В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 131
Текст из файла (страница 131)
е. достаточно далека от сферической). Под действием случайных возмущений на поверхности жидкости возникнут волны, развитие которых приведет к распаду жидкой массы так же, как это происходит в случае цилиндрической струи. Уравнения движения для волн малой амплитуды будут иметь зид 650 (гл. х> волны нл повш хности жидкости )(аялгнне р ршик> ьшшллярному лавлщпно > Р—— Поэтому дде а »> о дГ Р яа яаэ ' (127.2) откуда / эа> (127. 3) что совпадает с (123,36). В случае весьма вязкой жидкости движение можно считать квазидч стационарным. Это означает, что член — мал по сравнению с друдг гимн членами, входящими в (127.1).
Имеем. кроме того, >П а р а аэ ат ра раэ ' (127. 4) (127,5) откуда р~а а что совпадает с (124,20). Рассмотрим теперь случай движения массы с достаточно большой скоростью. когда динамический напор р" воздуха существенно превышает капиллярное давление р,. Тогда в формулах (127,2) и (127,4) вместо р, следует подставить э" р"(и")"-.
Это дает в случае маловязкой жидкости ,> рг Э~ (аг)> дГ сэ яа ра а / и' й/ р" (127,6) В случае весьма вязкой «кидкости а р" (и') ат яа откуда ар т э' (а')- (! 27.?) Формулы (!27,6) и (127.7) с точностью до числового коэффипиента идентичны с формулами (125,27) и (126,16). Таким образом, выведенные выше преаельные формулы для времени распада н распыла струй имеют весьма общий характер.
>и эбя — — „ аэ а> Сравнивая это с членом, содержащим градиент давления, находим: ф 1271 елсплд массы жидкости пгоизвольной эовмы 651 Полученные формулы основаны на допущении о наличии бесконечно малых возмущений поверхности жидкости. На практике часто встречаются случаи, когда поверхность струи подвергается воздействию не бесконечно малых, а конечных, иногда значительных возм1шений. Эти возмущения приволят к разрушению струи за более короткое время.
чем вычисленное нами. При этом время распада будет зависеть от конкретного характера возмущений поверхности. Последнее обстоятельство в значительной мере обесценивает попытки теоретического рассмотрения распада струй под влиянием возмущений конечной величины. Такого рода попытка была сделана Вебером 1141. Он предполагал. что можно провести аналогию между струей и балкой, изгибаемой силами сопротивления воздуха. Однако такая аналогия представляется малообоснованной. Вебер произвольно полагает, что распад струи при больших скоростях связан с волнами первого порядка, создающими змеевидный профиль струи.
Мы видели выше. что волны первого порялка ничем не выделены среди других волн, а при умеренных скоростях они менее эффективны. чем волны нулевого порядка, симметричные относительно оси струи. Вебер полагает, что для определения формы струи можно воспользоваться формулами для изгиба балки под влиянием сосредоточенных сил. Последнее, несомненно, недопустимо, поскольку динамический напор воздуха представляет распределенную, а не сосредоточенную нагрузку. Найденные выше вырз>кення для времени распада и длины сплошной части струи представляют наибольшие, возможные значения этих величин. Они относятся к струям, вылетающим из сопла с достаточно хорошо полированными стенками, имеющего плавный, не возмущающий струю контур.
В заключение остановимся кратко на вопросе о влиянии поверхностпоактивных веществ на процесс распада струй. На первый взгляд может показаться, что эффект гашения полн поверхностноактивными ве>цествами может быть использован для увеличения времени распада струи, В действительности, олнчко, это не так. В случае распыла послслпсс утверждение ил>ест очевидный характер. Процесс распыла не связан с действием капиллярных сил, и на него не могут влиять эффекты, связанные с изменением поверхностного натяжения. При движении с малыми скоростями отсутствие влияния поверхностноактнвных веществ па распад струй имеет менее очевидный характер.
