В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 128
Текст из файла (страница 128)
дл г дг " г да (124, 1) Имеем, очевидно. д, до, ! д , (124.2) С другой стороны, для волновых движений с длиной волны Л)) и можно цаписатгн дг~а о, до, о, 1 доз 'ог дз Л ' дг а ' а да а ' Из (124,1) следует. что Л Л ою а ' а (12 4,3) Отсюда получаем неравенство (12 4. 4) я~а )) ог ™О Поскольку поверхность струи является свободной, а длина волны— большой по сравнению с ее радиусом, мы можем в первом приближении не учитывать зависимость о, от радиальной координаты г, а рассматривать лишь изменение о, вдоль струи и во времени. Это отвечает разложению бесселевых функций в формуле (123,28) в ряд, в котором сохраняется лищь первый член.
доа Полагая о„О и — ' О. мы можемпереписатьуравнения(123,1). дг (123,2) в упрощенном виде: дог 1 д( доа 1 дГ Г длЛ ж дл)' — — Р р (! 24,6) О. др (124,6) а 124) слтчай произвольных деоормлций 635 Второе уравнение показывает, что давление в струе. как и скорость о,.
можно считать постоянным в радиальном направлении. Оио равно р= — —,(ргг+р-+ргг), . = —,. (р +2р.). 1 1 В уравнении (124,5) сохранен лишь компонент тензора напряжений р, поскольку зависимостью всех величин от радиальной коорлвнаты внутри струи мы пренебрегаем. Для р имеем, очевидно, (124,7) Подставляя (!24,7) в (124,5), приходим к уравнению для о,: — ч — — — О+ 2ч — г. до 1 др, дгог дг р дл длг' (124, 8) Поскольку, согласно (123,27) р, выражается через смещение С поверхности жидкости, и, следует также выразить через ь. В случае длинных волн для втой цели удобно воспользоваться уравнением непрерывности.
которое удобно записать в нашем приближении в виде (124. 9) где о — площадь сечения струи,  — к(а ! ч)г (124,10) Подставляя последнее выражение в (124,9), имеем в том же приближении дог 2 дс (! 24.11) Дифференцируя (!24,8) по - и подставляя (124,11). а значение р, из (123,27), получаем уравнение для определения ь(з, Г. 0) до дгС а дг I дг: г дгь'ч - — — 2ч — + — — ~С+ — + а' — г! = О. (124,! 2) дег дег де 2ра для'ч даг длг Г' Решение уравнения (124,12) ищем в виде ряда С=,,'" А,е""+"'соз(зо), (124, 13) ' ле А, — з-я амплитуда и суммирование по з ведется от з = 0 до Подставляя (124,13) в (124.12), получаем уравнение для определения комплексной частоты еа аз+ 2члга =,—, ! 1 — ег — (аа)г! —, (1 — ег).
(124, 14) ~аметим. что уравнение (124,14) для случая симметричных волн "ожет быть непосредственно получено из (123,28), если (гл. х> волны нл повегхности жидкости провести разложение бесселевых функций и воспользоваться форму- ламн, справедливыми при ла((1, уо(!еа)=1, у>(>за)ж 2, у,(!а)= 2, Аа !а )>(на) = !> (!а) и учесть связь между !г и ! по формуле (123,18). Сил>л>етричной волне (а=О) на поверхности струи отвечают ее последовательные расшнрения и сжатия. Волне а=1.
при которой сме>пения ч пропорциональны сов 8, отвечают такие деформации струи, при которых ее сечения, оставаясь круговыми, смешаются относительно оси струи. При этом струя приобретает характерный зл>еевидный нлн волновой профиль (рис. 103). Рис. 103. Распадение тонких струй жидкости (струи движутся справа ивлево). ал> и= — тйе-~-~/ (тИ')а+ —,(1 — йзпз). (!24 13) При волнах с з = 2 сечения.
имеющие эллиптическую форму, поднимаются и опускаются, причем эллипс с горизонтальной большой полуосью переходит в эллипс с вертикальной большой полуосью. Из формулы (124,14) непосредственно вытекает, что неустойчивостью (п ве>цественно) обладают симметричные волны (з = 0). Другие виды волн, длина которых велика по сравнению с радиусом струи, устойчивы.
В предыдунгелг параграфе мы ограничивались рассмотрением симметричных волн. Приведенный рзсчет оправдывает это ограничение. С помощью общего уравнения (124,14) можно исследовать влияние вязкости на длину сплошной части струи. Полагая з=О и реша> при этом уравнение (124,14), находим для вн 637 й !24] слячлй пгоизвольных дееогмлций Величина а достигает своего максимального значения при и ! (ча 1// Ра + 2ах) (124. 16) Это максимальное значение а дается выражением 2+ Зч 1/ г ах (!24,17) бча ~/ 2х а ж — =02— а ч шхх бачр ' ачр (124, 19) Время распада соответственно 1 ачр — ж5 —.
