В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Эта работа диссипируется при движении жилкости в данной волне, не передаваясь другим волнам. Такой расчет, не претенлуя на полноту. ~озволяет. тем не менее, выявить некоторые особенности ветрового волнения. Стационарному состоянию турбулентного движения жидкости со своболной поверхностьк1 отвечает существование спектра волн на поверхности жидкости. т При этом диссипируемая в жидкости энергия компенсируется энергией, поставляемой жидкости от воздушного потока. Напишем баланс поставляемой и диссипируемой энергии $130) возвхждвние ввтговых волн вольшой ю>плитгды бб1 Тогда ' — '1"- (-' —;. ~'- Турбулентная вязкость «хми может быть написана в виде 1 двч яыаь 1 ~ дг гае ( — масштаб турбулентць>х пульсаций.
Тогда окончательно (130,3) 1(ля вычисления диссипнрусмой л>ощности необходимо сделать некоторое предполо>кение о величине неизвестного масштаба турбу- лентных пульсаций 1. Относительно длины пути смешения 1 при турбулентном волно- вом движении жидкости нельзя сделать однозначного допущения, основанного на соображениях раз>>ерности, как это было сделано при турбулентном движении вблизи твердой стенки. В рассматриваемом случае по крайней мере три величины, имею- щие размерность длины, могут фигурировать в качестве масштаба дан>кения: 1) ллина волны )., 2) расстояние до свободной поверхности г + а. 3) амплитуда волны а.
В литературе (21) высказывалось предположение о том. что ). авлястся масштабом движения. Однако против этого предполо>кения можно выдвинуть два возражения: во-первых, Х является фазовой кинел>атической, а не динамической характеристикой волнового дан- >кения; между тем кажется весьма естественным, что масштаб тур- булентных пульсаций должен зависеть именно от динамических характеристик процесса; во-вторых, если принять допущение то из (130.3) и (130,1) получается выражение для амплитуды волн на поверхности, физически весьма неправдоподобное (см. ниже). Напротив, принятие второго допущения кажется вполне приемле- мым.
При ламинарном волновом движении, при малом значении а отношения — жидкие частицы описывают круговые траектории, радиус которых равен а>(плитуде а на поверхности и быстро убы- вает с глубиной. В случае турбулентного движения средние скорости также должны уменьшаться по мере удаления от свободной поверхности. Поскольку на крупномасштабное турбулентное движение вязкость не оказывает непосредственно~о влияния, естественно допустить, что (гл. хл волны льл повн хности жидкости средняя скорость нмсст тот лкс шщ, что и црн волноволл движении идеальной жидкости, (130 А) о аше-ае соз (Йу — ш1). е Последняя формула л~ожет характеризовать порядок величины о„ поскольку она была иывсдена для воли с малой амплитудой. Жидкие частицы.
участвующие в турбулентном движении, лишь в среднем движутся по закону типа (130,4). На это среднее движение накладываются беспорядочные турбулентные пульсации. При приближении к свободной поверхности жидкости пути, проходимые турбулентными пульсациями. по порядку величины должны совпадать с путями, проходимыми лкидкими частицами, совершающими осредненное движение, т. е.
1 а при г-+О. Из сообралкеннй размерности следует, что 1 должно линейно зависеть от расстояния до повсрхности. Обоим требованл~им молллио удовлетворить, положив 1191 1 — г+ а. Формула (130.5) тождественна с форл~улой для масштаба турбулентных пульсаций у шероховатой поверхности (см. 3 30). !'азличнс заключается в том, что «размер шероховатости» а не задан, а определяется возможным масштабом пульсаций на поверхности лкидкости. Длина 1 представляет расстовние от данной точки в глубине жидкости до свободной поверхности. Формула (130.5) становится очень наглядной, если перейти к той системе координат, в которой воздух неподвижен, а движется жидкость.
Граница раздела будет иметь вид «шероховатой» поверхности с размером шероховатостей порялка амплитуды волн. Турбулентные пульсации, имеющие более высокие частоты, чем осредншы нос движение,'будут обтекать эти шероховатости. Возрастание масштаба турбулентных пульсаций пе противоречит тому, что пульсационные скорости убывают в глубь жидкости. Действительно.
имеем: в' 1 — (г+а)вшие а*соя(йу — ш1), де т. е. тл' при г))) убывает практически по экспонепцнальцому закону. Хотя предположение (130,5) кажется весьма естественным. необходимо подчеркнуть, что все дальнейшие выводы малочувствителынл но отношению к этому предположению. Так, сели вместо (130,5) принять 1 а, то мы получим точно те же результаты. С помощью формул (130,5) и (130,4) мы можем без труда вычислить диссинируемую энергию.