В случае маловязкой жидкости (см. Э 69), поверхностно- активные вещества, изменяю>дне граничные условия на поверхности жидкости, влияют на процесс распада лишь путем непосредственного снижения поверхностного натяженич. В случае весьма вязкой жилкости влияние поверхностноактивных веществ на процесс распада вновь 652 (гл. х> волны нл повагхности жидкости оказывается слабым потому. что ответствепнымн за распад струн являются длинные волны.
Мы видели, однако, в э 121. что влияние поверхностноактнвных веществ на длинные волны является слабым. Гашение волн, вызы. ваемое поверхцостноактивными веществами, значительно только для сравнительно коротких волн. Эти сообра>кения полтзер>кдает непосредственный расчет. Считая, что повгрхносггноактивное вещество оказывает максимально возможное гасящее действие, и заменяя второе граничное условие (123,4) на условие можно получить уравнение для определения а.
В предельных случаях большой и малой вязкости, а также больших скоростей движения струи это уравнение совпадает с уравнениями (123 28) и(125,16), 8 128. Капиллярные волны на поверхности капли Капли, образующие0я при разбиении струи, совершают капиллярные колебания. При ээих колебаниях форма поверхности капли отклоняется от сферической. Если считать, что амплитуда отклонений мала.
так что смещение поверхности ". мало по сравнению с ралиусом капли, можно найти периол собственных колебаний. Мы будем предполагать, что вязкость жидкости мала и затуханием собственных колебаний интересоваться не будем. Тогда, полагая жидкость идеальной, а пан>кение — потенциальным, можем считать, что потенциал скоростей удовлетворяет уравненшо Лапласа — ( ч1п 0 — ) + —.,— — „-+ — „— ! г' — ) = О, (! 28, 1) 1 д !. два 1 г>"0 1 д >' дт'> ге з>п 0 00 ( 00 ) гтзн>'-0 г>>!"- гт дг > дг) При этом давление в жидкости равно дт Р= Р дг Граничным условием на поверхности капли служит условие Р=-Р, при г=>с, или согласно (65,20) (! 28.2) Выражая потенциал скорости э через смещение по формуле Эя д". о )г дг 0 128! кАпилляРные ВОлны НА повеРх>юсти кАпли 653 и дифференцируя граничное условие (128,2) по времени, нахолим: при г =- 7с.
(128,3) Решение (128,1) булем искать в зиле стоячих волн о = е™(7 (г, О, ф), где 7(г, О, ф) улоплетворяет, очевнлно. уравнению Лапласа ! д(, д(1 1 д (ед(ь 1 д(7 гуь>ьь 0 д0 ( д0 ) ' га дг А дг) ге мпь 0 дьы (128,4) Как известно, частным решением уравнения (128,4) служит обменная шаровая функция 7(ь„— — г'У(„,(0, ф) = г'е" ~Р',"(соз О), (128,5) где 7>,п, О, . А 0 д"Р((соз О) (с05 ) = 5>п д (соз 0)ь'ь откула — — —., !(! — 1)(!+-2) р(ььь (128,7) Формула (128.7) была впервые получена Релеем [1О!.
Мы видим, что частота собственных капиллярных колебаний оказывается зависшцей только от числа !. Это означает, что соб>ственные колебания с (2!+1) различными значениями т имеют охну и ту же частоту и, следовательно, являются (27+ !)-кратно выро>кленными. 1!з (128,7) следует далее, что минимально возможной частоте собственных колебаний отвечают значения (= 2.
Этот резульгат Р>(сов 0) — полипом Лежанлра 1-го порядка. Число С для различных частных решений может пробегать ряд положительных целых чисел ! = О, 1, 2, ..., а число т пробегает значения и = -ь- 1, -ь-(! — 1), шь-(! — 2), ь- 1, О.
