В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 137
Текст из файла (страница 137)
В частности. она весьма слабо зависит от поверхностного натяжения. и, следовательно, на нее не очень сильно влияют примеси поверхностноактивных веществ, снижающих поверхностное натяжение. Лля оценки порядка величины толщины пленки, увлекаемой телом, полезно заметить. что для чистой воды (а=72. р=!0, р=1) формула (133,26) дает: ДО-8 1О >юоа. При выводе формулы (133,26), точнее, при переходе от уравнения (133,15) к (133,19), мы пренебрегали величиной — ', по срав- РЛГ)> Зив> нению с единицей.
Подстановка аначения Я из выражения (133,25) показывает, что это предположение выполнено, если удовлетворено неравенство а по ~С— (133, 27) Лля чистой волы неравенство (133,27) дает оз(~ 7 ° 1О> сл>/гесс, для глицерина ов((40 см/се>г и т. д. Таким образом. хотя приведенное выше решение в принципе справедливо только для малых скоростей, оно всегда удовлетворяет скоростям извлечения, которые встречаются на практике в наиболее интересном случае маловязких жидкостей. При больших скоростях извлечения выражение для 7>„моягно найти из соображений размерности: при больших скоростях извлечения толщина пленки жидкости, остающейся на теле, не может зависеть от характера статического мениска жидкости. Иными словами, йв перестает зависеть от поверхностного натяжения и определяется исключительно величинами а, р, р н пв.
Единственной комбинацией, имеющей размерность длины, ноторая может быть состаг >шо >ч алена из этих величин, является выра>кение >> — ~ РК а Поэтому при пз)) — для йв имеем: и г>о=А( ) где Л вЂ” некоторая константа. Численное значение ее было получено Б. В. Дерягиным [101 в результате интегрирования уравнения (133,15) и оказалось равным единице. Таким образом, в общем случае произвольной скорости извлечения >гластннки можно написать: (133,29) 682 двиагенив и диеехзпя в тонких плюя<ах жидкости [гл. «и тле функция 1~ — ! имеет вил ! нно« я У( а а) 0 93( ) при — (~!.
а (133.30) при ~ ' ~) 1. (133.31) Формула (!33,29) подверглась тщательной экспериментальной про. верке Ь. В. ](ерягиным и А. С. Титиевской ]11] для скоростей нзвлечшшя, изменяющихся в широком интервале. На рис. 109 приведено сравнение теоретических (сплошная н пунктирная кривые) и измеренных (кружки) значений толщины пленки. () з!у~и~ Рис.
!09. Зависимость толя~ивы увлекаемой пленки Дц от безразмерной еличины нодк Очевидно, что согласие между ними т юлие удовлетворительное. 1'асхозкдение между вычисленными и изм ренными толщинами лежит в пределах погрешностей вксперимента') г) В работе Б. В.
Лерягина и А. С. Ти иенской ]!!] говорится о расхождении ме;кду опытными и вычисленными а работе Л. Л. Ландау и автора значениями Ла. Оио основано на иелоразум:яим В оригинальной статье Ландау и Леяича при подстановке численны. значений в Формулы (!33,23] и (133,25) вкралась грубая и явная опечатка, ам.сто О,Я вЂ” = 0,93 в текста уЗ стоит = 2,29. 134[ волновое течения топких слоев жидкости б83 Формулой (133,29) можно пользоваться для оценки толщины жидкой пленки на телах любой формы, если только их радиус крис а<ь визпы весьма велик по сравнению с папиллярной постоянной [ — ) <>ь Важным экспериментальным подтвер>кденисм изложенной теории слуя<ит следу>ощий факт.
обнаруженный М~ М. Кусаковым [12[, Если иа некотором расстоянии (порядка капиллярной постоянной) от плоскости, извлекаемой из жидкости, помещено какое-либо тело, например нить, то оно оказывает существенное влияние на толщину пленки. При интерферометрических измерениях толщины пленки обнаруживается «тень» от тела, в которой толщина пленки меньше, чем на остальной части поверхности пластинки. Внесение тела изменяет мениск. но не может, очевидно, непосредственно влиять на пленку, остающуюся на теле.
Работа М. М. Кусакова наглядно демонстрирует ту роль, которую играст область мениска жидкости. Измснспнс мениска влияет на условие смьщания, что в свою очередь отражается на толщине пленки. Случай увлечения жидкости тонкой нитью (сс(й) и стекання жидкости по тонкой нити был теоретически исследован Б. В.
Дерягиным [9[ и экспериментально проверен В. С. Бондаренко [13[. В этих работах было установлено, что на поверхности жидкой пленки возникают каниллярпые волны, что указывает на существенное значение поверхностного натяжения при течении пленки на большой высоте над мениском. Развитие этих капиллярных волн во времени приводит к распаду цилиндрического слоя жидкости на серию больших и малых капель, правильно чередующихся друг с лругом. Форма капель в значительной мере зависит от величины красвого угла.
9 134. Волновое течение топких слоев жидкости 1<ак указано выше, при числах Рейнольдса, превышающих примерно 30. рассмотренный строго ламинарный режим стекания пленки по вертикальной пластинке в поле тяжести заменяется волновым режимом [1, 14[. При волновом режиме поверхность стекающей плспкн покрыта капиллярнымн волнами. В теоретической работе П.