Подставляя значение 1 и оя в (130,3), э !30! возвяждение ветеовых волн зольшой ьмплитглы б63 получаем, очевидно, для средней энергии, лнссипируелюй в волне длиною >с 7: =- — — !!Разы»Я ж — — Рл» вЂ” '„Я. 8!. ' ЗО Лчэ (130,0) л где р' — неизвестная постоянная и Х= —. Прн этом мы опустили 2я ' а члены, малые по сравнещпо с оставленным в отиошенпм —. Приравнивая между собюй лиссипируемую мощность и мошность, поставляемую ветром, находим: (130,7) Последняя формула показывает, что баланс моншости может быть выполнен при определенном соотношении между длиной волны и амплитудой. Поставляемая мощность может диссипироваться прн различных ллинах волн, имеющих соответствующие амплитуды.
опрелеляемые формулой (130,7). Таким образом, мы приходим к естественному выводу, что при данной скорости ветра при турбулентном режиме лвпженпя на поверхности жидкости л~ожет существовать целый спектр длин воли. в интервале 0 ( Л ~( Л „, а не волна вполне определенной длины и амплитуды. Наиболее длинная волна Л определяется из (130,7): ~7о Л ~»»» (130,9) а Р 42 ОФ йа да (д На рпс.
107 изображен д/д зависимость а от Л, даваемая формулой (130,7). Мы вилик Р"с. !07. За"исимость Са/Л „, отЛ/Л „; что при определенной длине через С обозначено выражение ~ —, ! волны амплитуда имеет мак- тгР самум. Максимальная амплитуда а» и отвечающая ей длина волны Л„ опрслеляются из (130,7) путем элементарных выкладок: (130, 8) 1 иа "ав» 4 д 664 /гл х~ волны нл позегхиости жидкости Формулы (130,9) и (130,8) показывают, что длина волны, облалающей наибольшей амплитудой, и сама наибольшая амплитула растут пропорпиопально квадрату скорости ветра у поверхности жидкости, так что их отношение (130,!О) не зависит от скорости ветра. Скорость распространения воли, обладающих иаксииальпой аиплитудой, равна, очевидно, 1 с„= —, иэ.
2 (130,11) Наряду с рассиотреипой задачей об установившемся режиме волиепия представляет интерес пеустаиовившийся режим — затухание воли в отсутствие поддеракивающего их ветра. Лля иахождеиия закона аатухания вновь напишем баланс энергии. Среднюю энергию воли можно записать в виде гстааэВ 4 Поэтому 1 и'Е л' ргеааа ,44 — — — = — ~)раз — ', 5 ЛГ И 4 АЬ (130. 12) Если считать, что длина затухающей волны не изменяется (что справедливо при малом затухании), то из (130,12) иаходим: 1 ча $1 ч и лг ' ха откуда 1 1 бди — — — + — ' (130, 13) ап и (т) иат а (0) ~а* .,'а„, (о)х А„ важ 1130,14) где х= с!= )уу~„„,! — пройлеииый путь, а „(О) и а и(х) — начальная амплитуда и амплитула по прошествии волно4 пути х. где ае — амплитуда в начальный иоыент времеии.
Припекая последнюю формулу к волне с иаксимальной аиплитудой, имеем: !30[ возвяждение ветвовых воли гольшой лмплитхды 665 формулу входит едю<ственная неизвестная постоян- В последаою ная р. Используя амплитудой в (130,10), получаем закон затухания волн с наибольшей несколько ином виде: а,„(х) = а (0) ваа ) 1+3 10-айт* —" Х аа1аа (130, 15) о,зГ' а ваа дЪнные Свердрупа и Мунка [23[ несколько лучше укладываются в формулу О,2и а ва» Ь Однако следует признать, что разброс опытных точек очень велик.
[(ереходя к сравнению с опытом формулы (130,11). не содержащей никаких произвольных постоянных. следует указать на эмпири жсйис формулы !<орпиша [24[ с„= 0,8(! и !!!отч[ [25[ г. =0,Уби. ааааа» Проделанный схематический расчет приводит к спектру волн, качественно согласующемуся с опытными данными, как это было показано в работе С. А. Кнтайгородского [26[, основанной на весьма общих соображениях размерности.
Сравнение теории с экспериментом может иметь лишь условное значение. Это связано как со схематичностью теории, так и с характером опытных данных, относящихся обычно к неустзновнвшимся режимам. Особенностью теоретических формул является то, что в них или вовсе нет каких-либо произвольных постоянных (см. (130.9) ), или содержится одна неизвестная постоянная, значение которой должно находиться из опытных данных (формулы (130,8), (130,10) и (130,12)). В литературе имеются несколько противоречивые эксперилаентальные данные: разброс опытных данных сравнительно велик. Тем не менее, наличие при данной скорости ветра па поверхности жидкости спектра волн с различными амплитудами, по-видимому, не вызывает сомнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