Функция У„„ удовлетворяет уравнению — — р(ИΠ— )-1- — „— -„'"--е7(!+1) У =О. (128,6) 1 д ( дУ( > 1 деУ(А ь>п 0 д0 ! дз ) МПЯО дзй (пь— Каждому значению чисел ! и т отвечает определенное собственное капиллярное колебание капли. Подставляя (128,5) в граничное условие (128,3) и учитывая (128,6), находим после сокрашения У,„,: т 29( ! ь я( ( ь — )7 р.т = --.— 77 — —. и — ! (1+ П. (гь l(е 154 [гл. х> волны нл поввгхности жидкости >вляется вполне естественным. При > = 0 мы имели бы сферическиснмметрнчные, пе зависящие от углов 6 и у смещения поверхности капли. В силу несжимаемости жидкости такие колебания невозмо>кны, При [ = 1 происходило бы поступательное дан>кение капли как целого. Такое данн<ение не могло бы иметь колебательного характера при отсутствии внешних снл, действующих на каплю.
При [=2 Частота собственных колебаний довольно быстро убывает с ростом радиуса капли г[. В 129. Возбуждение волн на плоской поверхности жидкости Рзссматрнвая выше вопрос о взаимодействии газового потока с жидкостью, мы видели, что воздействие газового потока способствует развитию волн на поверхности жидкости. Здесь мы должны детальнее изучить этот вопрос, так как он представляет интерес с различных точек зрерия. В частности. существенно установить. при каких скоростях газового потока он может возбуждать незатухающие волны на поверхносги жидкости. Последний вопрос важен для таких проблем, как возбу кдение волн ветром, увлечение пленки жидкости в скрубберных уста>овках и т.
п. Рассмотрим плоскую поверхность бесконечно глубокой жидкости, заполняющей полупространгд >о л(0. Пусть над поверхностью этой жидкости движется газовый >оток, заполняющий все полупространство з) 0 и имеющий плот> ость р'. Вдали от поверхности жидкости газ движется с постоянной скоростью Уэ. Необходимо найти распределение скоростей и дав.>ения в газе. Задача эта в приблинелии идеальной жидкости была решена Кельвином [Томсоном) [П[ и Гельмгольцем [[6[ в связи с изучением вопроса об образоь,лин волн ветром.
Основной качествеш.>.н вывод из этих работ заключается в том, что поток газа над >кпгкостью стремится поддер>кать всякое имевшееся на поверхности кидкости волновое движение. При достаточно большой скорости дан>кения воздуха амплитуда волн на поверхности раздела оказывается экспоненциально возрастающей во времени и сама поверхность — неустойчивой. Этот эффект мо> но иллюстрировать рис. 105, на котором изо.
бражены линии то>л частиц верхней жидкости. Ясно, что скорости двшкения частиц будут меньше там, где линии проходят реже, т. е, у подошв воли. и б>льше у гребней волн. Поэтому, используя уран. некие Бернулли, мо кно считать, что давление газа, действующее н> поверхность раздела. будет больше у подошв и меньше у гребнеа з 129! возвкждвние волн нл плоской повегхности жидкости 655 волн.
Иными словами, верхняя жидкость (газ) булет воздействовать на поверхность раздела так. чтобы увеличить амплитуду волн. Газовый поток, воздействуя на поверхность жидкости, производит над ней некоторую работу. С лругой стороны, в вязкой жидкости, совершающей волновое движение, происходит непрерывная диссипация энергии. Если энергия, передаваемая в единицу времени от газа к жидкости йг, равна диссипируемой в жидкости мощности ( — !!), то на поверхности жидкости возмо>кно существование незатухающих волн. Таким образом, условие возникновения незатухающих волн на поверхности в жнлкостн можно записать в виде В' =- — (Е). (129,1) Для получения количественных результатов вычисления перелаваемой газовым потоком мощности, как показал П. Л, Капица (!71, приближение идеальной жидкости оказывается недостаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