Л. Капицы [14[ был исследован волновой режим в стекающей, пленке. Основное отличие волнового режима течения от ламинарного состоит в том. что при волновом режиме существенную роль в установлении распределения скоростей в пленке играют капиллярные силы, которые возникают при деформации поверхности пленки и величина которых оказывается сравнимой с другими действующими силами — силой тюкести и вязкими силами. Для рассмотрения волнового движения в пленке воспользуемся общим уравнением ламинарного, нсстацио- '1>арцого двин<сния топкой пленки (131,11). которое приобретает вид — ~ + т> — ~ — ~ ) — ~ ду) — ~ = — — +» —;м + с .
(134,1) дс и дх ~,/ дх ) ду я аха дуя 684 движение и диветзия в тонких пленках жидкости (гл хп Уравнение непрерывности (131,12) гласит: дй д (/' ) (134,". ь. Усредпим уравнение (134.4) по всем значениям у. для чего урвзс ьч ние (134,4) следует проинтегрировать по у и разделить на й. Тогда ') дя 9 — до а дзй 3 о — + — тс — = — — — —.
+л. дт 1О дх Р сГхз ИЯ Подставлая значение о в уравнение непрерывности (134,2), находим: дй д (ой) юЭФ дх СЛЭ;6) В дальнейшем мы будем рассматривать волны малой амп" тччы (ллина волны )~ амплитуды). Запишем поэтому толщину щщь в виде " = Ло + йясг = "в (1 + ф) (134 1 д ..' ') Б оригинальной работе П.
Л. Капицы был пропущен член оя 3 я с)у — дг что лало несколько нное значение числового коэффициента при о — . д. Отметим, что в рассматриваемом реясиме квадратичные члены не малы нз а наличия срелнего неволнового движение пленки. Уточнение кояффнцие га в 1134,5), но просьбе автора, было выполнено Б. К.
Бушмановым. Искомая скорость и зависит от координат х и у. В дальнейшем нас будут интересовать только такие волны на поверхности жидкости, длина которых л велика цо сравнению с тол- щиной пленки й. В сл>чае длинных волн уравнения (134,1) и (134,2) допускают существе~сссое упрощение. Можно произвести усреднение этих урав- нений по толщине пленки, введя вместо о,(х, у) среднюю ско- рость о(х).
Учтем, что для выполнения граничных условий (131,4) и (131,5) скорость ол, как функция координаты у, должна иметь шш (131,14) (134, где п(х) — средняя скорость по сечению, зависящая от координаты. отсчитываемой вдоль пленки, и времени. Подставляя выражейце (134,3) в (134,1). находим: с до!Уяув~~у~юдзйзп — Оп — ° —, с уя — — ~ ~ 1. — — ~ = — —. — ч — + и. (134, дх 2ЛЯ 1 ЗЛ)'1 Л) я дхз ИЯ 9 1341 волновов течение тонких слоев жидкости 685 где йо — средняя (рис. 110) толщина пленки и йод — отклонение иа поверхности от средней толщины.
Если предположить, что капиллярные волны на поверхности стеошей пленки не затухают (что будет обосновано ннаке), то все величины, входящие в выражения (134,5) и (134,6)— толщина пленки и средняя скорость жидкости, — будут функциями аргумента (х — сс), где с — фазовая скорость волн. Поэтому дй дт — = — йс— дс о дх (134,8) дв до — = — с— дс дх (! 34,9) Вр дя выражения (134.7) — (134,9) в уравнения 4,5) и (!34,6), находим: де — с — + дх 9 - до .Л, дат з.о !О дх р дха й',(1+ т)а (134, !0) — 1(с — о) йо(1+ ~)1 = О.
(134.11) Рис. 1!О. Волновое движение в стекаю чей пленке. егрируя (134.11), находим: йо(с — о) (1.+ 4) = сопл! = йо(с — оо), (134,12) гл, .о — скорость в среднем сечении потока йо. Иа уравнения (134,12) определяем связь между о и ~р в волне на поверхности 1+у (134. 1 3) Так как амплитуда волны йор мала по сравнению с толщиной п..пки йо, то р((!. Поэтому с точностью до малых третьего п: и = по+(с — оо) у — (с — оо) <рл, — = (с — оо) (1 — 2~) †. дв о Ых (134, 15) |сгавляя выражения (134,14) и (134,15) в (134,10), находим внение для определения у.
Ограничиваясь сперва первым при- О. жением„ находим: дв, /9ео ! дт — —.— (с — о,)! — — с! —— р дха '!10 )дх — —, (с — Зоо) ~р + у — —," = О. ( ! 34, 161 йл ла о 686 движение и диввтаия в тонких планках жидкости (гл, хн Выражение (134,16) по х. Чтобы оно необходимо, чтобы равны нулю. Первое условие является линейным уравнением третьего порядка имело незатухающее периодическое решение, свободный член и коэффициент при р были дает: Зчиз и — —,, =О. "о (134,17) Формула (134,11) означает, что в первом приближении толщина йв будет близка к той толщине слоя, которая имеет место при ламинарном режиме стекания !ср.
формулу (131,14)1. Второе условие имеет вид с — Зов = 0 (134, 18) и определяет фазовую скорость волн в первом приближении. Уравнение (134,16) переходит в следующее: чая в'зт / 9еа 1 лт — — — (с — о,)11 —. — с1 — = О. р лха ''1 го )ах (134,19) или, заменяя в первом приближении с на Зоа, ало лзт „ л,р — — —.- + 4,2оаа — — — О. р Лх' ' ях (134.20) Если л — волновое число, то р можно выразить: ~р = а 51п (лх — Ы), где й определяется из соотношения (134,21) (134,22) Соответственно частота ш равна Ча =и=3 ',(ф) . (134,23) Важной особенностью формулы (134,22) является то.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
