В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 138
Текст из файла (страница 138)
что м,о„ и обращается в нудь вместе с ним. Это коренным образом отличает волны на поверхности стекающей пленки от обычных капиллярных волн. Незатухающий характер волн на стекающей пленке вязкой жидкости также отличает их от обычных капиллярных волн. Волны на поверхности пленки непрерывно поддерживаются за счет работы силы тяжести, двигающей пленку, как целое.
Амплитуда волн (лза) оставалась до снх пор пронз1 ольной. Фактически, однако, она не мо1кет быть произвольной в случае рассматриваемого нами незатухающего режима. Для поддержания незатуха.ошего режима необходимо, чтобы диссипнруемая энергия при вэлновом движении в точности компенсировалась работой силы тяжести. $ !34) волновов тачения тонких слоев жидкости 687 Согласно формуле (1,15) диссипируемая энергия при течении в тонкой пленке равна ь ~И >,/(ду ) Усредняя последнее выражение по длине волны, находим среднюз> потерю энергии на единице длины в сечении пленки Средняя работа силы тяжести на единицу длины равна 1~'= РКод =РЮ = РЕдооо где 9 — расход жидкости. Поэтому для поддержания стационарного режима требуется.
чтобы имело место равенство рад= — „, =Зр> „.1. И. /в> ~ (134.24) Подставляя в равенство (134,24) значение и из (134.13) и Ь из (134,7), получаем: рпО=Зр — "' Ф=Зр. — 'Ф. 1)' дз аз где через Ф обозначена величина (134,26) Следовательно, средняя толщина пленки при данном расходе жидкости Г,> определится из уравнения йв = — Ф.
> 3~0 К (134,26) Выра>кение (134,26) представляет условие, служащее для отыскания амплитуды незатухающих волн. При фактическом определении этой величины пз того же уравнения (134,26) возникает дополнительное При этом йвн >гоз — и —— гл иу дает: о ае — отнесена к единице длины пленки. Производные >ге отброшены как малые для тонкой пленки. Вычисление — = — Зр — 1 — Их = — Зр— ЛГ 1,/ Д Д о 688 движения и диееязия в тонких планках жидкости' [гл, хн Для волнового числа из уравнения (134,19) с учетом (134,26), (134.28) и (134.29) находим '): И=(0.9 ~ ) Оценки показывают, что условием применимости приведенных формул служит: Л > 14Ие С точностью до членов второго порядка компонент скорости и, согласно выражениям (134.3),(134,14).
(134,21) и (134,27), имеет вид и. = 3(па+1.4пе<р — 1 4песрл)~ ° т [= 'ЛИ йлт) = Зое [1+0,6 з)п(Их — аУ) — 0,3 з!пл(Их — йл)[[ — „— —,, ~. (134.:4) Соответственно пя — — 1,8пеИ соя(Их — ы1) [1 — сйп(Их — ыг)~(-2и — бит).
(134 32) (! 34,30) Результаты теоретического анализа волнового режима стек [ния пленки были подвергнуты детальной экспериментальной провэрке и работе П. Л. Капицы и С. П. Капицы [15[. 1 В работе П. Л. Капицы в формуле (134,30) стоит коэффициент 4,7 по причинам, указанным выше. усложнение. связанное с тем, что р представляет функцию двух переменных: а и отношения с)пе. Согласно условию (134.18) последнее равно трем лишь в первом приближении, когда а весьма мало и средняя толщина слоя Ие не зависит от а. Во втором приближении И, оказывается функцией а) Для нахождения а из уравнения (134.26) можно, следуя методу Капицы. привлечь качественные соображения об устойчивости волн.
Именно. величина Ф должна иметь минимальное возможное значение. Если Ф минимально, то баланс диссипируемой энергии и работы сил тяжести будет выполнен при наименьшей толщине Ие стекающей пленки (которая жФ'). Минимальное значение средней толщины отвечает минимуму потенциальной энергии пленки в поле тяжести и наиболее устойчивому (при данном расходе жидкости 1~) режиму течения. Вычисления, основанные на формуле (134,26), дополненной условием минимума Ф, и проведенные с учетом зависимости Ие от а во втором приближении, дают для а, с и Ф следующие значения: а= 0,21, (134,27) с = 2,4ое (134.
28) Ф= 0,8. (134,29) $1351 тггвглентнов движения в пленке 689 Непосредственные измерения волнового профиля, сделанные теневыи оптическим методом. позволили проверить теоретические значения различных величин, в частности амплитуды а. Согласие между теорией и опытом оказалось очень хорошим. Было обнаружено. что волновой режим течения пленки сравнительно легко переходит в турбулентный при наличии каких-либо внешних возмущений потока жидкости. 9 135. Турбулентное движение в пленке Турбулентный режим движения в пленке наступает при числах Рейнольдса порядка 1500, а при наличии значительных возмущений и раныпе. Турбулентное движение в пленке представляет частный случай турбулентного течения жидкости со свободной поверхностью.
