В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 129
Текст из файла (страница 129)
х~ волны нл поввгхности жидкости 3) реальный газовый поток оказывает тангенциальные усилия на поверхность. Для ряда вопросов, — например. передачи энергии от газа к волнам. увлечения жидкости ветром. — которые будут разбираться ниже. тангенциальные силы играют весьма существенную роль. Однако, поскольку тангенциальное усилие оказывается пропорциональным квадрату амплитуды волн, в нашем прибли>кении (волны малой амплитуды) его действием можно пренебречь и считать, что на поверхности тангенциальная слагающая тензора напряжений, как и в отсутствие газового потока, обращается в нуль: (125,5) Ра, = О. рассматривая динамическое воздействие воздуха на движущуюся струю, мы по-прежнему будем рассматривать два случая: случай волн, симметричных относительно оси струи.
и случай произвольных, но достаточно длинных волн. Займемся. прежде всего, случаем симметричных волн. Если поверхность струи испытывает симметричные относительно оси деформации. то, очевидно, скорость газа, обдувающего струю, не будет зависеть от угла 9. Поэтому будем пытаться искать решение уравнения (125,1) в виде (125,6) рг — пгл + у (г 6) егл-"+ы Первое из граничных условий будет выполнено при этом автоматически. (Для этого у должна убывать на бесконечности.) Подставляя (125,6) в (125,1), находим уравнение для р(г, О) (125,7) Для удовлетворения второго из граничных условий (125,2) необходимо выбрать решение уравнения (125,7), убывающее на бескопеч. ности.
Таким решением слувгит [13[ 4 (г) =йкя(йг). где функция Ка(лг) = —., Нч (глг)е ' — бесселева функция мнимого аргулгента 2-го рода (часто именус[гая функцией л(акдональда), обращающаяся в нуль на бесконечн< дтн. Таким образом, для ~7 имеем: р = — и я+ЬКя(дг)еиыт г (.', !.5,3) 64! 4 1251 Рлспь>л 1!з потенпиала скоростей (125,8) находим распределение скоростей и давление газа: 2>, = — "- =- — МКо (/Сг) Е ' дг (1 25,!)) ог = — — = аг — >ИКо(аг) е' ' де (125, 10) рг — рг рг (Эг)2 рг рг [(ОГ)2 + (ПГ) ~ Р"(>Ко(дг)пег~т> г +(>гйЫ~Ко(дг) иге'ло+'г (125 11) д".
д". да д", д" (о) = — + — — = — +— ' г-а де дл дг де дг (125,!2) Подставляя и, и 2> нз (125,9) и (125,10) н записав ч в виде ч = "-ое>" г+"' (125,!3) имеем с точностью ло величии второго порядка малости К„'( )г' (125, 14) откуда гд )2 К„(лг) Здесь л>ы обсудим еще вопрос о том. что означает в дей твительности величина и". Рассматривая дан>кение реального газа относительно шероховатой струи при больших скоростях, нетрудно видеть, что в газе у поверхности струи образуется турбулентный пограничный слой. Амплитуда волн (шероховатостей) на поверхности струи (о н скорость газа на бесконечности ио (равная скорости вылета струи из сопла) связаны скоростью газа аг у поверхности соотношением а ио —— и'1п —, о— имеющим логарифмическую точность.
В некоторых случаях следует учитывать различие между а„и а", Выражения лля величины о„, по и р для >ю>дкости в струе но- прежнему да>отса формулами (123,21) — (123,23). г ( г)2 При этом мы опустили постоянную величину „,, поскольку давление в газе определено лишь с точностью до произвольной постоянной; опущен также член, квадратичный по амплитуде д. В граничное условие (125,4) входит давление р,. выражающееся через смещение на поверхности ".. Поэтому следует выразить через ч н давление в газе р'. Для этого мы можем воспользоваться соот- ношением [гл. х~ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ Для определения произвольных постоянных С„ Ся, ье и величины я имеются три граничных условия (125,2) †' (125.5).
Последнее совпадает с (123,24) и приводит к формуле (123,25), связывающей С, и Сз. Выражая входящую в (125,9) и (125,10) амплитуду Ь через ~ по формуле (123,14). подставляя в (125.3) н (!25,4) значения скоростей жидкости и газа, а также лавлений р. рг и р., после алгебраических выкладок, аналогичных привеленным в йэ 123.
но несколько более длинных, приходим к уравнению для определения ас аз + — ь[l, (йа) — — ' 1, (1а)~ а = 2~аз г 2а1 1г (аа) 1о(1га)1 ' !я+ля 1,(1а) г г 1г(аа) 1Я вЂ” аз я Я (! ~ ~ ) 1,(ДВ) 1Я ~- ЛЯ '+ рг Л~(иг) Ко (Ла) гг (аа) 1Я вЂ” Лг Р Кг(аа)1о(аа) гэ+аз г я Ко(х) = Кз(х) — р' 2 е 2х Производя упрощения, без труда получаен: дальнейшие упрощения можно получить лля случаев малой и большой вязкости жидкости. В первом случае выполняется неравенство (123.29).
