В.Г. Левич - Физико-химическая гидродинамика (1124062), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Подставляя выражения для компонентов скорости в (123,1) и (123,2) и учитывая выражения для и! и ия. получаем: 1 д дф д! г дг д! дР!о> !е> ! д гдеф д Г! д = — — — +чоо, — т — — ~ — +г — ~ — — ф)~, р дг г дг~дгг дг1г дг до~~~ ! д дф дг +гдг дЮ (О) Поскольку йо.'= д бр =О, дг ~~~а дет ! дрзл дФ дгд! р дг находим, что Функция ф должна удовлетворять уравнению д'ф 1 дф деф ! дф — — — — + — = —— дга г дг дге з д! ' (123 11) Скорость в идеальной жидкости связана с потенциалом скорости ф соотношениями, которые в цилиндрических координатах имеют вил (123,1) б29 $123) случАЙ симмвтРичных деФОРМАцпй Нас интересуют волновые движения жидкости. Поэтому мы будем искать решение уравнений для и и ф в виде периодических функций ао г и вкспоненциальных по г: Подставляя (123,12) и (123.13) в (123,8) и (123,11), находим: Решением уравнения (123,14).
сохраняющим конечное аначение па оси струи [131 является (123.16) Ф С~/е(ьг) где 7а(йг) — бесселева функция нулевого порядка от мнимого аргумента 7е(йг) = 7е(гйг). Тогда для у(г) имеем: (123, 17) Р=И+— Ч (123,18) Решением (123,17), остающимся конечным на оси струи, служит у = Сг71 ((г) где 7,(1г) — бесселева функция первого порядка мнимого аргумента 7т((г) = 1 lа(1(г). Поэтому имеем окончательно: (123, 19) (123,20) <р = ф (г) еы~+ы у = Ч'(г) е'ь*+"' сГ'Ф 1 ИФ вЂ” + — — — й'Ф(г) = О, ига г иг лай' 1 ~РГ / аА — — — — — (й + — )ч~=о. Йге г иг Решение уравнения (123,15) ищем в виде Ч'(г) = гу(г).
где через 1, как и в $117, обозначено: р=С,7 (йг) '"е+', ф= С г! ((г)е'"+". (123, 12) (123,13) (123, 14). (123г15) [гл. хс 630 волны нз поввгхности жидкости Распределение скоростей и давления находим из и и ф по фор- мулам (123,7) и (1 23,10): о, = — 1/с [/Сс/,(/сг)+Се/с(/г)[ есс +"', (123,21) ос = Д ~1Сс/а(ссг) [-Сз ~ + — /с (/г) ~~ есас+ас (123 22) лг р раС .
/ (лг) есаа+ас (123,23) В формулах (123,2!) — (123,23) содержатс~ три неизвестные величины: амплитуды С, и Са н комплексная частота а. Второе гранич- ное условие (123,4) позволяет выразить одну из амплитуд через другую. Оставшееся граничное условие позволит при этом получить уравнение для определения а. Вычислим, прежде всего, касательную слагающую тензора напряжений на поверхности жидкости. Имеем, очевидно, (123,24) Приравнивая это выражение нулю, находим связь между С, и Сз: /с(/а) ~ — + 2аа~ + а,=а,— 2,'., а,— =ас — ',, „.
02э.ссС В первое граничное условие (!23,4) входит рсг и р,. Первая нз этих величин вычисляется непосредственно р,„= 2ралесзс+"с ~ — /сСс/, (аг) — 1/СС/, (/г) [- —,с /я(/сг)) . (123,26) Капиллярное давление в пилисирических координатах может быть найдено по формуле (65,17) /! 11 а а 1 д~~ р = а ~ — + — /1 = - - — — ~1+ ая —,11, (! 23, 27) где ь — смешение на поверхности струи. Оно не зависит, очевидно, от азимутального угла 6 и поэтому в(123,27) опушен член с произдч".
водной —. Значение смещения на поверхности при малых смещедаз . нияк связано с радиальной слагающей скорости на поверхности со- гласно формуле Ь= / (О„)г а С?1 = — [/СС/С(аа) — СС/,(/а)[ ЕС"*+"'. сл Подставляя зто значение с в (123,27), получаем р, = — — ', '(1 — аза') Г. ( а Давление отсчитываем от р== —.! Подставляя в граничное усло. а / вие (123,4) найденные значения р„„.
р, и исключая с поссощью й 1231 слзчай симматеичных леоормлцнй 631 формулы (123,25) постоянные С, и С,, приходим к уравнению для определения величины а: 2оаг Г ./ 2И /> (аа) > «г+ — ~с~(ка) — г ° — Р, (1«)1«= р,(ао)~ > аг+ )г Р> (Рк) — (1 )огаг) '( ) ° „„. (123,28) раг >о (ка) )г+ Лг ' Уравнение в общем случае весьма сложно (поскольку по (123,18) 1 зависит от а) и не может быть решено аналитически. Мы ограничимся рассмотрением предельных случаев маловязкой и очень вязкой жидкости. Если вязкость достаточно мала, так что в интересуюшей нзс области длин волн (как будет показано ниже, это — область длин волн, существенно превышающих радиус струи а) имеет место неравенство — )) /гг. (123,29) можно написать: Нетрудно показать (см. ниже). что при 1)) й линейный член в уравнении (123, 28) мал и может быть опущен.
