В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Кроме того, на поверхность жидкости действу>от силы капнллярпого давления, образующие мениск жидкости >! !.>л! >>л>н'т>>>>к>!. ! >ч«ип ° н , ! !лщннз г>ин! жнан!»-п>, о!'тп>ошг>огя па пластинке й>, ,>>! л >>>! ! >>>!«! >!. ! ! ! ! ! !» >>! >! >ь ! !! >!>>ч ! „, !»! !! «>>! м>>ч!. ! >>! 676 движение и дияюзня в тои>сих планках жидкости [гл. хи произведения р>г и поверхностного иатяжения щ Оиа является, очевидно, переменной по высоте на пластинке, так что И = И(х). На достаточно большой высоте над поверхностью жидкости толщина увлекаемой пленки весьма мала и жидкость соверша~т почти плоское дав>кение.
Напротив, достаточно далеко от пластинки форма мениска практически ие будет искажаться движением пластинки. Таким образом, поверхиость жидкости можно разделить на область жидкости, непосредственно увлекаемой движением пластинки, и область статического мениска. В первой области жидкость движется почт» параллельно поверхности пластинки, во второй оиа почти иеподдижиа. Количественный расчет. проведенный ниже, позволит уточнить размеры обеих областей.
Решение уравнений гидродииамики следует провести отдельно для каждой из областей, а затем потребоврть плавного смыкания обоих полученных решений. Начнем рассмотрение с области статического меииска, Уравнение для формы поверхности жидкости в условиях статического мениска было получеио в э 65. В случае пластинки оио имеет вид амИ Пхз рдх (133, 1) Р+(й)Т Интеграл уравнения (133,1), удовлетворяющий условию, что жидкость вдали от пластинки имеет горизонтальную поверхность, имеет вид рйхе = — — — 1 (133,2) Е'+(Й)Т В случае движущейся пластинки уравнение (! 33,2) спра>едливо ;только вдали от пластинки, когда толщина слоя жидкости велика, а высота х мала. При больших х и малых И пренебрегать увлечением жидкости иельзя.
Переходу от Области статического меииска к области увлечения жидкости отвечают в уравнении (!33,2) малые зиачени> толщины пленки. При этом пленка жидкости становится почти вертикальной, параллельной плоскости у = О. Вертикальному распопов еиию ли пленки отвечает значение — „=О. Поэтому переход к первой области ли г>И происходит при — -+О. Уравнение (133.2) показывает, что — — ь О лх лх при х-+ У 2( — ) .
При этом из уравнения (133,!) вытекает, что рй — -+ 1/ 2 (Рд ) й 1331 толщина планки, остлющайся нл повврхности талл 677 Таким образом, решение уравнения статического мспнска лол>кно переходить в решение в области >влечения при одновременном выполнении условий И -+О. (133,3) МИ вЂ” — +О, дх (133,4) х -+ 1<' 2( — ) — „-+ г/2 (~~) (133,5) (133,6) а дзИ дго„. — — +» — „" +у= О. р Фхз дуг (133,7) Граничными условиями здесь служит: и =и при у=О.
(133,8) Услов <е (! 33,8) выражает увлечение пленки поднима<ощейся пластинкой р. д —— -О прп у=/г(л). д<> (133,9) ду И)<тегрируя уравнение (133,7) по у с учетом условий (133,8) и (133,9), накодим распределение скорости поперек пленки Выражения (133,3) — (133.6) представляют условия, которым должна удовлетворять функция И(х) на границе области статического л<ениска. Для получения функции И(х) во всей области необходимо найти решение в области увлечения, которое допускает сл<ыкание с решением уравнения статического мениска на границе обеих областей. Выражения (133,3) — (133,6) представляют условия смыкания решения во второй области с решением в первой области.
Перейдем теперь к рассмотрению жидкой пленки на пластинке в области увлечения. Здесь движение жидкости л<ожно считать почти вертикальным, параллельным поверхности пластинки. Вертикальный компонент скорости о, параллельный пластинке в области увлечения, весьма велик по сравнению с горизонтальным компонентом и . Дан>кение такого типа было рассмотрено нами в 6 !31. При медленном стационарном движений в уравнении (131,11) можно опустить квадратичные члены и, учитывая, что объемная сила, отнесенная к единице плотности, равна и, переписать его в виде б78 движение и дивеязия в тонких планках жидкости (гл.
хц Введем так называемый расход жидкости ф представляющий ее поток в пленке. ь 1з) Я= ~ о Фу=сопя!. (133,11) о Подставляя в (!33,1!) значение и из (133,10), получаем: Я вЂ” пай+(р + н з) 3 ('ЗЗ'2) Уравнение (133,12) представляет выражение для определения толщины пленки л(х) через заданные величины оа, р, гг, а и р. Это — дифференциальное уравнение третьего порядка. При интегрировании его в вырви~енин для Ь появятся три произвольные постоянные.