Турбулентное движение у свободной поверхности обладает своеобразными чертами. отличающими его от турбулентного движения в объеме жидкости и у твердой стенки. Рассмотрим поток жидкости, ограниченный с одной стороны твердой стенкой, а с другой — обладающий свободной поверхностью. Вблизи твердой поверхности средняя скорость течения пленки распределяется по логарифмическому закону и==1п эя эа (И вЂ” у) )/ч ач (135,1) (135,2) В непосредственной близости к поверхности характер распределения скорости не может оставаться неизменным.
действительно, на свободной поверхности жидкости касательное напряжение должно обратиться в нуль. Поскольку касательное напряжение всегда пропорционально аи производной —, для обращения касательного напряжения в аУ ' нуль необходимо, чтобы эта производная была равна нулю. При если отсчитывать координату у от поверхности жидкости. В жидкости образуется турбулентный пограничный слон., начинающийся от стенки и постепенно захватывающий всю толщину планки. достаточно далеко от начала пленки (на расстоянии порядка 50 †1 И) всю пленку можно считать охваченной турбулентным режимом течения.
Средняя скорость течения во всей пленке будет иметь логарифмический профиль (135,1). Средней скорости течения в пленке (У отвечает характерная пульсациопная скорость ош Характерная скорость может быть выражена через напряжение трения соотношением я = роз. С другой стороны. при стационарном течении т равно движущей силе рй», отнесенной к 1 смз поверхности стенки. Поэтому пз =~~а».
дУ логарифмическом законе распределения скоростей — заведомо отау лично от нуля. Иэ этого следует, что вблизи свободной поверхности режим турбулентного течения долнген изменяться. Это видно также и из того. что условия движения жидкости вблизи поверхности отличаются от условий течения в объеме. Существование поверхностного натяжения обеспечивает стабильность поверхности и изменяет распределение скоростей у поверхности. Силы, препятствующие деформации поверхности. оказывают тормозящее действие на турбулентное лвижение, которое можно сравнить с действием твердой поверхности.
Как мы видели выше на ряде примеров, эта аналогия не может считаться полной: на твердой стенке должны обращаться в нуль как пульсационная, так и средняя скорости, тогда как касательное напряжение имеет отличное от нуля значение. На свободной поверхности средняя скорость не должна обращаться в нуль, но вблизи поверхности должна иметь постоянное по глубине значение. Относительно характера пульсационной скорости вблизи поверхности можно лишь высказать некоторые допущения. Если предположить, что тормозящее действие поверхности, связанное с существова)гнем поверхностного натяжения, обеспечивает стабильность поверхности, то хая<ется естественным принять, что в некоторой области порядка Л вблизи поверхности м<идкости режим движения иной.
чем в объеме. В дальнейшем мы будем обозначать через у расстояние до свободной, хотя бы и деформированной поверхности жидкости, а через хв координату вдоль поверхности. Тогда можно сказать, что. начиная с некоторого значения Л расстояния до поверхности, х-компонент скорости перестает возрастать с увеличением координаты у и сохраняет постоянное значение. Поскольку компоненты скорости должны удовлетворять уравнению непрерывности, из того факта, что х-компонент скорости не зависит от координаты у, следует, что у-компонент скорости должен зависеть от расстояния до поверхности по закону о .у.
(135,3) На свободной поверхности нормальная слагающая скоростл должна обращаться в нуль. Однако в отличие от твердой ст~ пки, где нормальная слагающая уменьшается пропорционально квалрату расстояния до стенки (ср. 9 4), у свободной поверхности падение слагающей скорости происходит лишь пропорционально р сстоянию в первой степени. .формула (135,3) может быть написана в виде (135,4) у = оо и Л Масштаб турбулентных пульсаций также должен уменьшаться по мере приближения к свободной поверхности.
Из учета размерности %90 двшквннв и диэскзия в тонких плвнклх жидкости [гл. хп $1351 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПЛЕНКЕ 591 следует, что масштаб движения должен быть пропорциональным расстоянию до свободной поверхности, так как никакие другие величины размерности длины не могут фигурировать в его определении. Таким образом. (135.5) Следовательно, эффективная турбулентная вязкость для движении вблизи поверхности равна у" УтУРР О 'ОΠ—. У Л (! 35,6) Если причиной, вызывающей затухание турбулентного движения, является поверхностное натяжение, то размер области затухания турбулентности у свободной поверхности Л должен быть пропорционален а.
Кроме того. оп но>нет зависеть только от величины пульсационной скорости оэ и плотности жидкосги р. Из соображений размерности следует при этом, что Л Р"о (135.7) (135,В) (135,9) РРОУ У~УРР— а Турбулентная вязкость убывает с расстоянием до свободной поверх Нос4Р, так что У самой повеРхности. на глУбине бэ. ~,ура ч. Толгаина вязкого подслоя равна. очевидно, '=йГ (135. 1()) Соотношение (135,7) имеет простоИ смысл: опо выражает условие устойчивости поверхности. Величина Л представляет по порядку величины размер области вблизи поверхности жидкости, котораРР деформируется турбулентными пульсациями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