При. этом, как было показано в й 123, линейный член в а мал по сравнению с квадратичным. Кроме того, 1)) и. Опуская линейный член в (125.17) и производя упрощения, находим: а= Ргде (иг)я аая Р (! 25,13) Формула (! 25.18) может быть без труда получена путем рассмотрения волн на плоской поверхности жидкостей (см., напримеР [1[).
Она показывает. что при достаточно большой скорости газа В процессе вычисления нами были опушены малые члены ргоя и рг(лига (по сравнению с оставленными членами ра' и рИига). Поскольку 1 выражается йерез и, уравнение (125,16) является весьма сложным. Рассмотрим поэтому предельные случаи коротких (). (( и) и длинных ()г)) а) волн. В случае коротких волн аргументы бесселевых функций (иа) и (1а) оказываются большими по сравнению с единицей. и можно воспользоваться асимптотическими выражениями [13[ й 125! 643 РАСПЫЛ величина а может оказаться вещественной даже в случае коротких воли. Именно, а вещественно для волновых чисел р" (иг) а (125, 19) (125.20) Максимальное значение а при этом оказывается равным а,„,„= 0,4 — !Г Р (125,21) За время х, равное г = — 2,6 — 1г, Г р аан х (иг)Х (рг)а ' (125.
22) амплитуда. волны увеличивается в е раз. Согласно развитым выше представленияМ возрастание амплитуды волны приводит, в конечном итоге, к разрушвнию свободной поверхг22ости жидкости. В случае коротких волн разрушению свободной поверхности отвйрает отрыв капель, размер которых по порядку величины онрвде)(яется длиной неустойчивой волны.
1 а а г г 2 Лаах р (иг) Слгедует подчеркнуть, что наряду с каплями. размер которых опредевяется формулой (125,20), возникают капли других размеров, поскольку неустойчивы все волны. волновое число которых удовлетворив! неравенству (!25,19). Обсу~м теперь условия применимости формулы (125,23). Неравенство ( 3,29) имеет место, если аех а 4 ха а Иаг / рг. (125, 24) а Соответствующие волны окааываются неустойчивыми. В этом различче между случаем больших и малых скоростей движения струи. В последнем случае мы видели, что неустойчивыми могли быть лишь очень длинные волны. ),)) а. Динамическое воздействие газового потока при больших скоростях приводит к возрастанию амплитуды н появлению неустойчивости гораздо более коротких волн на поверхности жидкости.
Величина а как функция волнового числа Й имеет максимум (правда, довольно пологий) при значении л 1гл. х< волны нл повв хности жидкости Условие 1!25,24) выполняется при малых значениях вязкости, прн не слишком большой скорости полета струи. Лля жидкостей типа воды его можно считать всегда выполненным, поскольку подстановка числовых значений дает: ,1 11)-внг г Разрушение струи с образованием мелких капель, как мы уз<с указывали, принято называть распылом. Вычислить распределение кап<ль, образующихся в процессе распыла, ком<но, по-видимому, считая процесс дробления случайным процессом.
Процесс распила продолжается до тех нор. пока ва> струя не <>каиштся разбитой на копли, Оценим время, требую>несся для заоер<нения процесса распь>ла. Зная время распыла, можно определить длину сплошной части струн. Само собой разумеется, что вычислить время распыла можно только на оснооо упроншющих предположений.
Мы будем считьть, что все образующиеся капли имеют один и тот же размер Ео, определяемый формулой 1125,23). другие упрощаю<цие предполох<ения будут оговорены ниже. Лля вычисления времени распыла можно воспользоваться законом сохраню>ия энергии) Именно, энергия, передаваемая газом жидкости в струе, расходуется на диссипацию и на образование новой поверхности. Энергия, передаваемая плоской поверхности жидкости газовым потоком, движущимся со скоростью и', б>дет вычислена нами в 9 129. Энергия. передаваемая поверхности жидкости за время 7', оказывается равной Е= рг(иг — — ) о>«оЯТ от о где (пг — — ) — относительная скорость газа.
— — скорость распро. «) « странения волн с частотой о, 5 — поверхность жидкости. Энергия, затрачиваемая на образование капель, запишется о лде Е, = о4пЕоИ = о4кЕов — — о —. <> "4я о Ао о Наконец, диссипируемая энергия может быть написана 7о формуле 11.25) в виде Е, = ром>« о.с>Т. Баланс энергии дает: о — + р>о>в«>ЯТ рг Гиг)г о>«">5Т со откуда (125,25) Т ~-оЬ"~«< — а>ое+ Гг << иг)во) 1251 645 РЛСПЫЛ Иструлно видеть, что неравенство р" (и")о в ~~ рчоР (125,26) при м а „„эквивалентно неравенству (123,29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
