольку ее решение — один из немногочисленных примеров точного решения полной системы уравнений гидродинамнки. Под точным решением понимают такое, которое позволяет найти распределение скоростей во всем объеме вязкой жидкости. Лиск предполагается достаточно большим для того, чтобы можно было пренебречь влиянием краев. В цилиндрических координатах уравнения Навье †Сток и непрерывности приобретают вид от до„ до оз до„ 1 др г о„ 2 дог~ г ( г 9+ г + Г г 9~ г дт дг г иду р дг ~ " ги гздт) (1 1,1) 71 РешГпиГ урлвнГпия конвгктнвпой диФФузии На поверхности лиска лошкиы выполняться очеяидиь>е грзиичяые условия ог=О, о = яг и о„=О при у=О, !11 где в> — угловая скорость вращения лиска.
Условие для тангсццгзльиой слагаю>цей скорости т>Г показь>васт, что вблизи диска жилкость вращается вместе с пим. !!рзп>свис лиска, увлскшощсго >килкость, приводит к появлспшо вг>ги>.п> его поверхности зпз пггсльпой радиальной скорости, пзпрзнлсшшй от центра к кршо лиска. Лля того чтобы обеспечить подачу жидкости к поверх~>ости диска, влзли от диска должен существовзть постоянный вертикальный поток >килкости. Поэтому граничные условия на бесконечности имеют вил о,=О, о =О и т = — !уз при у .х>. (11,6) Будем искать рспшппя уравнений (11,7) — !11,9), удовлетворюощие уравнекиио >и>прерывности и грашшпыч условиям (11,5), (11,6), в виде и =- го>Р !":), о„= гв>!) (!), о, — — ~l рз>Н !!), 7> = — з«о>Р (".), Где перемеппая прелсгзвляст безразмерное отношение Е= 17> --у (!1,10) и Р, О, Н и Р— неизвестные функции, которые удовлетворяют уравнениям Гз — 6з -+ Р>Н = РР 2РГ) + ОУН = 6", ИН' = 7>'+- П", !11,11) (11,12) !! 1,1З) (! 1,!д) 27 1-!! =-О Зяачспис (/с должно бьгп, павлово из самого решения «влачи.
Зпзк минус означает, что скорость житиютп папрзнлспз к лиску з отрицательном направлении оси у. 1!аличис зксиалыюй симметрии приводит к исчезновению всех прои«волпых по углу ч>. Лзвлспие в жидкости можно считать постояш!ым влоль ралиуса г. Тогда уравнения !11,1) — !11,3) ложно псрсписагь в виде до о дог ж)со, део„! <Эо„о„> о —" — д.+о, .— "= ( „'+ --,-", -+ — —" — -",—,), (11,7) "дг г Г ду !«дуз дг! г дг г")' дор о,ор до«гд«о„с)со ! г>о о«> о„-- — -+ — — + о - —:= ! —.„. + — я-+ — — — -„-)„(!1,Б) " дг г О ду >, дуе дт- г дг г"-)" до, до„! д>Г Гдзоо ' дзоо ! д»о> о„— ' +- и — ' = — — — + т ! — --.-' + — „'-' + — — -') . !11,9) дг " др р ду > ду- дгс г дг )' (гл.
41 72 конвактивнля диеетзия в жидкостях и граничным условиям Р=О, 0=1, Н=О прн 1=0. Р-+О, 0 — «О, Н вЂ” « — а при $-«со, (11, 15) (11,16) Р, е 'г прн 1-«со. Аналогично уравнение (11,12) при 1- со приобретает вид — 0»а ж 0". откуда находим асимптотическое выражение для 0 0 е- .
при ! — +со. Поэтому асимптотические разложения для функций Р. 0 и У4» должны проводиться по степеням е-"г. Первыми членами этих разложений, удовлетворяющих уравнениям (11,11) — (11,14) и гра»»»гчным условиям (! 1,15), (!1,!б), служат: Р Ае-ае А +В е-ые» А(А +В ) е-заг 2аз + 4а» 0 — Ве-аг е-заг В(Аг+ Вг) 12а» Н= — а+ — Е аг — + Е-г г-+ ' + ' Е-"1+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