Кроме того, в уравнение (133,!2) входит еше одна неизвестная постоянная — расход жидкости 1;1. Таким образом, для определения всех постоянных требуется четыре условия, Ими являются граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения (133,12). Прежде чем перейти к формулировке этих условий, перепишем уравнение (133,12) в бврразмерном виде. Введем новую безразмерную координату Л, определяемую урав- нением Л=( — ) (133,13) и безразмерную толщину пленки жидкости во" (") (133,14) Вводя в уравнение (133.12) величины Л и С, перепишем его в виде Ла!.
! — й я я!)з (!33,15) лЛэ Ез Зиоаз () "о= "о Прелельное значение толщины пленки достигается при оче/~ь большом значении х. С достаточной степенью точности мо аале считать, что А -+ ля при х -+ оо, Напишем теперь граничные условия. которым должно удовлетворять решение (133,15). На большой высоте над поверхностью жидкости пленка должна иметь постоянную предельную толщину и поверхность ее должна быть плоскопараллельна поверхности пластинки.
Предельная толщина йа равна $133) толщина пленки, остающейся нл повевхности твлл 679 илн Е-+1 при Л вЂ” ьоо. (133,18) Условие того, что поверхность жидкости вертикальна, можно записать в виде — -+ О при Л -+ со. ~Ы (133, 17) Поскольку поверхность должна быть плоской, ее кривизна равна нулю. Это дает: — "Ри лзЕ (133, 18) Четвертое граничное условие получается из условия смыкания решения уравнения (133,15) с решением уравнения статического мениска (133,1). Для нахождения условия смыкания, прежде всего, упростим (133,13).
Предположим, что последний его член мал и его можно опустить. Это предположение будет оправдано. если поток О 2 пропорционален скорости пластинки пз в степени а) — и скорость пз 3 достаточно мала. Ниже расчет показывает, что („1 ф. так что последний член фактически пропорционален ф. Прн достаточно малом пз он мал по сравнению с единицей. Другие члены уравнения (133,15) безразмерны и имеют порядок единицы. Можно написать поэтому — б =О. (133,19) В уравнение (133,19) не входит ника~их размерных величин, что значительно упрощает его численное решение, а также позволяет сделать существенно важный вывод по поводу искомого граничного условия.
Смыкание решений уравнений (133,1) и (133,19) должно происходить в области толшин пленки. весьма больших по сравнению с предельной 7га (безразмерной толщиной Е= 1). но, вместе с тем, малых по сравнению с толщиной пленки в области статического меннска, Как видно из уравнения (133,5), области малых толщнн статического мениска отвечают определенное значение х и постоянное значение малой кривизны поверхности ~напоминаем. что при малой кривизне последняя равна †). Поэтому условием смыкания мхя7' является требование постоянства кривизны поверхности жидкости в области смыкания. Точнее, требуется, чтобы кривизна поверхности, найденная из статического решения при Д -ь О, была равна кривизне увлекаемой пленки при большой ее толщияе и -+ со.
В безразмерном виде условие смыкания имеет вид (! 33.20) 630 движшша и диввтзия в тонких планках жидкости (гл. хы ГР~ст где ! — -„-! — кривизна статического мениска, выраженная в безс.ьо где~чуял размерных величинах при малых толшинах пленки, и ! —,) — то же ~ а1з),,„ для увлекаемой пленки, но в области больших толшин последней. Поскольку в уравнение (133,19) не входит никаких размерных величин, (133,2!) где а — некоторая неизвестная постоянная.
Ее значение может быть найдено при помощи численного решения уравнения (! 33,19). То обстоятельство, что уравнение (133,12) можно преобразовать в уравнение (133,19), не содержащее размерных величин, существенно Г взь' ~""» упрощает условие смыкания, позволяя ввести в него !1 —,Р! при '1аЛ ),, помощи простого соотношения (133,21). ! лв()" Значение —.з ~ может быть легко вычислено нз условия (133,6) ~ ллз )д и определения величин ь П ) согласно уравнешгям (! 33,!3) и (133,14).
Простое вычисление дает: (133,22) Граничное условие (133,20) после подстановки в него значений (!33,2!) и (133,22) может быть записано в виде я гу„' (Зи)ч' (133, 23) у -' '(Ра)и Численное интегрирование уравнения (133,19) приводит к значению, равному а= 0,63. (133,24) Соответсгвенно для нредетьиой толщины слоя жидкости, увлекаемого пластинкой. получаем (5); Е 093 ЬЧд во ч "(Рз) ' (133,26) Из выражения (133,26) следует. что предельная толщина увлекаемо. пленки пропорниональна скорости движения извлекаемого Тогда для потока жидкости через один линейный сантиметр ширины пленки получаем: () = 0,93 (! 33,25) а ь (р л) '" 6 1331 толнгинл планки, остлюн>яйся нл повагхности талл 681 тела и вязкости жидкости в степени >1> и слабо ззвисит от изменения других величии — плотности жидкости н поверхностного натюкення.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