"аах Размер образующихся капель 4 а ~ 2я х !зчхрах ~чхрах Х вЂ” 2к р/ — =13 ~ —. Лахх х а (124,20) (124,21) н растет пропорционально корню квадратному из вязкости жидкости и!РадиУсУ стРУи в степени х/х и слабо зависит от повеРхностного на~яжения (убывает с ростом )/а/. Длина сплошной части струи (по аналогии с (123.37)) равна Ь=ие — 5 —. ихачр а х (124,22) Она линейно растет с увеличением динамической вязкости жидкости р и радиусом струи и уменьшается с ростом поверхностного натяжения. Следует, однако, заметить, что предположение о постоянстве скорости движения струи, справедливое для маловязких жидкостей, у которых длина сплошной части мала.
может не оправдываться лля весьма вязких струй. формула (124,22) может быть получена путем предельного перехода нз соотношений, установленных в работе Тимотика 1121, В случае малой вязкости. когда удовлетворяется неравенство (123.38), и „„и а „имеют значения, совпадающие с вычисленными в предылущем параграфе. Если вязкость велика, так что выполняется неравенство. обратное (123,38), для и и а,„находим соответственно: который рассмотрел более общую задачу о распаде струи, движу.
щейся в жидкой среде. В работе Тимотика плотности обеих жидкостей считаются сравни. мыми, тогда как мы всюду считали плотность внешней среды весьма малой. 4 125. Распад струи при больших скоростях. Распыл Выше мы рассматривали процесс распада струи при таких скоростях движения, когда динамическое воздействие среды, в частгюсти воздуха, на поверхность струи не играет роли в процессе распада на капли, Процесс распада струи происходил исключительно под влиянием капиллярных спл н сопровождался уменьшением поверхностной энергии системы. При достаточно больших скоростях — понятие болыпой скорости будет уточнено в дальнейшем — картина дробления стр>и на капли резко изменяется. Распад струи на сравнительно немногочисленные крупные капли сменяется распылом ее на конгломерат мелких капель.
Изменение визуальной картины процесса дробления Рис. 104. Распыление струи горючего. струи наглядно иллюстрируется на рис. 104. Число капель оказывается настолько большим, что суммарная поверхность распыленной струи несравненно больше первоначальной поверхности неразбиюй струи. Работа образования дополнительной поверхности соверш;атся за счет динамического воздействия среды, в которой проис> одит движение на поверхность струи. Мы будем считать в дальне ~нем, что жидкая струя (плотность р) движется в газе (плотность р" ~( р). Величины, относящиеся к газу, в дальнейшем будут сна.»каться индексом с<г». Малая плотность газа позволяет в первом п;)чбликении не учитывать его вязкости и считать газ идеальной жфдкостью. Качественная картина динамического воздействия газа на грйерхпость струи может быть описана следующим образом: пусть на поверх- ! ности струи возникло некоторое (хотя бы как угодно малое) возл)ущение.
давление в газе над гребнем шероховатост г' будет понижено, а у подошвы — повышено по сравнению со срегуйм давлением.. % 1251 Рлспыл 639 ог-+и . г г при г-+оп. о -лО (125,2) а поверхности струи должны быть, очевидно, выполнены гранич~е условия: 1) скорости газа и жидкости на поверхности струи должны совка,дать ог 1 при г=а; г ем — тэ (125,3) 12) на поверхности жилкостн должны быть уравновешены нормал1 ные усилия, т. е.
вместо (123,4) должно иметь место равенство — р +рг. (125,4) Действительно, проводя достаточно далеко от поверхности струи линию тока, не возмущаемую шероховатостью, и рассматривая лвижение газа в области между этой линией тока и поверхностью струи, мы видим. что скорость газа, проходящего над гребнем шероховатости. должна быть выше, чем над ее подошвой. Согласно уравнению Бернулли давление должно быть ниже в тех местах, где скорость больше. Таким образом, давление газа у гребня волны ниже, чем у ее подошвы. В силу этого шероховатость, почему-либо образовавшаяся на поверхности жидкости, движущейся относительно газа, стремится увеличиться.
Этот эффект будет выражен тем сильнее, чем больше скорость относительного движения. Рост амплитуды шероховатости на поверхности жидкости будет в конечном итоге приводить к отрыву капли с поверхности струи. Йля количественного описания этого процесса рассмотрим волнообразование на поверхности жидкости с учетом динамического воздействия газа на развитие волн.
Напишем, прежде всего, распределение скоростей в газе. Пля удобства будем считать струю покоящейся, а газ вдали от струи движущимся в положительном направлении оси я со скоростью и'. Вопрос о том, как связаны между собой скорость и" и иа — скорость, с которой струя вылетает из сопла, — будет рассмотрен несколько ниже. Не учить1вая в первом приближении вязкость воздуха и считая его идеальной жидкостью, можем написать для потенциала скоростей уравнение (3,5) дгтг 1 дзтг 1 Д ГЛ Р гд Д~"= — + — — + — — (г — ~= О. (125,1) д"л гл дал г дг(, дг( Гряничные условия, которым должны удовлетворять компоненты скоРости газа на бесконечности, имеют вид 640 [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