Уравнение (123.28) приобретает простой вид а = — (1 — >за) ол г г»(аа) раг >'о (л«) (123,30) Фа) 1. В пределе, при >оа)) 1, инеем по известной формуле теории ункций Бесселя [131 >'„(х) )' 2кх ' еоа р> (йа) — уо ()га)— ° 3' 2ка« (123.31) ~водя частоту о>. равную о>= — '1«, находим: о> =~/ —; Р ато со)а)ахает с частотой капиллярных волн на поверхности мало вязкой )и>дкости.
Более интересным является случай длинных волн. для кот ых выполнено неравенство Йа= — к. 1. 2ка (123,32) Величина «имеет чисто мнимое значение для волн, ллина которых мала по сравнению с ралиусом струи о), так что 632 1гл. хп волны нл повегхпости жидкости дпп 1, (Ва) 1п (аа) — 1„'(аа)1~ (аа) — =0 — ' (! ьгаг) и 2аь 1п (аа) да 1г (аа) 1п (аа) о Численное решение Лпоследнего уравнения показывает. что точка максимума отвечает знаяению волнового числа а, равному (123, 33) или длине волны Л пап = 9,02а.
(! 23,34) Эта формула была получена впервые Релеем. Значение а в максимуме может быть найдено без труда путем подстановки числовых значений бесселевых функций: -=.чà — '. (! 23,35) Волны с л = А „обладают наибольшей неустойчивостью по сравнен .н со всеми лругнми волнами. волновое число которых удовлетвор ггт неравенству (123,32). Максимум функции хг(гг) имеет достат~ Яно резко выраженный характер.
Поскольку роп: амплитуды во врг депп происходит по экспоненциальному закону апг, решающее зн;/гннг для распада струи имеет рост амплитуды голчы, длина кот~!ой Л имеет значение, отвечающее максимуму и. За время Г,, и па~ах (! 23,36) амплитуда возрастает в е раз.
Распад струи происходит /~а капли, размер которых порядка Лмпп т. е. примерно в девять газ превы- Для таких волн величина а имеет вещественное полоясительног значение. Положительным значениям а отвечает неограниченное возрастание во времени амплитуды поверхностных волн. В теории турбулентности показывается, что экспоненциальное возрастание амплитуды волновых движений означает появление в жилкости незатухающих турбулентных пульсаций. Масштаб этих пульсаций порядка алины волны незатухающих волновых движений.
Наличие турбулентных пульсаций в жидкости со свободной поверхностью приводит к ее разрыву и выбросу жилкости. В случае жидкой цилиндрической струи экспоненциальног возрастание во времени амплитуды волны приводит к неустойчивости ее поверхности и распаду струи на капли. Поверхность струи неустойчива по отношению ко всем волнам. длина которых удовлетворяет неравенству (123,32). Однако выражение (123,30) при па < 1 имеет максимум при определенной длине волны. Положение этого максимума опредглится условием $123!' случАЙ симметРичных деФОРмлций 633' шлет радиус струи а.
Основной интерес представляет длина перазбившейся части струи. Если пренебречь изменением скорости струи в процессе ее полета, что можно сделать при небольших значениях длины неразбившейся части струи, то эту длину можно найти по формуле Г ра~ Еж лот= 8,4био у — ' а (123. 37) Последняя формула показывает, что длина сплошной части струи пропорциональна радиусу струи в степени 3/2 и обратно пропорциональна корню из динамического поверхностного натяжения е(р.
Любопытно отметить, что длина сплошной части струи весьма невелика во всяком случае гораздо меньше, чем это принято обычно считать на основании визуальных наблюдений. Так, например, Ь 10 с.м при ия 100 сжгсек, а/р 80, а 1 с.в. Визуальные наблюдения не дают правильных значений длины сплошной части из-за оптического обмана — слияния движущихся Рис. 102. Распаление горизонтальной струи воды иа капли. капель в одну сплошную полосу. На рис. 102 показан распад струи, наблюдавшийся с помощью искровой съеьп(н 1ле(1. ((17'(, Напишем теперь условие применимости формулы ( 23.27). Подставляя в (123.29) формулы (123,35) н (123,33), получим: (123,38) Нетрудно видеть, что неравенство (123,38) является также условием малости линейного члена в (123,28) по сравнению со свободным членом.
7(ля воды условие (123,38) выполняется практически всегда. Для жидкости типа глицерина (» — 10, а/р — 30) условие (123,38) выполняется при радиусах струи а > 3 слс. При больших значениях вязкости формула (123,37) применима для еще больших значений радиуса. Не представляет труда рассмотрение другого предельного случая сильно вязкой жидкости, когда выполнено неравенство, обратное неравенству (!23,29). В этом случае уравнение (123,28) снова может быть существенно упрощено. Однако целесообразнее провести это исследование в более общем случае, как это будет сделано в следующем параграфе.
1гл. хл 634 волны н* поввгхности жидкости ф 124. Распад жидкой струи при малых скоростях движения. Случай произвольных деформаций В предыдущем параграфе был рассмотрен распад струи, происходящий из-за образования на ее поверхности симметричных волн. Оказалось при этом, что за распад струи ответственны волны. длина которых примерно в 10 раз превышает радиус струи. Учет вязкости, как будет показано ниже, приводит к смещению наиболее неустойчивых деформаций в область более длинных волн.
Поэтому имеет смысл рассмотреть общий случай деформации. ограничиваясь прел- положением о том. что длина волны велика по сравнению с радиусом струи. Последнее предположение позволяет существенно упростить задачу. Оценим, прежде всего, по порядку величины компоненты скорости о„ о и ом используя для втой цели уравнение непре рывностн до 1 д 1 дог '+ — — (го )+ — — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
